PAGE專題十七計數原理本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分70分，考試時間45分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·岳陽二模)若m，n均為非負整數，在做m＋n的加法時各位均不進位．例如：2024＋100＝2119，則稱(m，n)為“簡潔的”有序對，而m＋n稱為有序對(m，n)的值，那么值為2024的“簡潔的”有序對的個數是()A．100B．96C．60D．30答案C解析值為2024的“簡潔的”有序對的個數是3×1×2×10＝60.故選C.2．(2024·廣州市天河區畢業班綜合測試)支配5名學生去3個社區進行志愿服務，且每人只去一個社區，要求每個社區至少有一名學生進行志愿服務，則不同的支配方式共有()A．360種B．300種C．150種D．125種答案C解析5名學生分成3組，每組至少1人，有3,1,1和2,2,1兩種狀況：①3,1,1：分組共有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＝10種分法；再安排到3個社區：10Aeq\o\al(3,3)＝60種．②2,2,1：分組共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))＝15種分法；再安排到3個社區：15Aeq\o\al(3,3)＝90種．綜上所述，共有60＋90＝150種支配方式．故選C.3．(2024·韶關市調研考試)某中學元旦晚會共由6個節目組成，演出依次有如下要求：節目甲必需排在乙的前面，丙不能排在最終一位，該晚會節目演出依次的編排方案共有()A．720種B．360種C．300種D．600種答案C解析先支配好除丙之外的5個節目，有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60種可能，再支配丙，有5種可能，共300種方案，故選C.4．(2024·合肥二檢)某部隊在一次軍演中要先后執行六項不同的任務，要求是：任務A必需排在前三項執行，且執行任務A之后需馬上執行任務E；任務B、任務C不能相鄰．則不同的執行方案共有()A．36種B．44種C．48種D．54種答案B解析六項不同的任務分別為A，B，C，D，E，F，假如任務A排在第一位時，E排在其次位，剩下四個位置，先排好B，C，再在B，C之間的3個空位中插入D，F，此時共有排列方法：Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種；假如任務A排在其次位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A，E的兩側，排列方法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種，可能都在A，E的右側，排列方法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種；假如任務A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A，E的兩側Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種；所以不同的執行方案共有12＋12＋4＋16＝44種．5．(2024·新余市高三期末考試)把1,2,3，…，6這六個數隨機地排成一列組成一個數列，要求該數列恰先增后減，則這樣的數列共有多少個？()A．31B．30C．28D．32答案B解析該數列恰先增后減，則數字6肯定是分界點，且前面的依次和后面的依次都只有一種，當6前有1個數字時，有Ceq\o\al(1,5)＝5種，當6前有2個數字時，有Ceq\o\al(2,5)＝10種，當6前有3個數字時，有Ceq\o\al(3,5)＝10種，當6前有4個數字時，有Ceq\o\al(4,5)＝5種，依據分類計數原理，共有5＋10＋10＋5＝30種，故選B.6．(2024·臨汾模擬)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產品，有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是平安的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危急的．現用編號為1,2,3的三個倉庫存放這6種化工產品，每個倉庫放2種，那么平安存放的不同方法種數為()A．12B．24C．36D．48答案D解析依據題意，如圖的三棱錐中，設6條棱為1,2,3,4,5,6，分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一組，分2步進行分析：①將6種化工產品分成3組，其中1、4,2、6,3、5不能分到同一組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))－3×2－1＝8種分組方法；②將分好的三組全排列，對應3個倉庫，有Aeq\o\al(3,3)＝6種狀況，則平安存放的不同方法種數有8×6＝48種；故選D.7．(2024·洛陽高三統考)4名高校生到三家企業應聘，每名高校生至多被一家企業錄用，則每家企業至少錄用一名高校生的狀況有()A．24種B．36種C．48種D．60種答案D解析分兩類，第一類有3名被錄用，有Aeq\o\al(3,4)＝24種；其次類，4名都被錄用，則有一家錄用2名，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36，依據分類計數原理共有24＋36＝60種．故選D.8．(2024·蕪湖一模)某校高一開設4門選修課，有4名同學選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學選修，則不同的選課方案有()A．96種B．84種C．78種D．16種答案B解析恰有2門選修課沒有被這4名學生選擇，先從4門課中任選2門共有Ceq\o\al(2,4)＝6種，4名學生選2門課共有24＝16種，解除4名同學全選其中一門課程為16－2＝14種，故有14×6＝84種．故選B.9．(2024·衡水二中檢測)用紅、黃、藍3種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數是()A．12B．24C．30D．36答案C解析按依次涂色，第一個圓有3種選擇，其次個圓有2種選擇，若前三個圓用了3種顏色，則第三個圓有1種選擇，后三個圓也用了3種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(種)，若前三個圓用了2種顏色，則后三個圓也用了2種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數是30.10．(2024·西安市長安一中二模)將數字“124467”重新排列后得到不同的偶數個數為()A．72B．120C．192D．240答案D解析由題意，末尾是2或6，不同的偶數個數為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120；末尾是4，不同的偶數個數為Aeq\o\al(5,5)＝120，故共有120＋120＝240個．故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11．(2024·湖北聯考)某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數為________．答案10解析設停車位有n個，這3輛共享汽車都不相鄰的種數：相當于先將(n－3)個停車位排放好，再將這3輛共享汽車插入到所成(n－2)個間隔中，故有Aeq\o\al(3,n－2)種，恰有2輛相鄰的種數：先把其中2輛捆綁在一起看作一個復合元素，再和另一個插入到將(n－3)個停車位排放好所成的(n－2)個間隔中，故有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)種，因為這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，∴Aeq\o\al(3,n－2)＝Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)，解得n＝10.12．(2024·汕頭市高三上學期期末)把分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必需是連號，那么不同的分法種數為________(用數字作答)．答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必需是連號，相當于將1,2,3,4,5這5個數用2個板子隔開，在4個空位插2個板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種狀況，再對應到3個人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種狀況，則共有6×6＝36種狀況．13．(2024·衡水中學高三上學期四調)某校畢業典禮由6個節目組成，考慮整體效果，對節目演出依次有如下要求：節目甲必需排在前三位，且節目丙、丁必需排在一起，則該校畢業典禮節目演出依次的編排方案共有________種．答案120解析①當甲在首位，丙丁捆綁，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48種；②當甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36種；③當甲在第三位，前兩位分別是丙丁和不是丙丁兩種狀況，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36種，因此共48＋36＋36＝120種．14．(2024·廣州市天河區高三一模)假如一個三位數abc同時滿意a>b且b<c，則稱該三位數為“凹數”，那么全部不同的三位“凹數”的個數是________．答案285解析依據題意，按十位數字分類探討：①十位數字是9時不存在，此時三位“凹數”的個數為0；②十位數字是8，只有989，此時三位“凹數”的個數為1；③十位數字是7，則百位與個位都有2種可能，所以此時三位“凹數”的個數為2×2＝4；④十位數字是6，則百位與個位都有3種可能，所以此時三位“凹數”的個數為3×3＝9；⑤十位數字是5，則百位與個位都有4種可能，所以此時三位“凹數”的個數為4×4＝16；⑥十位數字是4時，則百位與個位都有5種可能，