第48講統計案例一、單選題1．（2024·寧夏·銀川一中三模（文））關于線性回來的描述，有下列命題：①回來直線肯定經過樣本中心點；②相關系數的肯定值越大，擬合效果越好；③相關指數越接近1擬合效果越好；④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·河南·高三月考（文））某外語學校要求學生從德語和日語中選擇一種作為“其次外語”進行學習，為了解選擇其次外語的傾向與性別的關系，隨機抽取名學生，得到下面的數據表：選擇德語選擇日語男生女生依據表中供應的數據可知（）附：，．A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為選擇其次外語的傾向與性別無關B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為選擇其次外語的傾向與性別有關C．有的把握認為選擇其次外語的傾向與性別無關D．有的把握認為選擇其次外語的傾向與性別有關3．（2024·廣東·肇慶市第一中學高三月考）據一組樣本數據，，…，，求得閱歷回來方程為，且.現發覺這組樣本數據中有兩個樣本點和誤差較大，去除后重新求得的閱歷回來直線的斜率為1.2，則（）A．變量與具有正相關關系B．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回來方程仍為C．去除兩個誤差較大的樣本點后，的估計值增加速度變快D．去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點的殘差為0.054．（2024·廣東天河·高三月考）下列表述中，正確的個數是（）①將一組數據中的每一個數據都加上同一個常數后，方差不變；②設有一個回來方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位；③設具有相關關系的兩個變量，的相關系數為，那么越接近于0，，之間的線性相關程度越高；④在一個列聯表中，依據表中數據計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關的把握就越大．A．0 B．1 C．2 D．35．（2024·江西·南昌市豫章中學高三開學考試（理））對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（）A． B．C． D．6．（2024·云南師大附中高三月考（文））對于樣本點分布在指數函數曲線（其中，為待定參數且）四周時，令，，經過變換后得到的線性回來方程為（）A． B．C． D．7．（2024·安徽馬鞍山·二模（理））2024年初，從非洲擴散到東南亞的蝗蟲災難嚴峻威逼了國際農業生產，影響了人民生活.世界性與區域性溫度的異樣?早澇頻繁發生給蝗災發生創建了機會.已知蝗蟲的產卵量與溫度的關系可以用模型擬合，設，其變換后得到一組數據：由上表可得線性回來方程，則（）A． B． C． D．8．（2024·江西·南昌市八一中學三模（文））已知變量關于的回來方程為，其一組數據如表所示：若，則預料值可能為（）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·湖北武漢·二模）在對具有相關關系的兩個變量進行回來分析時，若兩個變量不呈線性相關關系，可以建立含兩個待定參數的非線性模型，并引入中間變量將其轉化為線性關系，再利用最小二乘法進行線性回來分析.下列選項為四個同學依據自己所得數據的散點圖建立的非線性模型，且散點圖的樣本點均位于第一象限，則其中可以依據上述方法進行回來分析的模型有（）A． B．C． D．10．（2024·全國·高三專題練習）（多選題）下列說法中，正確的命題是（）A．已知隨機變量聽從正態分布，，則．B．以模型去擬合一組數據時，為了求出回來方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3．C．已知兩個變量具有線性相關關系，其回來直線方程為，若，，，則．D．若樣本數據，，…，的方差為2，則數據，，…，的方差為16．三、填空題11．（2024·廣東·江門市新會陳瑞祺中學高三月考）某市政府調查市民收入增減與旅游需求的關系時，采納獨立性檢驗法抽查了人，計算發覺，依據這一數據查閱下表，市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是___________.附…0.1000.0250.0100.005…k…2.7065.0246.6357.879…12．（2024·江蘇·海安高級中學高三月考）依據下列數據：x99.51010.511y1110865求得y關于x的回來直線方程為．則這組數據相對于所求的回來直線方程的5個殘差的方差為______．（注：殘差是實際視察值與估計值之間的差）13．（2024·四川·仁壽一中高三開學考試（理））有人發覺，多看手機簡單使人近視，下表是調查機構對此現象的調查數據：近視不近視總計少看手機多看手機總計則在犯錯誤的概率不超過__________的前提下認為近視與多看手機有關系.附表：參考公式：，其中.14．（2024·黑龍江·佳木斯一中三模（理））下列說法正確的有_____．①統計中用相關系數r來衡量兩個變量之間的線性關系的強弱．線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱．②在線性回來模型中，計算相關指數R2≈0.6，表明說明變量說明了60%預報變量的改變．③為了了解本校高三學生1159名學生的三模數學成果狀況，準備從中抽取一個容量為50的樣本，現采納系統抽樣的方法，須要從總體中剔除9個個體，在整體抽樣過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽到的概率分別是和．④隨機變量X～N（μ，σ2），則當μ肯定時，曲線的形態由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．⑤身高x和體重y的關系可以用線性回來模型y＝bx+a+e來表示，其中e叫隨機誤差，則它的均值E（e）＝0．15．（2024·江西南昌·一模（理））2024年，全球綻開了某疫苗研發競賽，我為處于領先地位，為了探討疫苗的有效率，在某地進行臨床試驗，對符合肯定條件的10000名試驗者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數如下：調查人數300400500600700感染人數33667并求得與的回來方程為，同期，在人數為10000的條件下，以擬合結果估算未注射疫苗的人群中感染人數，記為；注射疫苗后仍被感染的人數記為，則估計該疫苗的有效率為__________．（疫苗的有效率為；參考數據：；結果保留3位有效數字）16．（2024·全國·高三專題練習）和的散點圖如圖所示，則下列說法中全部正確命題的序號為______.①，是負相關關系；②，之間不能建立線性回來方程；③在該相關關系中，若用擬合時的相關指數為，用擬合時的相關指數為，則.四、解答題17．（2024·全國·高三月考）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間嬉戲，數人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發出聲音的物體），鼓響時眾人起先傳花（依次不定），至鼓停止為止．此時花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節目，某單位組織團建活動，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號與組內女性人數統計結果如表：1234522334（Ⅰ）女性人數與組號（組號變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關關系，請預料從第幾組起先女性人數不低于男性人數；參考公式：（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，從10組中隨機抽取3組，求若3組中女性人數不低于5人的有組，求的分布列與期望；（Ⅲ）嬉戲起先后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為分的概率為，求．18．（2024·全國·高三開學考試）足不出戶，手機下單，送菜到家，輕松逛起手機“菜市場”，拎起手機“菜籃子”，省心又省力．某手機（應用程序）公司為了了解居民運用這款運用者的人數及滿足度，對一大型小區居民開展個月的調查活動，從運用這款的人數的滿足度統計數據如下：月份不滿足的人數運用不運用女性男性（1）請利用所給數據求不滿足人數與月份之間的回來直線方程，并預料該小區月份的對這款不滿足人數：（2）工作人員發覺運用這款居民的年齡近似聽從正態分布，求的值；（3）工作人員從這個月內的調查表中隨機抽查人，調查是否運用這款與性別的關系，得到上表：能否據此推斷有的把握認為是否運用這款與性別有關？參考公式：，．19．（2024·福建寧德·高三期中）近年來，新能源產業蓬勃發展，已成為我市的一大支柱產業.據統計，我市一家新能源企業近5個月的產值如下表：月份5月6月7月8月9月月份代碼12345產值億元1620273037（1）依據上表數據，計算與的線性相關系數，并說明與的線性相關性強弱；(，則認為與線性相關性很強；，則認為與線性相關性不強)（2）求出關于的線性回來方程，并預料10月該企業的產值.參考公式：；參考數據：.20．（2024·全國·高三課時練習）某芯片公司為制訂下一年的研發投入支配，需了解年研發資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型：①，②，其中，，，均為常數，為自然對數的底數.現該公司對收集的近12年的年研發資金投入量和年銷售額（）的數據作了初步處理，令，，經計算得到如下數據：20667702004604.23125000215000.30814（1）設和的樣本相關系數為，和的樣本相關系數為，請從樣本相關系數（精確到0.01）的角度推斷，哪個模型擬合效果更好；（2）（i）依據（1）的選擇及表中數據，建立關于的非線性閱歷回來方程；（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預料下一年的研發資金投入量約為多少億元？參考數據為，，.21．（2024·江蘇南通·高三月考）為響應黨中心“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經濟收入.紫甘薯對環境溫度要求較高，依據以往的閱歷，隨著溫度的上升，其死亡株數成增長的趨勢.下表給出了2024年種植的一批試驗紫甘薯在溫度上升時6組死亡的株數.溫度/℃212324272930死亡數/株61120275777經計算，，，，，，，，其中，分別為試驗數據中的溫度和死亡株數，.（1）若用一元線性回來模型，求關于的閱歷回來方程（結果精確到0.1）；（2）若用非線性回來模型求得關于的非線性閱歷回來方程，且相關指數為.（i）試與（1）中的回來模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；（ii）用擬合效果好的模型預料溫度為35℃時該批紫甘薯的死亡株數（結果取整數）.22．（2024·黑龍江肇州·模擬預料（文））如圖是某小區2024年1月至2024年1月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1～13分別對應2024年1月～2024年1月）.依據散點圖選擇和兩個模型進行擬合，經過數據處理得到兩個回來方程分別為和，并得到以下一些統計量的值：殘差平方和總偏差平方和（1）請利用相關指數推斷哪個模型的擬合效果更好；（2）估計該小區2024年6月份的二手房均價.（精確到萬元/平方米）參考數據：，，，，，，，.參考公式：相關指數.23．（2024·福建·泉州科技中學高三月考）數獨是源自18世紀瑞士的一種數學嬉戲，玩家須要依據盤面上的已知數字，推理出全部剩余空格的數字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮（）內的數字均含1﹣9，不重復.數獨愛好者小明準備報名參與“絲路杯”全國數獨大賽初級組的競賽.（1）賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度（秒）與訓練天數（天）有關，經統計得到如表的數據：（天）1234567（秒）990990450320300240210現用作為回來方程模型，請利用表中數據，求出該回來方程，并預料小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒？（2）小明和小紅在數獨APP上玩“對戰賽”，每局兩人同時起先解一道數獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得競賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得競賽的概率.參考數據（其中）18450.370.55參考公式：對于一組數據，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.24．（2024·陜西渭南·高三月考（理））某保險公司依據官方公布的歷年營業收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017202420242024年份序號x12345678910營業收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：依據已有的函數學問，某同學選用二次函數模型（b和a是待定參數）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數據見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）依據表中數據，建立y關于t的回來方程（系數精確到個位數）；（2）依據（1）中得到的回來方程估計2024年的營業收入，以及營業收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數據，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：.25．（2024·重慶市試驗中學高三開學考試）某電器企業統計了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費用（十萬元）的相關數據，散點圖如圖，對數據作出如下處理：令，，得到相關數據如表所示：1515（1）從①；②；③三個函數中選擇一個作為年廣告費用和年利潤額的回來類型，推斷哪個類型符合，不必說明理由；（2）依據（1）中選擇的回來類型，求出與的回來方程；（3）預料要使年利潤額突破億，下一年應至少投入多少廣告費用？結果保留到萬元參考數據：參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為26．（2024·重慶市第十一中學校高三月考）某創業者支配在南山旅游景區旁邊租賃一套農房發展成特色“農家樂”，為了確定將來發展方向，此創業者對該景區旁邊五家“農家樂”跟蹤調查了100天，這五家“農家樂”的收費標準互不相同，得到的統計數據如下表，x為收費標準（單位：元/日），t為入住天數（單位：天），以入住天數的頻率作為各自的“入住率”，收費標準x與入住率y的散點圖如圖．x100150200300450y9065453020（1）若從以上五家“農家樂”中隨機抽取兩家深化調查，記為“入住率”超過的農家樂的個數，求的分布列；（2）令，由散點圖推斷與哪個更合適于此模型（給出推斷即可，不必說明理由）？并依據你的推斷結果求回來方程；（，的結果精確到）（3）依據第（2）問所求的回來方程，試估計收費標準為多少時，100天銷售額Q最大？（100天銷售額入住率收費標準x）參考數據：，，，，，，，，，．27．（2024·海南二中高三月考）為了使房價回來到收入可支撐的水平，讓全體人民住有所居，近年來全國各一、二線城市打擊投機購房，接連出臺了住房限購令.某市一小區為了進一步了解已購房民眾對市政府岀臺樓市限購令的認同狀況，隨機抽取了本小區50戶住戶進行調查，各戶人平均月收入（單位：千元）的戶數頻率分布直方圖如圖，其中贊成限購的戶數如下表：人平均月收入贊成戶數4912631（1）若從人平均月收入在的住戶中再隨機抽取兩戶，求所抽取的兩戶至少有一戶贊成樓市限購令的概率；（2）若將小區人平均月收入不低于7千元的住戶稱為“高收入戶”，人平均月收入低于7千元的住戶稱為“非高收入戶”依據已知條件完成如圖所給的列聯表，并推斷是否有的把握認為“收入的凹凸”與“贊成樓市限購令”有關.非高收入戶高收入戶總計贊成不贊成總計附：臨界值表0.10.050.0100.0012.7063.8416.63510.828參考公式：，.28．（2024·全國·高三課時練習）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，須要進行動物與人體試驗.探討人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發覺小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯表，并依據列聯表及的獨立性檢驗，推斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關.單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行其次次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量.試驗后統計數據顯示，當時，取最大值，求參與人體接種試驗的人數及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數據：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02429．（2024·重慶南開中學高三月考）中國職業籃球聯賽（CBA聯賽）分為常規賽和季后賽.由于新冠疫情關系，今年聯賽采納賽會制：全部球隊集中在同一個地方競賽，分兩個階段進行，每個階段采納循環賽，分主場競賽和客場競賽，積分排名前8的球隊進入季后賽.季后賽的總決賽采納五場三勝制（“五場三勝制”是指在五場競賽中先勝三場者獲得競賽成功，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是隊在常規賽60場競賽中的競賽結果記錄表.階段競賽場數主場場數獲勝場數主場獲勝場數第一階段30152010其次階段30152515（1）依據表中信息，是否有90%的把握認為競賽的“主客場”與“輸贏”之間有關？（2）已知隊與隊在季后賽的總決賽中相遇，假設每場競賽結果相互獨立，隊除第五場競賽獲勝的概率為外，其他場次競賽獲勝的概率等于隊常規賽60場競賽獲勝的頻率.記為隊在總決賽中獲勝的場數.（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）求隊獲得本賽季的總冠軍的概率.附：.（）0.1000.0500.0252.7063.8415.02430．（2024·江西·模擬預料（理））某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區隨機抽取了患該疾病的病人進行調查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數占男性病人的，女性患型病的人數占女性病人的.（1）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發公司欲支配甲乙兩個研發團隊來研發此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多支配個接種周期進行試驗.甲團隊研發的藥物每次接種后產生抗體的概率為，每人每次接種花費元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續次出現抗體則終止本接種周期進入其次個接種周期，否則需依次接種至第一周期結束，再進入其次周期：其次接種周期連續2次出現抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結束：乙團隊研發的藥物每次接種后產生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種次，每個周期必需完成次接種，若一個周期內至少出現次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入其次個接種周期，假設兩個研發團隊每次接種后產生抗體與否均相互獨立.當，時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研發的決策是正確的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82831．（2024·江蘇省前黃高級中學高三月考）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，通常須要進行動物與人體試驗.探討人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發覺小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立，并用頻率估計概率.（1）填寫下面的列聯表，并依據列聯表推斷是否有95%的把握認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關？指標值指標值有抗體沒有抗體（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行其次次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產生抗體.①求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率；②以（1）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量.試驗后統計數據顯示，當時，取最大值，求參與人體接種試驗的人數及的數學期望.參考公式：，其中.0.150.100.0500.0100.0012.0722.7063.8416.63510.82832．（2024·湖南株洲·二模）某公司研發了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子溝通，記憶功能還可以記住寶寶的運用習慣，很快找到寶