PAGE20-江蘇省連云港市2024-2025學年高二數學上學期第一次學情檢測試題考試范圍：直線與圓；考試時間：120分鐘；留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.2.以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程是（）A. B.C. D.3.若圓C與直線和：都相切，且圓心在直線上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.4.已知圓（、為正實數）上隨意一點關于直線的對稱點都在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.5.下列說法正確是（）A.平面內全部的直線方程都可以用斜截式來表示B直線與軸的交點到原點的距離為C.在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為D.不能表示經過點且斜率為的直線方程6.與圓關于直線對稱的圓的方程為，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.37.已知圓的方程為，過點的該圓的全部弦中，最短弦的長為（）A.1 B.2 C.3 D.48.在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個好玩的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動身，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處動身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即認為回到軍營，則當“將軍飲馬”的總路程最短時，將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線方程為（）A. B.C. D.二、多選題（每題5分，共20分）9.下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直B.過點的直線被圓所截得的弦的長度的最小值為2．C.直線與圓的位置關系不確定．D.若直線與圓相交，則點在圓外．10.設圓的圓心為，直線過，且與圓交于兩點，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.11.已知圓，直線，則（）A.圓心坐標為 B.圓半徑為3C.直線與圓相交 D.圓上的點到直線的距離最大值為12.已知圓M：，點P是直線l：上一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別是A，B，下列說法正確的有（）A.圓M上恰有一個點到直線l的距離為 B.切線長PA的最小值為1C.四邊形AMBP面積的最小值為2 D.直線AB恒過定點第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13.與圓同時相切的直線有___________條.14.若直線與直線相互垂直，則被圓截得弦長為________．15.在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓的兩個交點分別位于不同的象限，則l的斜率的取值范圍為______．16.過圓O：外一點引直線l與圓O相交于A，B兩點，當的面積取得最大值時，直線l的斜率為，則______．四、解答題17.已知中，、、，寫出滿意下列條件的直線方程．（1）BC邊上的高線的方程；（2）BC邊的垂直平分線的方程．18.求滿意條件的圓的標準方程：（1）已知，，以為直徑；（2）圓心為點且與直線相切.19.圓的圓心為，且過點．（1）求圓的標準方程；（2）直線：與圓交兩點，且，求．20.已知動圓過定點，且在y軸上截得的弦長為8．（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知P為軌跡C上的一動點，求點P到直線和y軸的距離之和的最小值．21.在以下這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解．①圓經過點；②圓心在直線上；③圓截y軸所得弦長為8且圓心M的坐標為整數．已知圓M經過點且_____．（1）求圓M方程；（2）求以為中點的弦所在的直線方程．22.已知直線與圓.（1）求證：直線l過定點，并求出此定點坐標；（2）設O為坐標原點，若直線l與圓C交于M，N兩點，且直線OM，ON的斜率分別為，，則是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．贛榆智賢中學高二年級第一學期第一次學情檢測數學試題考試范圍：直線與圓；考試時間：120分鐘；命題人：留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行直線的特點先設出待求直線方程，代入所過點可得答案.【詳解】由題意設所求方程為，因為直線經過點，所以，即，所以所求直線為.故選：A.2.以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據題意干脆寫出圓的標準方程即可.【詳解】以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程為.故選：B3.若圓C與直線和：都相切，且圓心在直線上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可設圓心為，由兩切線可求，再由點到直線距離可求，進而求得圓C的方程.【詳解】因為圓心在直線上，可設圓心為，又因為圓C與直線和：都相切，兩直線間距離為，則半徑，又由圓心到直線距離得，化簡得，故，則圓的標準方程為：.故選：B4.已知圓（、為正實數）上隨意一點關于直線的對稱點都在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知直線過圓心，可得出，利用二次函數的基本性質可求得的最小值.【詳解】圓的圓心坐標為，由題意可知，圓心在直線上，則，可得，則，由已知可得，可得，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.5.下列說法正確的是（）A.平面內全部的直線方程都可以用斜截式來表示B.直線與軸的交點到原點的距離為C.在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為D.不能表示經過點且斜率為的直線方程【答案】D【解析】【分析】干脆利用直線的傾斜角和斜率的關系及直線的方程推斷各選項即可．【詳解】解：對于A：斜率存在的直線的方程可以用斜截式表示，故A錯誤；對于B：直線與軸的交點到原點的距離為，故B錯誤；對于C：在軸、軸上的截距分別為，且不為0的直線方程為，故C錯誤；對于D：由方程可知，，即方程表示不過點且斜率為的直線方程，故D正確；故選：D．6.與圓關于直線對稱的圓的方程為，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先利用兩個圓的一般方程得到各自的圓心，通過題意可得兩個圓心關于直線對稱，即可得到答案【詳解】解：由可得，所以圓心為，由可得，所以圓心為，因為與圓關于直線對稱的圓的方程為，所以關于直線對稱的點為，且半徑相等，所以與的中點在上，即解得，滿意題意，故選：C7.已知圓的方程為，過點的該圓的全部弦中，最短弦的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】計算出圓的圓心和半徑，設，由幾何性質得到當與圓的弦垂直時，弦最短，利用垂徑定理求解出最短弦長.【詳解】整理為，故圓心為，半徑為，設，故當與圓的弦垂直時，弦最短，其中，由垂徑定理得：.故選：B8.在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個好玩的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動身，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處動身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即認為回到軍營，則當“將軍飲馬”的總路程最短時，將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求圓心C關于直線的對稱點B的坐標，結合圖形分析可得.【詳解】軍營所在區域為，即軍營在以為圓心，1為半徑的圓內和圓上.設圓心C關于直線的對稱點的坐標為B，則，解得.如圖，由對稱性可知，所以，當將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線經過，兩點時，“將軍飲馬”的總路程最短，因為，所以該直線方程為，即.故選：B二、多選題（每題5分，共20分）9.下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直B.過點的直線被圓所截得的弦的長度的最小值為2．C.直線與圓的位置關系不確定．D.若直線與圓相交，則點在圓外．【答案】BD【解析】【分析】對于A，推斷兩直線的斜率的乘積是否為，對于B，過點的直線被圓截得的最短弦為當弦與圓心和點的連線垂直時即可，對于C，先求出直線過的定點，然后再推斷即可，對于D，由題意可得，化簡可得結論【詳解】對于A，因為直線與直線的斜率分別為，且，所以兩直線不垂直，所以A錯誤，對于B，圓可化為，圓心，半徑為3，當弦與圓心和點的連線垂直時，弦最短，最短弦長為，所以B正確，對于C，直線化為，所以直線恒過點，因為點在圓內，所以直線與圓必相交，所以C錯誤，對于D，因為直線與圓相交，所以，所以，所以點在圓外，所以D正確，故選：BD10.設圓的圓心為，直線過，且與圓交于兩點，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分直線的斜率不存在與存在兩種狀況探討，當直線斜率存在時，設直線方程為：，依據圓心到直線的距離，得到方程，解得即可；【詳解】解：圓，即的圓心為，半徑為2，當直線垂直于軸時，直線方程為：，由得或，此時符合題意：當直線斜率存在時，設直線方程為：，即.由，得圓心到直線的距離.故，解得，直線方程為：，即.故選：AC.11.已知圓，直線，則（）A.圓心坐標為 B.圓的半徑為3C.直線與圓相交 D.圓上的點到直線的距離最大值為【答案】BCD【解析】【分析】把圓方程化為標準方程得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離可推斷直線與圓位置關系，由圓心到直線的距離加半徑可得圓上的點到直線距離的最大值．【詳解】轉化為標準方程為，故圓心，半徑為，故直線與圓相交，圓上的點到直線距離的最大值為.故選：BCD．12.已知圓M：，點P是直線l：上一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別是A，B，下列說法正確的有（）A.圓M上恰有一個點到直線l的距離為 B.切線長PA的最小值為1C.四邊形AMBP面積的最小值為2 D.直線AB恒過定點【答案】BD【解析】【分析】利用圓心到直線的距離可推斷A，利用圓的性質可得切線長利用點到直線的距離可推斷B，由題可得四邊形AMBP面積為，可推斷C，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可推斷D.【詳解】由圓M：，可知圓心，半徑，∴圓心到直線l：的距離為，圓M上恰有一個點到直線l的距離為，故A錯誤；由圓的性質可得切線長，∴當最小時，有最小值，又，∴，故B正確；∵四邊形AMBP面積為，∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯誤；設，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，又，所以，即，又圓M：，即，∴直線AB方程為：，即，由，得，即直線AB恒過定點，故D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13.與圓同時相切的直線有___________條.【答案】【解析】【分析】推斷兩個圓的位置關系，由此確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；圓心距，所以兩圓相交，公切線有條.故答案為：14.若直線與直線相互垂直，則被圓截得的弦長為________．【答案】【解析】【分析】由兩條直線垂直得，再結合幾何法求弦長即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線相互垂直，所以，解得，故，所以圓心到的距離，所以所求弦長為．故答案為：15.在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓的兩個交點分別位于不同的象限，則l的斜率的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題設，依據圓的方程找到軸線點，應用兩點式求與各軸線點連線的斜率，數形結合法推斷滿意題設狀況下直線l的范圍.【詳解】記，，，，．當，即時，兩個交點分別位于第一、三象限，滿意題意；當，即時，兩個交點分別位于第三、四象限，滿意題意；當時，若直線l與圓有兩個交點，則兩個交點均在其次象限，不滿意題意；當時，若直線l與圓有兩個交點，則兩個交點均在第三象限，不滿意題意．綜上，或．故答案為：.16.過圓O：外一點引直線l與圓O相交于A，B兩點，當的面積取得最大值時，直線l的斜率為，則______．【答案】##【解析】【分析】依據圓的性質，結合三角形面積公式、點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】設，則，當時，的最大值為，此時依據對稱性，不妨取直線l的方程為，因為，，所以點O到直線l的距離為，所以，解得．故答案為：四、解答題17.已知中，、、，寫出滿意下列條件的直線方程．（1）BC邊上的高線的方程；（2）BC邊的垂直平分線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）BC邊上的高線過點A且垂直于BC，由點斜式即可得解；（2）BC邊的垂直平分線過BC中點且垂直于BC，由點斜式即可得解.【小問1詳解】因為，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.【小問2詳解】因為，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.18.求滿意條件的圓的標準方程：（1）已知，，以為直徑；（2）圓心為點且與直線相切.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據題意得到圓心，半徑為，即可得到答案.（2）依據直線與圓的位置關系求解即可.【小問1詳解】圓心為的中點，半徑為，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】點C到直線的距離為，所以圓的標準方程為.19.圓的圓心為，且過點．（1）求圓的標準方程；（2）直線：與圓交兩點，且，求．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據兩點間的距離公式求得半徑，再求標準方程即可；（2）由題知圓心到直線的距離為，再結合點到直線的距離公式求解即可.【小問1詳解】解：因為圓的圓心為，且過點,所以半徑，所以，圓標準方程為【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，因為所以，解得所以，由圓心到直線距離公式可得．解得或．20.已知動圓過定點，且在y軸上截得的弦長為8．（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知P為軌跡C上的一動點，求點P到直線和y軸的距離之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設圓心的坐標為，求出半徑，再依據弦長結合勾股定理列出等式，化簡即可；（2）畫出圖形，由圖可知的最小值為F到直線的距離，再依據點到直線的距離公式即可得解.【小問1詳解】解：設圓心的坐標為，則半徑，又因動圓在y軸上截得的弦長為8，所以，化簡得，即動圓圓心的軌跡C的方程為；【小問2詳解】解：如圖，設軌跡C的焦點為F，點P到直線的距離為，到y軸的距離為，F到直線的距離為，由拋物線定義，可知，所以，由圖可知的最小值為F到直線的距離，所以，所以的最小值為．21.在以下這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解．①圓經過點；②圓心在直線上；③圓截y軸所得弦長為8且圓心M的坐標為整數．已知圓M經過點且_____．（