第6章非正弦周期信號電路6.1非正弦周期信號及分解6.2非正弦周期信號的頻譜6.3非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率6.4非正弦周期電路的計算習題６6.1非正弦周期信號及分解6.1.1非正弦周期信號工程實際中經常遇到非正弦周期信號，如電子示波器中的鋸齒波，電子技術中廣泛應用的尖脈沖、矩形波等。圖6.1分別繪出了尖脈沖電流、矩形和鋸齒波電壓的波形，它們均為周期波，且變化規律均為非正弦，因此它們都是非正弦周期信號。非正弦信號分為周期和非周期兩種，本章僅討論非正弦周期信號作用于線性電路的分析與計算。圖6.1幾種常見的非正弦波（a）尖脈沖電流；（b）矩形波電壓;c）鋸齒波電壓6.1.2非正弦周期信號的分解

首先討論不同頻率正弦波的合成。設正弦電壓u1的波形如圖6.2（a）所示，若在其上加一個頻率是u1的3倍、振幅是u1的1/3的正弦波，則有其波形如圖6.2（b）所示。若再加一個頻率是u1的5倍、振幅是u1的1/5的正弦波,則有圖6.2矩形波的合成既然幾個不同頻率的正弦波可以合成一個非正弦周期波，同樣一個非正弦周期波也可以分解成許多不同頻率的正弦波之和。由數學知識可知,如果一個函數是周期性的,且滿足狄里赫利條件,那么它可以展開成一個收斂級數,即傅立葉級數。電工技術中所遇到的周期函數一般都能滿足這個條件。設給定的周期函數f（t）的周期為T,角頻率ω＝2π/T,則f（t）的傅立葉級數展開式為(6-1)利用三角函數公式,還可以把式（6-1）寫成另一種形式:(6-2)式中,a0,ak,bk稱為傅立葉系數,可由下列積分求得:(6-3)式（6-1）和式（6-2）各系數之間存在如下關系:(6-4)(6-5)

式（6-1）和式（6-2）是傅立葉級數的兩種展開形式。在式（6-1）中,第一項A0稱為周期函數f（t）的恒定分量（或直流分量）,也稱為零次諧波。第二項A1msin（ωt+θ1）,稱為一次諧波（或基波分量）,其周期和頻率與原函數的相同。其余各項稱為高次諧波。由于高次諧波的頻率是原函數的整數倍而分別稱為二次,三次,…k次諧波。有時還把k為奇數的各次諧波稱為奇次諧波,k為偶數的各次諧波稱為偶次諧波。

例6.1

已知矩形周期電壓的波形如圖6.3所示。求u（t）的傅立葉級數。

解圖示矩形周期電壓在一個周期內的表示式為由式（6-3）可知:當k為奇數時,當k為偶數時,由此可得(k為奇數)

由上式可以看出,矩形電壓的傅立葉級數不含直流分量、余弦分量和正弦分量的偶次諧波項,只含正弦分量的奇次諧波。圖6.3例6.1圖例6.2

求圖6.4所示周期信號的傅立葉級數展開式。解

i(t)在一個周期內的表示式為圖6.4例6.2圖利用分步積分法及,得i(t)的傅立葉級數展開式為

此式的傅立葉級數展開式不含直流分量和余弦分量,只含正弦分量。由上兩例可見，周期函數分解成傅立葉級數，其式中不一定包含式（6-2）的全部項。這是因為周期函數具有某種對稱性，利用其對稱性可簡化系數a0、ak、bk。（1）若函數波形對稱于坐標原點,即f（t）＝-f（-t），稱為奇函數。如表6.1中的梯形波、三角波和矩形波及圖6.4所示波形。其傅立葉級數中僅含正弦項。（2）若函數波形對稱于縱軸,即f（t）＝f（－t），稱為偶函數。如表6.1中的半波整流、全波整流和三角波及圖6.5所示波形。其傅立葉級數中僅含余弦項。（3）若函數波形為鏡像對稱,即f(t)=-f(t+T/2)，稱為奇諧函數，即在任一周期內將第二個半波前移半周期，就會與第一個半波對稱于橫軸。如表6-1中的梯形波、三角波和矩形波及圖6.6所示波形。其傅立葉級數中不含直流分量和偶次諧波。圖6.5偶函數波形圖6.6鏡像對稱波形表6.1常見信號的傅立葉級數展開式續表

函數對稱于橫軸，與計時起點的選擇無關。函數對稱于坐標原點或縱軸，除與函數本身有關外，還與計時起點的選擇有關。因此，對某些奇諧函數，適當選擇計時起點，可使它又是奇函數(或又是偶函數)，從而使分解結果簡化。如表6.1中的梯形波、三角波和矩形波，它們本身均為奇諧函數，其傅立葉級數中不含直流分量和偶次諧波。若如表6.1中那樣選擇計時起點，則它們又都是奇函數，不含余弦項。練習與思考

6.1-1

試繪出u（t）＝2sinωt＋sin（2ωt＋90°）的波形。

6.1-2

查表寫出圖6.7全波整流的傅立葉級數。圖6.7題6.1-2圖6.1-3

判斷圖6.8所示各波形哪些含有直流分量？哪些含有余弦項？圖6.8題6.1-3圖6.2非正弦周期信號的頻譜如果一個周期信號f（t）可以展開為傅立葉級數那么,只要求得各諧波分量的振幅與初相（Ak和θk）,就可以確定這個函數的傅立葉級數。也就是說,該級數包含哪些頻率分量都可以表示出來。設f（t）已展開為傅立葉級數,圖6.9振幅頻譜圖則其頻譜圖可按以下原則繪出。

例6.3

圖6.10（a）為電視機和示波器掃描電路中常用的鋸齒波,試畫出其振幅頻譜圖。

解查表6.1,可得鋸齒波電壓的傅立葉級數展開式為根據上式可以畫出其頻譜圖如圖6.10（b）所示。圖6.10例6.3圖

例6.4

圖6.11給出了矩形脈沖電壓的波形,它是無線電技術中一種很重要的信號。其中脈沖幅度為Um,脈沖的持續時間為τ,脈沖的周期為Ｔ,試畫出其頻譜圖。圖6.11例6.4圖解該信號在一個周期的數學表達式為由于此信號對稱于縱軸,因此,bk＝０,傅立葉級數不含正弦分量,只含直流分量和余弦分量。矩形脈沖的傅立葉級數展開式為下面以周期性矩形脈沖為例說明周期信號的頻譜特性。（1）頻譜由一系列代表正弦量（或余弦量）的不連續譜線組成，稱為離散頻譜。（2）每條譜線只出現在kω位置上，相鄰譜線的間隔為ω，稱此為諧波性。（3）振幅頻譜中各譜線高度隨頻率增加雖有起伏，但總趨勢是在減小，稱此為收斂性。（4）若脈沖周期T不變，脈沖持續時間τ減小（即脈沖變窄），則振幅頻譜的收斂速度變慢。如圖6.12(b)所示，圖中τ′=τ/2,T=6τ′。與圖6.12(a)比較（T=3τ）,收斂速度明顯變慢了。原因是：當T不變則基波頻率ω=2π/T也不變。而包絡線的零值出現在 （n=1,2,3…）或kω=2nπ/τ的位置。且包絡線的第一個零值出現時的頻率為kω=2π/τ。脈沖越窄,包絡線的第一個零值出現的頻率也就越高,它所包含的諧波分量也就越多,收斂速度也就越慢。

通常把振幅頻譜的零頻率到需要考慮的最高次諧波（視具體情況而定）的一段頻率范圍,稱為頻帶寬度,簡稱頻寬。如果壓縮脈沖的寬度,振幅頻譜的收斂速度將變慢,這就意味著要增大信號的頻帶寬度。所以,一定信號的頻帶寬度總是與脈沖寬度成反比例變化。圖6.12頻譜特性用圖(5)若脈沖持續時間τ不變,,周期T增大時則譜線變密,譜線將變密。如圖6.12（c）所示,圖中的T′=6τ。這是因為,脈沖寬度不變時,包絡線零值出現的頻率kω=2nπ/τ也不變。周期增大,基波頻率ω=2π/T將減小。相鄰兩個振幅為零的諧波頻率間的諧波數目增多,頻譜就會變密。以上五點頻譜的特性,對于一般周期信號都適用。練習與思考6.2-1

圖6.13所示為矩形周期電壓的波形,畫出其頻譜圖。圖6.13題6.2-1圖6.2-2

畫出全波整流電流的頻譜圖。6.3非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率6.3.1有效值

在第4章有效值一節里,已經給出了有效值的定義式。以電流為例,其有效值為(6-6)

將電流i分解成傅立葉級數將該表達式代入式（6-6）得將上式積分號內直流分量與各次諧波之和的平方展開,結果有以下四種類型:（1）（2）（3）（4）（k≠q）因此,電流i的有效值可按下式計算:(6-7)同理,非正弦周期電壓的有效值為(6-8)

所以,非正弦周期電流和電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根。各次諧波有效值與最大值之間的關系為例6.5

已知周期電流的傅立葉級數展開式為i=100-63.7sinωt-31.8sin2ωt-21.2sin3ωtA求其有效值。解所以電流i的有效值為112.9A。6.3.2平均值除了有效值之外,實踐中還會用到平均值的概念。以電流為例,其定義為(6-9)即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值。式（6-9）也稱為整流平均值,它相當于正弦電流經全波整流后的平均值。例如,當i=Imsinωt

時,其平均值為同理,電壓平均值的表示式為(6-10)

比較式（6-3）,（6-6）,（6-9）可以看出,非正弦交流電路中的直流分量,有效值和平均值是三個不同的概念,應加以區分。

例6.6

已知半波整流電壓的最大值為150V，若分別用電磁式電壓表、磁電式電壓表和全波整流式電壓表對其進行測量，求各電壓表的讀數。

解已知電磁式電壓表的讀數為被測電壓的有效值，磁電式電壓表的讀數為被測電壓的直流分量值，全波整流式電壓表的讀數為被測電壓的平均值的1.11倍，結合表6.1中第一欄查得半波整流電壓的有效值和平均值（即直流分量值）分別為故電磁式電壓表的讀數為75V，磁電式電壓表的讀數為47.77V，全波整流式電壓表的讀數為47.77×1.11=53.02V。6.3.3平均功率

設有一個二端網絡,在非正弦周期電壓u的作用下產生非正弦周期電流i,若選擇電壓和電流的方向一致(如圖6.14所示),此二端網絡吸收的瞬時功率和平均功率為將電壓和電流展開成傅立葉級數,有圖6.14平均功率用圖二端網絡吸收的平均功率為

將上式積分號內兩個積數的乘積展開,分別計算各乘積項在一個周期內的平均值,有以下五種類型項:(1)(2)(3)(4)(5)(k≠q)

因此,二端網絡吸收的平均功率可按下式計算：(6-11)其中,Pk=UkIkcos(θku-θki)=UkIkcosφk,是k次諧波的平均功率。由此可知,非正弦周期電路的平均功率,等于直流分量功率與各次諧波功率之和。必須注意,只有同頻率的諧波電壓和電流才能構成平均功率,不同頻率的諧波電壓和電流不能構成平均功率,也不等于端口電壓的有效值與端口電流有效值的乘積。例6.7

流過10Ω電阻的電流為i=10+28.28cost+14.14cos2tA求其平均功率。解例6.8

某二端網絡的電壓和電流分別為求二端網絡吸收的功率。解基波功率三次諧波功率五次諧波功率因此,總的平均功率為練習與思考6.3-1

加于8Ω電阻上的電壓為u=50+12.5sin(ωt-45°)+5.1sin(3ωt+30°)V求電壓的有效值;(2)求電阻消耗的平均功率。6.3-2

某電路所加的電壓為u=100+50sin(ωt+30°)+10sin(3ωt+60°)V電路中的電流為i=10sin(ωt-45°)+5sin(3ωt-30°)A求電壓及電流的有效值;(2)求電路中的平均功率。6.4非正弦周期電路的計算

把傅立葉級數、直流電路、交流電路的分析和計算方法以及疊加原理應用于非正弦周期電路中,就可以對其電路進行分析和計算。其具體步驟如下:

(1)將所給的非正弦輸入信號分解為傅立葉級數，并根據計算精度確定諧波取前幾項。(2)分別計算各諧波分量單獨作用于電路時的電壓和電流。但要注意電容和電感對各次諧波表現出來的感抗和容抗的不同,對于k次諧波有(3)應用線性電路的疊加原理,將各次諧波作用下的電壓或電流的瞬時值進行疊加。應注意的是,由于各次諧波的頻率不同,不能用相量形式進行疊加。

例6.9矩形脈沖作用于RLC串聯電路如圖6.15(a)、(b)所示，已知矩形脈沖的幅度為100V,周期為1ms,R＝10Ω,L＝10mH,C＝5F,求電流i及平均功率。圖6.15例6.9圖解查表6.1可得矩形脈沖電壓的傅立葉級數表達式為其中基波頻率 ,若取前三項就有圖6.15（c）所求的等效電路。

(1)求直流分量：當U0＝50V的直流電壓作用于電路時,電感相當于短路,電容相當于開路,故I0＝0。(2)求基波分量：(3)求三次諧波分量：(4)將各次諧波分量的瞬時值疊加得i=I0+i1+i3=1.95cos(ωt-72.1°)+0.12cos(3ωt+93.2°)A電路中的平均功率為

例6.10

晶體管放大器的射極回路如6.16(a)所示，已知R=1kΩ，C=50μF，iS(t)=（3.6+

2sin2000πt)mA，求各響應。

解（1）求直流分量：3.6mA單獨作用，此時C開路，

IC0=0,IR0=IS0=3.6mA

U0=RIS0=1×103×3.6×10－3=3.6V圖6.16例6.10圖（2）求基波分量：2sin2000πtm單獨作用的相量模型如圖6.16(b)所示，(3)各響應為本例中，直流分量只通過R；因BC>>G（即XC<<R),故交流分量基本上不通過R，致使U1<<U0，而u(t)基本恒定。電容對直流的隔斷、對交流的旁路作用從中得以體現。

例6.11

為減小整流器輸出電壓的紋波使其更接近直流。常在整流的輸出端與負載電阻R間接有LC濾波器,其電路如圖6.17(a)所示。若已知R=1kΩ,L=5H,C=30μF,輸入電壓u的波形如圖6.17(b)所示,其中振幅Um=157V,基波角頻率ω=314rad/s,求輸出電壓uR。圖6.17例6.11圖解查表6.1,可得電壓u

的傅立葉級數為取到四次諧波,并代入Um=157V得u=100+66.7cos2ωt-13.3cos4ωtV(1)求直流分量。對于直流分量,電感相當于短路,電容相當于開路,故U0R=100V。(2)求二次諧波分量:(3)求四次諧波分量:(4)輸出電壓為觀察本例中u和uR的表達式，發現直流部分未變，仍為100V，二次諧波分量由原本占直流分量的66.7%減小到1.15%,四次諧波分量由原本占直流分量的13.3%減小到0.056%。說明輸入電壓經過LC濾波后,高次諧波分量受到抑制,負載兩端得到較平穩的輸出電壓。利用電容和電感對各次諧波呈現不同電抗的特點,把由LC組成的這種電路接入非正弦周期信號作用的電路中,可以使某一頻率分量順利通過,而抑制不需要的分量,這種電路稱為濾波器。濾波器按其功能可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器等。圖6.18濾波器(a)低通濾波器;(b)高通濾波器圖6.18是簡單的低通和高通濾波器電路,讀者可以自行分析其原理。練習與思考

6.4-1

RL串聯電路的復阻抗Z1=R+jX1L=30+j20Ω,求出三次和五次諧波時的復阻抗。

6.4-2

已知作用于RLC串聯電路的電壓u＝50sinωt＋25sin（3ωt＋60°）V,且已知基波時的輸入阻抗為Z1=R+j(ωL-1/ωC)=8+j(2-8)Ω。求i（t）。小結

1.非正弦周期信號的分解

非正弦的周期信號,在滿足狄里赫利條件的情況下可以分解成傅立葉級數。傅立葉級數一般包含有直流分量、基波分量和高次諧波分量。它有兩種表示式:兩種形式的系數之間的對應關系為一般都是先求ak、bk后,再利用上式求出Ak和θk。

2.非正弦周期信號的頻譜

非正弦周期信號還可以用頻譜圖來表示。所謂頻譜圖,就是用譜線表示各次諧波的振幅和相位,然后把這些線段由低頻到高頻依次排列起來。非正弦周期信號的頻譜有以下特點:(1)頻譜的離散性;(2)頻譜的譜波性;(3)頻譜的收斂性;(4)脈寬與頻寬成反比。3.非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率非正弦周期信號有效值的定義與正弦信號有效值的定義相同。即與各次諧波分量有效值的關系為非正弦交流電路的平均值指一個周期內函數絕對值的平均值。其定義為非正弦交流電路的平均功率的定義也與正弦交流電路平均功率的定義相同,都表示瞬時功率在一個周期內的平均值。其定義為與各次諧波功率之間的關系為

4.非正弦交流電路的計算

非正弦交流電路的計算,實際上是應用了線性電路的疊加原理,并借助于直流及交流電路的計算方法,其步驟如下:(1)將非正弦信號分解成傅立葉級數;(2)計算直流分量和各次諧波分量分別作用于電路時的電壓和電流響應。但要注意感抗和容抗在不同諧波所表現的不同。即(3)將各次諧波的電壓和電流響應用瞬時值表示后再疊加。其過程可用圖6.19表示。圖6.19非正弦電路分析流圖習題6

6.1

如題圖所示,三角波的Im＝10A,查表寫出其傅立葉級數展開式,并求各次諧波最大值I1m、I3m、I5m。

6.2

周期信號的波形如題圖所示,畫出其振幅頻譜圖。

6.3

畫出例6.1矩形波的振幅頻譜圖。

6.4

若矩形波的電壓Um=100V,求其電壓的有效值。

6.5

求習題6.1三角波電流的有效值。題6.1圖題6.2圖

6.6

已知某二端網絡的電壓 ,求電壓、電流的有效,值及二端網絡吸收的功率。

6.7

已知10Ω電阻兩端的電壓 ,求電路中的電流i及其所消耗的功率。10mH,ω＝314rad/s,求電路中的電流i及其所消耗的功率。6.8

已知RL串聯電路兩端的電壓，且R=6Ω，L=

6.9

已知RLC

串聯電路兩端的電壓u＝100sin(ωt+60°)+50sin(3ωt+30°)+20sin5ωtV,且R＝10Ω,L＝0.025H,C＝30μF,基波頻率f=50Hz,求電路中的電流i。

6.10在圖示的電路中,若已知R1＝5Ω,R2＝10Ω,ωL＝2Ω,＝15Ω,u＝10＋141sinωt+70.7sin(2ωt+30°)V,求總電流i及電路消耗的功率。題6.10圖

6.11

為了提高共發射極放大電路的放大倍數,常在發射極的電阻兩端并聯一個旁路電容器。其電路如題圖所示,若已知R=1kΩ,C=30μF,i=1.5+0.8sinωtmA,電源頻率f=1000Hz。

(1)求電阻R兩端的電壓u。

(2)若不接電容器,再求R兩端的電壓。

(3)比較以上兩種情況下輸出電壓的直流分量和交流分量的變化情況,說明電容器對于交流信號的旁路作用。

6.12

在題圖所示的電路中,