15/15常德市漢壽縣2021年八年級上學期《數學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）計算：﹣30＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】先計算30，再求它的相反數即可．【解答】解：原式＝﹣1，故選：B．2．（3分）用科學記數法表示0.0000000314為（）A．0.314×10﹣9 B．3.14×10﹣9 C．3.14×10﹣8 D．3.14×10﹣7【分析】用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【解答】解：0.0000000314＝3.14×10﹣8，故選：C．3．（3分）若分式的值為零，則x的值是（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．﹣2【分析】根據分子為零同時根據分母不為零即可求出x的值．【解答】解：由題意可知：，解得：x＝﹣3，故選：B．4．（3分）下列運算正確的是（）A．8a5b﹣3a5b＝5 B．t12÷t6＝t2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2t2）4＝16t8【分析】利用合并同類項的法則，同底數冪的除法法則，完全平方公式以及冪的乘方運算法則分別計算得出答案．【解答】解：A．8a5b﹣3a5b＝5a5b，故此選項不符合題意；B．t12÷t6＝t6，故此選項不合題意；C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項不合題意；D．（﹣2t2）4＝16t8，故此選項符合題意；故選：D．5．（3分）已知命題“能被2整除的數是偶數”，則其逆命題為（）A．能被2整除的數不是偶數 B．不能被2整除的數是偶數 C．偶數是能被2整除的數 D．偶數不是能被2整除的數【分析】交換命題的題設和結論即可寫出該命題的逆命題．【解答】解：命題“能被2整除的數是偶數”逆命題為“偶數是能被2整除的數”，故選：C．6．（3分）化簡的結果是（）A． B．a C． D．【分析】將原式變形后，約分即可得到結果．【解答】解：原式＝＝a．故選：B．7．（3分）甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同，已知乙車每小時比甲車多行駛15千米，設甲車的速度為x千米/小時，依據題意列方程正確的是（）A． B． C． D．【分析】題中等量關系：甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同，據此列出關系式．【解答】解：設甲車的速度為x千米/時，則乙車的速度為（x+15）千米/時，根據題意，得＝．故選：C．8．（3分）如圖，AE、AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝28°，∠C＝72°，則∠DAE的度數為（）A．18° B．22° C．30° D．38°【分析】根據三角形的內角和可求解∠BAC的度數，結合角平分線的定義可求解∠BAD的度數，由三角形高線可求解∠BAE的度數，進而可求解．【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝28°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣28°﹣72°＝80°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝40°，∵AE是△ABC的高線，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∴∠DAE＝62°﹣40°＝22°．故選：B．二、填空題本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上。9．（3分）（2x﹣1）（﹣1﹣2x）＝1﹣4x2．【分析】原式利用平方差公式計算即可得到結果．【解答】解：原式＝（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）＝1﹣4x2．故答案為：1﹣4x2．10．（3分）如圖，在長方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，若∠AOD＝120°，AB＝2，OA＝OB，則CO的長為2．【分析】依據矩形的性質可知△AOB是等邊三角形，所以AO＝AB＝2，則OC＝AO＝2．【解答】解：在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∴AO＝BO＝CO＝DO．∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．∴△AOB是等邊三角形．∴AO＝AB＝2，∴CO＝2，故答案為：2．11．（3分）如圖：AB＝CD，AC，BD相交于點O，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個條件，這個條件可以是∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC．【分析】本題已知條件是一條公共邊BC＝BC和AB＝CD，所填條件必須和已知條件構成或經推理可以得出SSS、SAS，所以添加的條件可以是一條邊對應相等或一個夾角對應相等．【解答】解：當添加∠ABC＝∠DCB時，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）；當添加AC＝DB時，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；當添加△AOB≌△DOC時，∵△AOB≌△DOC，∴AO＝DO，BO＝CO，∴AO+CO＝DO+BO，即AC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．故填：∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC．12．（3分）計算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝b8．【分析】先算乘方，再算乘除即可．【解答】解：原式＝a﹣2b2?a﹣6b6÷a﹣8＝b8，故答案為：b8．13．（3分）如圖，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，則∠OAD＝95度．【分析】運用全等求出∠D＝∠C，再用三角形內角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案為：95．14．（3分）已知2x＝3，2y＝5，則22x﹣y﹣1的值是．【分析】根據同底數冪的除法底數不變指數相減，冪的乘方，可得答案．【解答】解：22x﹣y﹣1＝22x÷2y÷2＝（2x）2÷2y÷2＝9÷5÷2＝，故答案為：．15．（3分）如圖所示，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數為45°．【分析】分別在格點三角形中，根據勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，繼而可得出∠ABC的度數．【解答】解：如圖，連接AC．根據勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故答案為：45°．16．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點An．設∠A＝θ．則：（1）∠A1＝；（2）∠An＝．【分析】（1）根據角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）與（1）同理求出∠A2，可以發現后一個角等于前一個角的，根據此規律即可得解．【解答】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，∵∠A＝θ，∴∠A1＝；（2）同理可得∠A2＝∠A1＝?θ＝，所以∠An＝．故答案為：（1），（2）．三、解答題本題共2個小題，每小題5分，共10分。17．（5分）解方程+＝1【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3+x2+3x＝x2﹣9，解得：x＝﹣4，經檢驗x＝﹣4是分式方程的解．18．（5分）計算：+．【分析】將原式中能因式分解的分母進行因式分解，然后進行分式的約分，最后再計算．【解答】解：原式＝＝＝＝＝﹣1．19．（6分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證：∠C＝∠A．【分析】由SSS證得△ABD≌△CBD，再根據全等三角形的性質得出結論．【解答】證明：連接BD，∵在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴∠C＝∠A．20．（6分）如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）【分析】根據三角形全等的判定方法進行組合、證明，答案不唯一．【解答】解：答案不唯一．如：已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．求證：BD＝CE．證明：∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE（全等三角形對應邊相等）．21．（7分）先化簡，再求值：÷，其中x＝2．【分析】根據分式的除法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝，當x＝2時，原式＝＝．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．求證：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【解答】證明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內錯角相等），∵E是CD的中點（已知），∴DE＝EC（中點的定義）．∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性質）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的對應邊相等），又∵BE⊥AF，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已證），∴AB＝BC+AD（等量代換）．23．（8分）進入防汛期后，某地對河堤進行了加固．該地駐軍在河堤加固的工程中出色完成了任務．這是記者與駐軍工程指揮官的一段對話：通過這段對話，請你求出該地駐軍原來每天加固的米數．【解答】解：設原來每天加固x米．根據題意得：．去分母得：1200+4200＝18x．（或18x＝5400），解得：x＝300．檢驗：當x＝300時，2x≠0（或分母不等于0）．∴x＝300是原方程的解．答：該地駐軍原來每天加固300米．24．（8分）如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與