河南省許平汝2025屆高考適應性考試數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用1，2，3，4，5組成不含重復數字的五位數，要求數字4不出現在首位和末位，數字1，3，5中有且僅有兩個數字相鄰，則滿足條件的不同五位數的個數是（）A．48 B．60 C．72 D．1202．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．3．關于圓周率π，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數對；再統計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統計數估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．4．設a，b，c為正數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件5．設等比數列的前項和為，若，則的值為（）A． B． C． D．6．復數（為虛數單位），則的共軛復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．8．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．9．如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結論中不正確的是A．在內總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形10．已知正項等比數列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．411．已知函數，若對于任意的，函數在內都有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．12．若集合，，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.14．甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業的實習，每個企業兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業”的概率為_________.15．在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學生參加，其中:甲校男生成績的優秀率為70%，女生成績的優秀率為50%;乙校男生成績的優秀率為60%，女生成績的優秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結論:①甲校學生成績的優秀率大于乙校學生成績的優秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優秀率;③甲校學生成績的優秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優秀率的大小關系不確定.其中，所有正確結論的序號是____________.16．在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設為曲線上的動點，求點到直線距離的最小值及此時點的坐標.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.18．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為．（1）求直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求的面積．19．（12分）已知函數，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．20．（12分）[選修4-5：不等式選講]設函數.（1）求不等式的解集；（2）已知關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.21．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.22．（10分）在直角坐標系中，已知直線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數），以直角坐標系原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點的點，若的極徑分別為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

對數字分類討論，結合數字中有且僅有兩個數字相鄰，利用分類計數原理，即可得到結論【詳解】數字出現在第位時，數字中相鄰的數字出現在第位或者位，共有個數字出現在第位時，同理也有個數字出現在第位時，數字中相鄰的數字出現在第位或者位，共有個故滿足條件的不同的五位數的個數是個故選【點睛】本題主要考查了排列，組合及簡單計數問題，解題的關鍵是對數字分類討論，屬于基礎題。2、D【解析】

首先將轉化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內的點與圓心距離，數形結合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點睛】本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化與劃歸的思想，是一道中檔題.3、D【解析】

由試驗結果知對0～1之間的均勻隨機數，滿足，面積為1，再計算構成鈍角三角形三邊的數對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【詳解】解：根據題意知，名同學取對都小于的正實數對，即，對應區域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數能與構成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點睛】本題考查線性規劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.4、B【解析】

根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：，，為正數，當，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的性質是解決本題的關鍵．5、C【解析】

求得等比數列的公比，然后利用等比數列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數列的公比為，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查等比數列求和公式的應用，解答的關鍵就是求出等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

由復數除法求出，寫出共軛復數，寫出共軛復數對應點坐標即得【詳解】解析：，，對應點為，在第三象限．故選：C．【點睛】本題考查復數的除法運算，共軛復數的概念，復數的幾何意義．掌握復數除法法則是解題關鍵．7、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．8、A【解析】

根據指數函數與對數函數的單調性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數的單調性，利用單調性比較大小，屬于中檔題.9、D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質的應用，是中檔題.10、D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設等比數列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數列的知識，是一道中檔題.11、D【解析】

將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根，先求導，可判斷時，，是增函數；當時，，是減函數.因此，再令，求導得，結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導數可判斷當時，在上是增函數；當時，在上是減函數；則應滿足，再結合，構造函數，求導即可求解；【詳解】函數在內都有兩個不同的零點，等價于方程在內都有兩個不同的根.，所以當時，，是增函數；當時，，是減函數.因此.設，，若在無解，則在上是單調函數，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設其解為，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數.因為，方程在內有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設，，所以在上是增函數，而，由可得，得.由在上是增函數，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，屬于難題12、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據垂徑定理的應用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.14、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業的實習，每個企業兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題15、②③【解析】

根據局部頻率和整體頻率的關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因為甲乙兩校的男生的優秀率均大于女生成績的優秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優秀率，故②正確；因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學生成績的優秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優秀率的大小關系，故③正確.故答案為：②③.【點睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關系，意在考查學生的理解能力和應用能力.16、（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個參數方程轉化為普通方程；（2）利用參數方程，結合點到直線的距離公式，將問題轉化為求解二次函數最值的問題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設點.點到直線的距離.當時，，所以點到直線的距離的最小值為.此時點的坐標為.【點睛】本題考查將參數方程轉化為普通方程，以及利用參數方程求距離的最值問題，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與拋物線聯立方程組，根據，求得，化簡解得，進而求得點的坐標為，分別求出，，利用向量的數量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關系，利用聯立方程組、求交點坐標以及向量的數量積，考查解題能力和計算能力.18、（1）（2）【解析】

（1）先消去參數，化為直角坐標方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯立，得，求得弦長和點到直線的距離，再求的面積.【詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線的極坐標方程為．（2）由，得，設，兩點對應的極分別為，，則，，所以，又點到直線的距離所以【點睛】本題主要考查參數方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）最小值為，此時；（2）見解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根據二次函數的最值可求得；法二:運用基本不等式構造，可得最值；法三：運用柯西不等式得：，可得最值；（2）由絕對值不等式得，，又，可得證.【詳解】（1），法一:，，的最小值為，此時；法二:，，即的最小值為，此時；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值為，此時；（2），，又，.【點睛】本題考查運用基本不等式，柯西不等式，絕對值不等式進行不等式的證明和求解函數的最值，屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

（1）零點分段