湖北省2024屆高三普通高中5月聯合質量測評數學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．以下數據為某學校參加數學競賽10人的成績：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個成績的第75百分位數是（）A．90 B．89 C．88 D．88.52．在復平面內，若zi+1=2?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a2+aA．3 B．2 C．1 D．-14．已知某函數的部分圖象如圖所示，則下列函數中符合此圖象的為（）A．y=xexC．y=x(ex?5．若正數a，b滿足：a3+bA．13 B．14 C．26．在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在兩個這樣的三角形ABCA．[22,+∞) B．(0,227．在直角坐標系中，繞原點將x軸的正半軸逆時針旋轉角α(0<α<π2)交單位圓于A點、順時針旋轉角β(π4<β<π2)交單位圓于A．?22 B．?17226 8．已知函數f(x)=lnx，g(x)為f(x)的反函數，若f(x)、g(x)的圖像與直線y=?x交點的橫坐標分別為x1，xA．x2>lnxC．x1∈(0,二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知集合A={1,2}，B={0,1,2A．1∈C，2∈C B．集合C可以為{1C．集合C的個數為7 D．集合C的個數為810．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)A．a+c=2bB．bC．E的離心率為5D．若E上的點P滿足∠F211．在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，點M，N分別為面ABCD，面AA1D1D的中心.已知與點M關于平面ABA．AA1>ABC．55<cosθ<3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，設T為f(x)的最小正周期，若f(T413．(x?2x)6展開式中14．已知正方形PQRS的邊長為22，兩個點A，B（兩點不重合）都在直線QS的同側（但A，B與P在直線SQ的異側），A，B關于直線PR對稱，若PA?RB=0，則四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知函數f(x)=lnx，g(x)=ax?1（1）過原點作f(x)圖象的切線l，求直線l的方程；（2）若?x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求16．某基層工會擬通過摸球的方式對會員發放節日紅包.現在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記X為一個會員所獲得的紅包總金額，求X的分布列和數學期望.17．如圖，AB，CD是圓錐底面圓O的兩條互相垂直的直徑，過CD的平面與PB交于點E，若E為PB的中點，OA=2，圓錐的體積為8π3（1）求證：CD⊥OE；（2）若圓O上的點F滿足AF=125，求平面CED與平面18．已知F為拋物線Γ：y2=mx(m>0)的焦點，A，B，C是Γ上三個不同的點，直線AB，BC，AC分別與x軸交于F，D，E，其中（1）求Γ的標準方程；（2）△ABC的重心G位于x軸上，且D，G，E的橫坐標分別為d，g，e，3219．數列{an}滿足a（1）證明：任意一個正項等比數列均為下凸數列；（2）設cn=dn+en，其中{dn}，（3）若正項下凸數列的前n項和為Sn，且Sn≤1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：從小到大排序這10個數據為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因為10×75%=7.故選：A.【分析】由百分位數定義即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：zi+1=2?i1+2i=(2?i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)故答案為：D.【分析】由復數的四則運算可得z=1?i，結合復數的幾何意義即可得解.3．【答案】B【解析】【解答】解：設{an}的公差為d，由a2+a4由S8=?12，可得8a1+28d=?12，即2故答案為：B.【分析】利用等差數列的性質與前n項和公式，列方程組求出首項和公差即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：設題設函數為f(x)，由選項可知：ABCD中的函數定義域均為R，

B、若f(x)=xcosx，則f(πC、若f(x)=x(ex?D、因為圖象過原點，故D錯誤.故答案為：A.【分析】根據圖象，將選項代特值檢驗即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：因為a，b為正數，所以a3因為a3+b所以1≥2a，所以a≤14，當且僅當a=故答案為：B.【分析】根據條件等式及基本不等式即可得解.6．【答案】C【解析】【解答】解：因為存在兩個這樣的三角形ABC，所以BCsinπ4<AB<22故答案為：C.【分析】AB=BCsinC=2時只有一個這樣的三角形，要有兩個解必須有7．【答案】B【解析】【解答】解：因為A點的縱坐標為1213，所以sinα=1213，cosα=而S△AOB=12×1×1×sin(α+β)=24，可得sinsinβ=sin(3π4所以B的縱坐標是?17故答案為：B.【分析】利用三角函數的定義可求出sinα,cosα，由三角形面積公式求出sin(α+β)8．【答案】D【解析】【解答】解：A、由題意得x1+lnx1=0令h(x)=x+lnx，在(0,則h(x1)=h(exB、由ex2+C、h(12)=又因為h(x)=x+lnx在(0,+∞)上單調遞增，由零點存在性定理得D、x1?x2=因為12<x1<1，所以r所以r(1)<r(x1)<r(12故答案為：D.【分析】構造函數h(x)=x+lnx，可得h(x1)=h(9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由A?≠C，A={1,2}得C中必含元素1和2且比元素個數大于2，故A正確，B錯誤；

滿足題意的C集合有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，0}，{1，2，3，4}，{1，2，3，0}，{1，2，0，4}，{1，2，3，4，0}共7個，故C正確，D錯誤；

10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：已知如圖所示：

A、由b2=ac得a，b，c為等比數列，若A成立，則a,b,c為等差數列，即aC選項：因為b2=a2?方程兩邊同除以a2得，e2+e?1=0故離心率為e=5D選項：由橢圓定義得|PF1|+|PF2因為∠F2P兩式相減得3|PF所以S△PF1又b2=ac，且所以ab+bc2所以S△AB故選：BCD.【分析】由斜率之積為-1可得B正確；由B和橢圓的性質可得A錯誤；由a,11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、不妨設AB=AD=1，AA1=x(x>0)，分別取棱AB，CD，C1D1，A1B1的中點為易知M，P，Q，R，S五點共面，且M為線段PQ的中點.因為M∈平面PQRS，且平面PQRS∩平面ABC又AB⊥平面BCC1B1，AB?平面ABC又平面PQRS//平面BCC1B1，所以平面所以點M關于平面ABC1D1對稱的點，即為與點M關于直線當x=1時，M1即為棱PS當x>1時，∠MPR>45°，由對稱性，∠MPM1>90°，此時M1在矩形當0<x<1時，∠MPR<45°，由對稱性，∠MPM且由平面幾何知識易得M1在△PRS內，所以M綜上，0<x<1，所以AAB、已知如圖所示：

A1C=C、已知如圖所示：

正四棱柱ABCD?A1B1C1CN與平面BB1C1C所成角θCD⊥平面AA1D1D，則∠CND所以θ=∠CND.所以在Rt△CND中，cosθ=DN因為0<x<1，5<x2+5<6，16<所以55D、AD//BC，∠NCB（或補角）為直線AD與CN所成的角，BN=AB2+A等腰△NCB中，取BC的中點為N2，sinγ=因為0<x<1，5<x2+5<6，1所以255<sinγ<故答案為：BC.【分析】設AB=AD=1，AA1=x>0，分別取棱AB，CD，C1D1，A1B1的中點為P，Q，R，S，則點M關于平面ABC1D1對稱的點即點M關于直線PR對稱的點，記為M1，再分x=1、x>1、0<x<1三種情況討論，從而確定M1的位置，即可得到x的范圍，即可判斷A、B；根據正四棱柱的性質可知∠CND12．【答案】π【解析】【解答】解：f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(T4)=sin(ω×2π4ω+φ)=2故答案為：π4【分析】由T=2πω，代入解析式，結合0<φ<π，即可得13．【答案】30【解析】【解答】解：(x?2x)令6?2r=2，r=2，T3故答案為：30.【分析】利用二項式展開式的通項公式，即可得解.14．【答案】(2【解析】【解答】解：以PR為x軸，QS為y軸建立坐標系，如圖所示：

P(?2,0)，R(2,0)，S(0設A(x,y)(x>0)，B(x,?y)，則因為PA?RB=0，所以(x+2)(x?2)?y2=0，即A位于雙曲線直線y=x與直線PS：x?y+2=0的距離為2，即A點到直線PS的距離的取值范圍是(2又因為PS=22，所以△PAS面積的范圍是(2因為A,B不重合，所以A,故答案為：(2,【分析】建系，由PA?RB=0求出A點的軌跡方程，進而求A點到直線PS15．【答案】（1）解：f設切點坐標為(t,lnt)，則切線方程為因為切線經過原點O，所以?lnt=1t(?t)所以切線的斜率為1e，所以l的方程為x?ey=0（2）解：?x∈(0,+∞)，f(x)≤g(x)，即則得a≥x(lnx+1)在(0,故有x∈(0,+∞)時，令h(x)=x(lnx+1)，x>0，h'令h'(x)>0得x∈(1e故h(x)在(0,1e所以h(x)則a≥?1e2，故a【解析】【分析】（1）設切點，求導，寫出切線方程，代入原點，即可求出切線方程；（2）將已知條件轉化為a≥x(lnx+1)在(0,+∞)上有解，只需求h(x)=x(lnx+1)在16．【答案】（1）解：設事件A=“一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元”，因為每次摸出的球不放回袋中，所以P(A)=1?C（2）解：由已知得，X=80,因為每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元紅包的概率分別為25，25，所以P(X=80)=(25P(X=100)=(P(X=110)=A22所以得分布列為X8090100110120P48841所以E(X)=80×4【解析】【分析】（1）利用正難則反的思想即可得解；（2）求出分布列，再利用期望公式即可得解.17．【答案】（1）證明：因為AB，CD是圓錐底面圓O的兩條互相垂直的直徑，所以CD⊥AB，PO⊥底面圓O，而CD?底面圓O，則CD⊥PO，PO∩AB=O，PO，AB?平面PAB，所以CD⊥平面PAB，因為OE?平面PAB，所以CD⊥OE.（2）解：因為OA=2，圓錐的體積為8π3，所以13π×因為OP=OB=2，E為PB的中點，所以PB⊥OE，因為CD⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以CD⊥PB，因為CD∩OE=O，CD,OE?平面CED，所以PB⊥平面即平面CED的法向量為PB，顯然OD⊥OB，又PO⊥底面圓O，OD,OB?底面圓所以PO⊥OD,所以OD，OB，OP兩兩垂直，以O為原點，分別以直線OD，OB，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz如圖所示：D(2,0,0)，E(0,1,點F在圓O上，則AF⊥BF，如圖所示：在Rt△ABF中，cos∠BAF=AFAB過F作y軸的垂線，垂足為H，有HA=AFcos∠BAF=3625，HF=AFsin所以DF=(?225,?設平面DEF的法向量為n=(x,y令y=?1，則x=7,z=15，所以設平面CED與平面DEF的夾角為θ，則cosθ=|所以平面CED與平面DEF夾角的余弦值為822【解析】【分析】（1）證得CD⊥平面PAB，即可得CD⊥OE；（2）以O為原點，建立空間直角坐標系，用向量法即可求出兩個平面夾角的余弦.18．【答案】（1）解：已知如圖所示：

因為直線AB通過拋物線Γ的焦點F，所以線段AB為拋物線Γ的焦點弦，如圖，設A(x1,y1)，由拋物線的定義可得|AB|=x由平面幾何的性質得當且僅當AB⊥x軸時，|AB|取得最小值為m，所以m=4，所以拋物線Γ的標準方程為y2（2）解：32g?d?e為定值1，理由如下，已知如圖所示：

依題知直線AB的傾斜角不為0，則設直線AB的方程為x=ky+1設A(x1,y1由x=ky+1y2=4x，得y因為△ABC的重心G位于x軸上，所以