人教版數學九年級上冊第二十四章圓單元測試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．如圖，BC是的直徑，A，D是上的兩點，連接AB，AD，BD，若，則的度數是（）A． B． C． D．2．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則的長為（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，將△AOC繞點O順時針旋轉后得到，則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（）．A． B． C． D．4．如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE5．已知某直線到圓心的距離為，圓的周長為，請問這條直線與這個圓的公共點的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定6．如圖物體由兩個圓錐組成，其主視圖中，．若上面圓錐的側面積為1，則下面圓錐的側面積為（）A．2 B． C． D．7．如圖，在一個圓內有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF8．如圖，一把直尺，的直角三角板和光盤如圖擺放，為角與直尺交點，,則光盤的直徑是()A．3 B． C． D．9．如圖，在的外接圓上，所對的圓心角的度數比為．在上取一點，過分別作直線的平行線，交于兩點，則的度數為（）A．55° B．60° C．65° D．70°10．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸上，以AB為弦的⊙M與x軸相切．若點A的坐標為（0，8），則圓心M的坐標為（）A．（﹣4，5）B．（﹣5，4）C．（5，﹣4）D．（4，﹣5）11．如圖，在菱形ABCD中，以AB為直徑畫弧分別交BC于點F，交對角線AC于點E，若AB=4，F為BC的中點，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．12．如圖，△ABC內接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD為⊙O的直徑，AD=6，那么AB的值為（）A．3 B． C． D．213．如圖，在中，，在邊上取點為圓心畫圓，使經過兩點，下列結論：①；②；③以圓心，為半徑的圓與相切；④延長交于點，則是的三等分點．其中正確結論的序號是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④二、填空題14．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積（弦×矢+矢2）．孤田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑定理（當半徑⊥弦時，平分）可以求解．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_____平方米．15．的圓心是原點，半徑為5，點在上，如果點在第一象限內，那么______.16．是的直徑，，在上且分布在兩側，是直徑所對弧的一個三等分點，則__________．17．如圖，扇形中，．若將此扇形繞點B順時針旋轉，得一新扇形，其中A點在上，則點O的運動路徑長為_______．（結果保留）18．劉徽是中國古代卓越的數學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積，設圓O的半徑為1，若用圓O的外切正六邊形的面積來近似估計圓O的面積，則S=_____．（結果保留根號）19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D是AB的中點，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點E，F，過點F作⊙O的切線FG，交AB于點G，則FG的長為_____．三、解答題20．如圖1，為半圓的直徑，點為圓心，為半圓的切線，過半圓上的點作交于點，連接．（1）連接，若，求證：是半圓的切線；（2）如圖2，當線段與半圓交于點時，連接，，判斷和的數量關系，并證明你的結論．21．探究活動一：如圖1，某數學興趣小組在研究直線上點的坐標規律時，在直線AB上的三點A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，發現kAB＝kAC，興趣小組提出猜想：若直線y＝kx+b（k≠0）上任意兩點坐標P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），則kPQ＝是定值．通過多次驗證和查閱資料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直線y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做這條直線的斜率．請你應用以上規律直接寫出過S（﹣2，﹣2）、T（4，2）兩點的直線ST的斜率kST＝．探究活動二數學興趣小組繼續深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結論：任意兩條不和坐標軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值．如圖2，直線DE與直線DF垂直于點D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．請求出直線DE與直線DF的斜率之積．綜合應用如圖3，⊙M為以點M為圓心，MN的長為半徑的圓，M（1，2），N（4，5），請結合探究活動二的結論，求出過點N的⊙M的切線的解析式．22．如圖，已知AB是⊙P的直徑，點在⊙P上，為⊙P外一點，且∠ADC＝90°，直線為⊙P的切線．⑴試說明：2∠B＋∠DAB＝180°⑵若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半徑．23．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：（1）矩形奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求奇妙四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．24．如圖，已知拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經過點，直線與拋物線交于兩點，以為直徑作圓，圓心為點，圓與直線交于對稱軸右側的點，直線上每一點的縱坐標都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓與軸相切；（3）過點作，垂足為，再過點作，垂足為求的值．參考答案1．A【分析】連接AC，如圖，根據圓周角定理得到，，然后利用互余計算的度數．【詳解】連接AC，如圖，∵BC是的直徑，∴，∵，∴．故答案為．故選A．【點睛】本題考查圓周角定理和推論，解題的關鍵是掌握圓周角定理和推論．2．B【分析】設AB=xcm，則DE=（6-x）cm，根據扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列出方程，求解即可．【詳解】設，則DE=（6-x）cm，由題意，得，解得.故選B．【點睛】本題考查了圓錐的計算，矩形的性質，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．3．B【分析】根據旋轉的性質可以得到陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積故選B．【點睛】考查了旋轉的性質以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積是解題關鍵．4．B【詳解】試題分析：A．OA=OB=OE,所以點O為△ABE的外接圓圓心；B．OA=OC≠OF，所以點不是△ACF的外接圓圓心；C．OA=OB=OD,所以點O為△ABD的外接圓圓心；D．OA=OD=OE,所以點O為△ADE的外接圓圓心；故選B考點：三角形外心5．B【分析】根據若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．直線和圓有兩個公共點，則直線和圓相交；直線和圓有唯一一個公共點，則直線和圓相切；直線和圓沒有公共點，則直線和圓相離，即可得到問題選項．【詳解】解：∵圓的周長為10πcm，

∴圓的半徑為5cm，

∵圓心到直線l的距離為5cm，

∴d=r，

∴直線與圓相切，

∴直線l和這個圓的公共點的個數為1個．

故選：B．【點評】此題主要考查了直線與圓的位置關系，根據圓心距與半徑關系得出位置關系是解決問題的關鍵．6．D【分析】先證明△ABD為等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再證明△CBD為等邊三角形得到BC＝BD＝AB，利用圓錐的側面積的計算方法得到上面圓錐的側面積與下面圓錐的側面積的比等于AB：CB，從而得到下面圓錐的側面積．【詳解】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD為等邊三角形，∴BC＝BD＝AB，∵上面圓錐與下面圓錐的底面相同，∴上面圓錐的側面積與下面圓錐的側面積的比等于AB：CB，∴下面圓錐的側面積＝×1＝．故選D．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質．7．D【分析】在弧EF上取一點M，使，推出，根據圓心角、弧、弦的關系得到AB＝FM，CD＝EM，根據三角形的三邊關系定理求出FM＋EM＞FE即可．【詳解】如圖，在弧EF上取一點M，使，則，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，圓心角、弧、弦的關系等知識點的理解和掌握，能正確作輔助線是解題的關鍵．8．D【詳解】【分析】設光盤圓心為O，連接OC，OA，OB，由AC、AB都與圓O相切，利用切線長定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OA的長，再利用勾股定理求出OB的長，即可確定出光盤的直徑．【詳解】如圖，設光盤圓心為O，連接OC，OA，OB，∵AC、AB都與圓O相切，∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠CAO=∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，∴OA=6cm，根據勾股定理得：OB=3，則光盤的直徑為6，故選D.【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，含30°角的直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．9．C【分析】根據題意即可求出所對的圓心角的度數，然后根據圓周角定理即可求出∠BAC的度數，再根據平行線的性質即可證出，最后根據三角形的內角和定理即可求出結論．【詳解】解：所對的圓心角的度數比為所對的圓心角的度數為．故選C．【點睛】此題考查的是圓周角定理、平行線的性質和三角形的內角和定理，掌握圓周角定理、平行線的性質和三角形的內角和定理是解決此題的關鍵．10．A【詳解】解：過點M作MD⊥AB于D，交OC于點E．連接AM，設⊙M的半徑為R．∵以邊AB為弦的⊙M與x軸相切，AB∥OC，∴DE⊥CO，∴DE是⊙M直徑的一部分；∵四邊形OABC為正方形，頂點A，C在坐標軸上，點A的坐標為（0，8），∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；∴AD=BD=4（垂徑定理）；在Rt△ADM中，根據勾股定理可得AM2=DM2+AD2，∴R2=（8-R）2+42，∴R=5．∴M（-4，5）．故選A．11．D【分析】取AB的中點O，連接AF，OF，先證明△ABC是等邊三角形，再把問題轉化為S陰=S扇形OBF，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點O，連接AF，OF．∵AB是直徑，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵CF=BF，∴AC=AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AE=EC，易證△CEF≌△BOF，∴S陰=S扇形OBF==，故選D．【點睛】考查扇形的面積，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題.12．A【詳解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．∵∠C和∠D是同圓中同弧所對的圓周角，∴∠D=∠C=30°．∵AD為直徑，∴∠ABD=90°．∵AD=6，∴AB=AD=3．故選A．13．D【分析】①連接OB，△OAB是等腰三角形，則兩底角相等為30°，在Rt△ABC中可求得∠ABC的度數，做差得∠OBC，再利用30°的三角函數值得到線段間的關系；②在Rt△OBC中，OB是斜邊＞直角邊BC的長度，而OA＝OB，可判斷；③過點O作OE⊥AB于點E，利用角平分線的性質定理，得到OC＝OE來判斷；④延長BC，交于點D，連接AD，可得到DC＝BC，加上∠C為90°，可推斷△ABD為等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判斷△ABD是等邊△，即可得出.【詳解】①如圖，連接，則．，，．，故①正確；②在中，，，故②錯誤；③如圖，過點作于點，，，∴以圓心，為半徑的圓與相切，故③正確；④如圖，延長，交于點，連接．．，，是等邊三角形．，是的三等分點，故④正確；故正確的有①③④．【點睛】本題綜合性較強，考查了特殊角的三角函數值、角平分線的性質定理、等腰三角形、等邊三角形的判定和性質，需要熟練掌握靈活應用性質及判定.14．10【分析】根據垂徑定理得到，由勾股定理得到，求得，根據弧田面積（弦×矢+矢2）即可得到結論．【詳解】解：∵弦米，半徑弦，∴，∴，∴，∴弧田面積（弦×矢+矢2），故答案為10【點睛】此題考查垂徑定理的應用，關鍵是根據垂徑定理和扇形面積解答．15．4【分析】如圖,可得OA=5，OB=3，運用勾股定理可以求得AB的長，即為a的值.【詳解】解：如圖由題意得：OA=5，OB=3，由勾股定理可得：AB=即a=4【點睛】本題考查了圓的性質和勾股定理，其中根據題意畫出圖形確定相應線段的長是解答本題的關鍵.16．或【分析】此題分兩種情況進行計算，點C有兩種位置，分別根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半進行計算即可．【詳解】如圖所示：連接CO，∵C是直徑AB所對弧的一個三等分點，∴∠COB=120°，∴∠BDC=60°，連接C1O，∵C1是直徑AB所對弧的一個三等分點，∴∠C1OB=60°，∴∠BDC1=30°，故答案為或.【點睛】此題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，解題關鍵在于畫出圖形.17．4π．【分析】根據弧長公式，此題主要是得到∠OBO′的度數．根據等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：根據題意，知OA=OB．

又∠AOB=36°，

∴∠OBA=72°．

∴點O旋轉至O′點所經過的軌跡長度==4πcm．

故答案是：4π．【點睛】本題考查了弧長的計算、旋轉的性質．解答該題的關鍵是弄清楚點O的運動軌跡是弧形，然后根據弧長的計算公式求解．18．【詳解】分析：根據正多邊形的定義可得出△ABO為等邊三角形，根據等邊三角形的性質結合OM的長度可求出AB的長度，再利用三角形的面積公式即可求出S的值．詳解：依照題意畫出圖象，如圖所示．∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴△ABO為等邊三角形，∵⊙O的半徑為1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6×××1=2．故答案為2.點睛：本題考查了正多邊形和圓、三角形的面積以及數學常識，根據等邊三角形的性質求出正六邊形的邊長是解題的關鍵．19．．【分析】先利用勾股定理求出AB=10，進而求出CD=BD=5，再求出CF=4，進而求出DF=3，再判斷出FG⊥BD，利用面積即可得出結論．【詳解】如圖，在Rt△ABC中，根據勾股定理得，AB=10，∴點D是AB中點，∴CD=BD=AB=5，連接DF，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，連接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切線，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG=，故答案為.【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質，勾股定理，切線的性質，三角形的中位線定理，三角形的面積公式，判斷出FG⊥AB是解本題的關鍵．20．（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，根據切線的性質得到，推出四邊形是平行四邊形，得到，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到，于是得到結論；（2）如圖2，連接，根據圓周角定理得到，求得，證得，等量代換即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，為半圓的切線，為半圓的直徑，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是半圓的切線；（2）解：，理由：如圖2，連接，為半圓的直徑，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理，平行四邊形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．21．探究活動一：；探究活動二：﹣1；綜合應用：y＝﹣x+9．【分析】（1）直接利用公式計算即可；（2）運用公式分別求出kDE和kDF的值，再計算kDE×kDF＝﹣1；（3）先求直線MN的斜率kMN，根據切線性質可知PQ⊥MN，可得直線PQ的斜率kPQ，待定系數法即可求得直線PQ解析式．【詳解】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）∴kST＝＝故答案為（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．∴kDE＝＝﹣2，kDF＝＝，∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，∴任意兩條不和坐標軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積等于﹣1．（3）設經過點N與⊙M的直線為PQ，解析式為y＝kPQx+b∵M（1，2），N（4，5），∴kMN＝＝1，∵PQ為⊙M的切線∴PQ⊥MN∴kPQ×kMN＝﹣1，∴kPQ＝﹣1，∵直線PQ經過點N（4，5），∴5＝﹣1×4+b，解得b＝9∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+9．【點睛】此題主要考查直線與圓的關系，解題的關鍵是根據已知條件得到斜率的定義與求解方法.22．（1）證明見解析；（2）4.【分析】（1）根據切線的性質和圓周角定理，以及平行線的性質即可得到結論；（2）連接AC，易證△ACP是等邊三角形，得到∠ACD＝30°即可求出半徑.【詳解】解：⑴連接CP∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝∠PCB＋∠B＝2∠B∵CD是⊙OP的切線，∴∠DCP＝90°∵∠ADC＝90°，∴∠DAB＋∠APC＝180°∴2∠B＋∠DAB＝180°⑵連接AC∵∠B＝30°，∴∠APC＝60°，∵PC＝PA，∴△ACP是等邊三角形，∴AC＝PA，∠ACP＝60°∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4，∴PA＝4答：⊙P的半徑為4.【點睛】本題考查切線的性質、圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題．23．（1）不是；（2）54；（3）.【分析】（1）根據矩形的性質和“奇妙四邊形”的定義進行判斷；

（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據垂徑定理，得到BH=DH，根據圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計算出，，則，然后根據奇妙四邊形”