2025屆浙江省寧波華茂外國語學校高三第三次模擬考試數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區進行幫扶活動，每人只能去一個社區，每個社區至少一人.其中甲必須去社區，乙不去社區，則不同的安排方法種數為（）A．8 B．7 C．6 D．52．下圖為一個正四面體的側面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．3．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．4．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．405．如圖網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．6．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．在中，內角的平分線交邊于點，，，，則的面積是（）A． B． C． D．9．如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內切球所得截面面積為（）A． B． C． D．11．已知復數，其中為虛數單位，則（）A． B． C．2 D．12．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中常數項是___________.14．的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，則________.15．已知函數，則關于的不等式的解集為_______．16．甲，乙兩隊參加關于“一帶一路”知識競賽，甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，若兩隊各出一名隊員進行比賽，則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.18．（12分）某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．19．（12分）已知函數().（1）討論的單調性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.21．（12分）若正數滿足，求的最小值.22．（10分）已知等差數列an,和等比數列b(I)求數列{an}(II)求數列n2an?a

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.2、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.3、B【解析】

列出每一次循環，直到計數變量滿足退出循環.【詳解】第一次循環：；第二次循環：；第三次循環：，退出循環，輸出的為.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結果，要注意在哪一步退出循環，是一道容易題.4、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=405、C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.6、A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．7、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.8、B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進而求出，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.9、C【解析】

以D為原點，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題．10、A【解析】

根據球的特點可知截面是一個圓，根據等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設內切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為內切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點睛】本題考查正方體的內切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.11、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.12、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，，故是直角三角形，設，則有，又，所以，當且僅當時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.14、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.15、【解析】

判斷的奇偶性和單調性，原不等式轉化為，運用單調性，可得到所求解集．【詳解】令，易知函數為奇函數，在R上單調遞增，，即，∴∴，即x＞故答案為：【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．16、【解析】

出場運動員編號相同的事件顯然有3種，計算出總的基本事件數，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，出場的兩名運動員編號相同的事件數為3，出現的基本事件總數，則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為：【點睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據，求導，令，用導數法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數，故，即.因為所以，①當時，，所以函數在上單調遞增.若，則若，則所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數在上單調遞減.若，則若，則所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數在上單調遞減，所以，即函數)在上單調遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性和極值，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18、（1）（2）預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數為（萬分）（2）由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率．設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費用的數學期望為（元），因為，所以顯然預算經費不夠測試完這100顆芯片．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數的計算，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞增；（2）.【解析】

（1）求出函數的定義域和導函數，，對討論，得導函數的正負，得原函數的單調性；（2）法一:由得，分別運用導函數得出函數()，的單調性，和其函數的最值，可得，可得的范圍;法二:由得，化為令()，研究函數的單調性，可得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，，①當時，由得，得，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，恒成立,在上單調遞增；（2）法一:由得，令()，則，在上單調遞減，，，即，令，則，在上單調遞增，，在上單調遞減，所以，即，(*)當時，，(*)式恒成立，即恒成立，滿足題意法二:由得，，令()，則，在上單調遞減，，，即，當時，由(Ⅰ)知在上單調遞增，恒成立，滿足題意當時，令，則，