19/19寧波市鄞州區2022年八年級上學期《數學》期中試題與參考答案一、選擇題每題3分，共30分。1．下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項B、C、D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項A不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是正確確定對稱軸位置．2．不等式x＞﹣1在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），可得答案．【解答】解：不等式x＞﹣1在數軸上表示如圖：，故選：D．【點評】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），注意在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．3．已知∠AOB，在射線OA，OB上分別截取OD＝OE，分別以點D，E為圓心，以大于DE且同樣長為半徑畫弧，在∠AOB內兩弧交于點C，作射線OC，OC就是∠AOB的角平分線．作圖依據是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【分析】利用作法得到OD＝OE，DC＝EC，則根據全等三角形的判定方法可判斷△OCD≌△OCE，然后根據全等三角形的性質得到∠DOC＝∠EOC，進而得到OC就是所求作的∠AOB的角平分線．【解答】解：如圖所示，連接CD、CE，由題可得，OD＝OE，CD＝CE，在△OCD和△OCE中，因為，所以△OCD≌△OCE（SSS），所以∠COD＝∠COE（全等三角形的對應角相等），所以OC是∠AOB的平分線（角平分線定義）．所以作圖依據是“SSS”，故選：C．【點評】此題重點考查角平分線的作法、全等三角形的判定與性質，根據三角形全等的判定定理證明三角形全等是解題的關鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，延長中線AD至E，使DE＝AD，連結CE，則△CDE的周長可能是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】利用全等三角形的判定和性質解決問題即可．【解答】解：在△ADB和△EDC中，，所以△ADB≌△EDC（SAS），所以AB＝EC＝4，因為AD+CD＞AC＝7，所以CD+DE＞7，所以△CDE的周長大于4+7＝11，故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高線，E是AB的中點，已知△ABC的面積為8，則△ADE的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由等腰三角形的性質可得BD＝CD，AD⊥BC，可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，即可求解．【解答】解：因為AB＝AC，AD是高線，所以BD＝CD，AD⊥BC，所以S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，因為E是AB的中點，所以AE＝BE，所以S△ADE＝S△BDE＝S△ABD＝2，故選：B．【點評】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．6．如圖，△ABC≌△A′B′C，∠BCB′＝30°，則∠ACA′的度數為（）A．20° B．30° C．58° D．40°【分析】根據全等三角形的性質可得∠ACB＝∠A′CB′，再根據等式的性質可得∠ACA′＝∠BCB′＝30°．【解答】解：因為△ABC≌△A′B′C，所以∠ACB＝∠A′CB′，所以∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，所以∠ACA′＝∠BCB′＝30°，故選：B．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應角相等．7．若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2【分析】根據“同小取小”即可得出m的取值范圍．【解答】解：因為不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，所以m≤2．故選：A．【點評】本題考查的是不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．8．若等腰三角形一腰上的中垂線與另一腰所在直線相交，且交角為50°，則它的底角為（）A．50° B．70° C．80° D．20°或70°【分析】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【解答】解：①如圖1，三角形是銳角三角形時，∠A＝90°﹣50°＝40°，底角為：×（180°﹣40°）＝70°，②如圖2，三角形是鈍角三角形時，∠BAC＝90°+50°＝140°，底角為：×（180°﹣140°）＝20°，綜上所述，底角為70°或20°．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線上的性質，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．9．關于x，y的方程組，已知﹣4＜a＜0，則x+y的取值范圍為（）A．0＜x+y＜2 B．﹣1＜x+y＜3 C．0＜x+y＜4 D．﹣1＜x+y＜2【分析】兩方程相加、化簡可得x+y＝a+3，結合﹣4＜a＜0知﹣1＜a+3＜3，據此可得答案．【解答】解：因為，所以3x+3y＝3a+9，所以x+y＝a+3，因為﹣4＜a＜0，所以﹣1＜a+3＜3，即x+y的取值范圍為﹣1＜x+y＜3，故選：B．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，根據方程組得出x+y＝a+3，并結合a的取值范圍得出a+3的范圍是解題的關鍵．10．如圖，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，則AB的長為（）A．5 B．10 C．4 D．2【解答】解：如圖，將DE，FG平移到AC延長線上，CD，EF平移到BG的延長線上，由平移的性質可知∠G＝90°，AH＝4，BH＝6，由勾股定理得AB＝，故選：D．【點評】本題主要考查了平移的性質，勾股定理等知識，運用平移構造直角三角形是解題的關鍵．二、填空題每題3分，共18分。11．命題“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命題是假命題（填“真”或“假”）．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，進而利用舉反例判斷命題正確性即可；【解答】解：“若a＞0，b＞0，則ab＞0”的逆命題是“若ab＞0，則a＞0，b＞0”，是一個假命題，故答案為：假．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．已知直角三角形兩邊長x，y滿足（x﹣1）2+＝0，則它的第三條邊長z＝或．【分析】任何數的絕對值，以及算術平方根一定是非負數，已知中兩個非負數的和是0，則兩個一定同時是0；另外已知直角三角形兩邊x、y的長，具體是兩條直角邊或是一條直角邊一條斜邊，應分類討論．【解答】解：因為（x﹣1）2+＝0，所以x﹣1＝0，y﹣2＝0，所以x＝1，y＝2，當y＝2是直角邊時，z＝＝，當y＝2是斜邊時，所以z＝＝，綜上所述，它的第三條邊長z＝或．故答案為：或．【點評】本題考查了勾股定理，非負數的性質，關鍵是根據非負數的性質得出x，y的值．13．設x＞0，若以x+1，x+2，x+3為邊長的三角形是直角三角形，則x的值為2．【分析】根據勾股定理逆定理可得：（x+1）2+（x+2）2＝（x+3）2，再解即可．【解答】解：由題意得：（x+1）2+（x+2）2＝（x+3）2，解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合題意，舍去），故答案為：2．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．14．如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為PQ，則線段BQ的長度為4．【分析】設AQ＝DQ＝x，則BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，在Rt△BDQ中，用勾股定理列方程可解得x，從而可得答案．【解答】解：因為BC＝6，D是BC的中點，所以BD＝BC＝3，因為△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，所以AQ＝DQ，設AQ＝DQ＝x，則BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，Rt△BDQ中，BQ2+BD2＝DQ2，所以（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，所以BQ＝9﹣x＝4，故答案為：4．【點評】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關鍵是在Rt△BDQ中，用勾股定理列方程．15．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，點D在AB邊上，BD＝4，∠EAC＝∠EDC＝∠B＝90°，則△EAD的面積為12．【分析】過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F．利用等腰三角形的性質和互余關系說明∠EAF＝45°，從而得到EF＝EA．再利用△DBC和△EFD的相似關系求出EF的長，最后計算出△ADE的面積．【解答】解：過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F．所以∠F＝90°．因為AB＝BC＝10，BD＝4，∠B＝90°所以∠BAC＝45°，AD＝6．因為∠EAC＝∠EDC＝∠B＝90°，所以∠BCD+∠CDB＝90°，∠EDA+∠CDB＝90°，∠EAF+∠CAB＝90°．所以∠DCB＝∠EDA，∠EAF＝45°．因為∠FEA＝∠EFA﹣∠EAF＝45°，所以∠FEA＝∠EAF．所以EF＝AF．在△DBC和△EFD中，因為∠EFA＝∠B，∠DCB＝∠EDA，所以△DBC∽△EFD．所以＝．即＝．所以10EF＝4EF+24．所以EF＝4．所以S△EAD＝AD×EF＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了三角形的全等、等腰三角形的性質等知識點，利用△DBC和△EFD相似求出EF的長是解決本題的關鍵．16．在△ABC中，BC＝6，高線AD＝4，則△ABC周長的最小值為16．【分析】作△ABC的外接圓O，連接OA、OD，當AD經過OD點時，圓O的半徑最小，此時AB+AC的值最小，再由垂徑定理可求AB＝5，即可△ABC的周長的最小值．【解答】解：作△ABC的外接圓O，連接OA、OD，所以AO+DO≥AD，所以當AD經過OD點時，圓O的半徑最小，此時AB+AC的值最小，因為AD⊥BC，所以D是BC的中點，所以△ABC是等腰三角形，因為BC＝6，AD＝4，所以AB＝5，所以AC＝5，所以△ABC周長的最小值為16，故答案為：16．【點評】本題考查三角形周長最小值問題，根據定弦定高，將所求問題轉化為圓問題，結合垂徑定理求解是解題的關鍵．三、解答題第17～21題每題8分，第22題12分，共52分。17．（8分）如圖，已知點C，E在線段BF上，AC＝DE，BE＝CF，∠ACB＝∠DEF，求證：AB＝DF．【分析】根據已知條件得到BC＝EF，推出△ABC≌△DFE，根據全等三角形的性質即可得到結論．【解答】證明：因為BE＝CF，所以BC＝EF，在△ABC和△DFE中，因為，所以△ABC≌△DFE（SAS），所以AB＝DF．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．18．（8分）解下列不等式組，并將解集在數軸上表示出來．．【分析】先分別解每個不等式，然后把解集表示在數軸上，確定公共部分．【解答】解：解不等式①得x≤3；解不等式②得x＞﹣2．所以不等式組的解集為﹣2＜x≤3．把解集表示在數軸上為：【點評】此題考查了一元一次不等式組的解法，解不等式組既不能“代入”，也不能“加減”，而是要分別解不等式組中的每一個不等式，然后借助數軸找出解集的公共部分，從而得到不等式組的解集，熟練以后對于由兩個不等式組成的不等式可按“同大取大，同小取小，大大小小無解，大小小大取中間”的規律間接地確定不等式組的解集．19．（8分）∠BAC在正方形網格的位置如圖所示，設小正方形的邊長為1．（1）只用一把直尺作∠BAC的角平分線，交BC于點D；（2）求BD的長．【分析】（1）取格點E，F連接BF，CE交于點G，連接AG交BC于點D即可；（2）過點D作DH⊥AC于點H，根據角平分線的性質可得DH＝DB，根據S△ACD+S△ABD＝S△ABC，列式計算即可求出DB的長．【解答】解：（1）如圖，AD即為∠BAC的角平分線；（2）過點D作DH⊥AC于點H，因為AD是∠BAC的角平分線，所以DH＝DB，由網格可知：AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，因為S△ACD+S△ABD＝S△ABC，所以AC?DH+AB?DB＝AB?BC，所以AC?DB+AB?DB＝AB?BC，所以DB＝＝＝．【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖，角平分線的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是準確利用網格畫出角平分線．20．（8分）已知：如圖，線段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，點E，F分別是AB和CD的中點．求證：（1）CE＝DE；（2）EF⊥CD．【分析】（1）由直角三角形的性質得出CE＝AB，DE＝AB，則可得出結論；（2）由等腰三角形的性質得出結論．【解答】證明：（1）因為線段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，點E是AB的中點，所以CE＝AB，DE＝AB，所以CE＝DE；（2）因為CE＝DE，點F是CD的中點，所以EF⊥CD．【點評】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．21．（8分）雙十一前，媽媽購買了甲種物品15個，乙種物品20個，共花費250元，已知購買一個甲種物品比購買一個乙種物品多花費5元．（1）求雙十一前購買一個甲種、一個乙種物品各需多少元？（2）雙十一期間，甲種物品售價比上一次購買時減價2元，乙種物品按上一次購買時售價的8折出售，如果媽媽此時再次購買甲、乙兩種物品共35個，總費用不超過225元，求至多需要購買多少個甲種物品？【分析】（1）設雙十一前購買一個甲種物品需x元，一個乙種物品需y元，根據“購買甲種物品15個，乙種物品20個，共花費250元，購買一個甲種物品比購買一個乙種物品多花費5元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出雙十一前購買一個甲種、一個乙種物品所需的費用；（2）設需要購買m個甲種物品，則購買（35﹣m）個乙種物品，利用總價＝單價×數量，結合總價不超過225元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數值即可得出結論．【解答】解：（1）設雙十一前購買一個甲種物品需x元，一個乙種物品需y元，依題意得：，解得：．答：雙十一前購買一個甲種物品需10元，一個乙種物品需5元．（2）設需要購買m個甲種物品，則購買（35﹣m）個乙種物品，依題意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤225，解得：m≤21，又因為m為正整數，所以m可以取得的最大值為21．答：至多需要購買21個甲種物品．【點評】本題考查了二元一次方程組的