———人教數學八年級上冊數學幾何模型一、8字模型結論:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD＜AD+BC斜8字型（蝴蝶型）燕尾型1、如圖，已知D是△ABC的BC邊的延長線上一點，DF⊥AB，交AB于點F，交AC于點E，∠A=56°，∠D=30°，則∠ACB的度數為_________2、如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為_________3、求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________1題2題3題燕尾（飛鏢）模型結論：∠BDC=∠A+∠B+∠C1、將一副直角三角板如圖放置,使兩直角邊重合,則∠1的度數為__________2、如圖，是一塊不規則的紙片,∠ABC=∠DEF=80°,則∠A+∠C+∠D+∠F的度數為__________3、如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.1題2題3題A字模型結論：∠DBC+∠ECB=180°+∠A1、在△ABC中，∠A=75°，直線DE交AB于D，交AC于E，則∠BDE+∠CED=（）A.180°B.215°C.235°D.255°2、在△ABC中，E、F分別是AB，AC上的點，則∠1+∠2=224°，則∠A=（）A.17°B.44°C.68°D.無法確定1題2題老鷹捉小雞模型結論：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下兩角之和等于上下兩角之和1、如圖，把△ABC沿EF折疊，疊合后的圖形如圖所示，若∠A=60°，∠1=95，則∠2的度數為（）A.24°B.25°C.30°D.35°2、如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應點為A′，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1＋∠2等于（）A.40°B.60°C.80°D.140°1題2題五、雙角平分線模型結論：雙內角平分線雙外角平分線內外角平分線∠D=90°+∠A∠D=90°-∠A∠D=∠A如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分線交于點A2017，求∠A2017的度數____________。2、如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，則∠BEC=；若∠A=a°，則∠BEC=?！咎骄俊浚?）如圖2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，則∠BEC=；（2）如圖3，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關系？請說明理由；（3）如圖4，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由。六、角平分線輔助線模型：特征及做法圖示結論做法：往角兩邊做垂直AP=BP，OA=OB,△APO≌△BPO特征：在平分線上的垂直做法：延長△AOB為等腰三角形做法：平行△OQP為等腰三角形做法：截長補短△APO≌△BPO1.如圖，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，求△EDF的面積．3.感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC應用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；則AB一AC＝______（用含a的代數式表示）.一線三垂直模型（證明全等作為突破點）1.如圖，已知矩形中，E是AD上的一點，F是AB上的一點，，且，，矩形的周長為32cm，求AE的長．2.如圖，在中，,，CF交AB于點E，，，若，，求CF的長.3.在△ABC中，

，，直線

經過點，且于，于E.

（1）當直線

繞點

旋轉到圖1的位置時，求證：①

≌

；②

.

（2）當直線

繞點

旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.

八、“手拉手”全等模型在直線ABC的同一側作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD：結論：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60?！鰽GB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC1、如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。AE與DC的交點設為H,BH平分∠AHC2、如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點設為H,BH平分∠AHC九、將軍飲馬中四大模型——最短路徑問題題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）題型四最值問題的實際應用【知識梳理】一兩定點在直線的異側問題1作法圖形原理在直線l上找一點P，使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點P即為所求。兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。二兩定點在直線的同側問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。作B關于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求。化折為直；兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。三兩動點一定點問題問題3：兩個動點作法圖形原理點P在銳角∠AOB的內部，在OA邊上找一點C,在OB邊上找一點D,使得PC+PD+CD和最小。作P關于OA的對稱點P1，作P關于OB的對稱點P2，連接P1P2。兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點A鄉向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。【題型1：兩定一動——作圖】1、（2023?海淀區一模）在一條沿直線鋪設的電纜兩側有甲、乙兩個小區，現要求在上選取一點P，向兩個小區鋪設電纜．下面四種鋪設方案中，使用電纜材料最少的是（

）A．B．C．D．【題型2：造橋選址問題】2、如圖,和B兩地在一條河的兩岸,現要在河上造一座橋MN,使從A到B的路徑AMNB最短的是假定河的兩岸是平行線,橋與河岸垂直)()【題型3：兩定一動-求周長/線段和最小值/角度】3、如圖，是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，連接，點P是上一動點，若，則的最小值是（

）A．2B．4C．8D．164、如圖，直線是中邊的垂直平分線，點是直線上的一動點．若，，，則周長的最小值是（）A．9B．10C．10.5D．115、如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對稱軸，D為AC的中點，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD的度數是（）A．30°B．15°C．20°D．35°【題型4：兩動一定-求周長/線段和最小值/角度】6、如圖，點P在∠AOB的內部，點M、N分別是點P關于直線OA、OB的對稱點，線段MN交OA，OB于點E，F。若MN＝20cm，求△PEF的周長；若∠AOB＝35°，求∠EPF的度數．7、如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，求∠EAF的度數答案解析一、8字模型1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE即∠ACD+30=56+90°，∠ACD=116°，∠ACB=180-116=64°2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于兩個中間三角形的內角和，即360°3、二燕尾（飛鏢）模型根據模型，∠1=對頂角=30°+45°+90°=165°3、∠B+∠F=115°-∠A∠C+∠E=115°-∠D∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115°-∠A+115°-∠D=230°三A字模型選C∠BDE+∠CED=180°+∠A=180+75=255選B∠A=∠1+∠2-180=224-180=44°四老鷹捉小雞模型選B延長B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A，∠2=60+60-95=25°選C∠1＋∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180°-60-80)=80°五、雙角平分線模型結論：1、2、六、角平分線輔助線模型：1、證明：方法1：在AB上取AE=AC，連接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED為等腰三角形．∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC2、3、一線三垂直模型1、2、3、解：（1）證明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠BEC，∠DAC＝∠ECB，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE；（2）不成立，理由如下，由（1）可得，同理可證△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE-CD，∴DE=AD-BE．八、手拉手模型1、2、九、將軍飲馬模型1．A【分析】根據兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】解：甲、乙位于直線的兩側，根據兩點之間線段最短，連接甲、乙兩點，與直線交于點，點即為所求；故選A．【點睛】本題考查兩點之間線段最短的公理，解題的關鍵是分析題中兩點的位置是在直線的同側還是異側，在異側連接兩點即可，在同側需做其中一點的對稱點再連接．2．B【分析】根據兩點之間線段最短、垂線段最短即可得．【詳解】解：由兩點之間線段最短、垂線段最短可知，煤炭加工廠到兩個村莊路徑最短的是：

．故選：B．【點睛】本題考查了兩點之間線段最短、垂線段最短，熟練掌握兩點之間線段最短、垂線段最短是解3．C【分析】連接，由對稱性知，，則，當P、B、E三點共線時，最小，從而求得最小值．【詳解】解：連接，如圖，由對稱性知，，∴，當P、B、E三點共線時，最小，最小值為線段的長．∵是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，∴，即的最小值為8；故選：C．4．A【分析】根據垂直平分線的性質，所以周長.【詳解】∵直線m是中邊的垂直平分線,∴∴周長∵兩點之間線段最短∴∴的周長∵，∴周長最小為故選：A5．C【分析】作點E關于AD對稱的點M，連接CM，與AD交于點F，推出EF+CF最小時即為CM，再根據等邊三角形的性質可得結果．【詳解】解：作點E關于AD對稱的點M，連接CM，與AD交于點F，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴M在AB上，∴MF=EF，∴EF+CF=MF+CF=CM，即此時EF+CF最小，且為CM，∵AE=2，∴AM=2，即點M為AB中點，∴∠ECF=30°，故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質等知識點的應用，找到CM是解題的關鍵．6.解：因為點M，N分別是點P關于直線OA，OB的對稱點，所以ME＝PE，NF＝PF.所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20cm，即△PEF的周長是20cm.解：如圖，設MP與OA相交于點R，PN與OB相交于點T.由(1)知ME＝PE，PF＝NF，所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.因為∠PRE＝∠PTF＝90°，所以在四邊形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.因為∠MPN＋∠M＋∠N＝180°，所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)