學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一歸納推理歸納推理是發現新事物的推理方法，歸納的方法是獲得數學結論的一條重要途徑,運用不完全歸納推理，通過觀察、試驗、從特例中歸納出一般結論,哥德巴赫猜想就是典型歸納推理的應用，它能在某種程度上推動數學的發展．【典型例題1】已知數列{an｝滿足an＋1＝an－an－1(n≥2），a1＝a，a2＝b，設Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結論正確的是（)A．a100＝－a,S100＝2b－a B．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－a D．a100＝－a,S100＝b－a解析:∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b,a7＝a，a8＝b，……可得數列具有周期性，每連續6項為一個周期．∴a100＝a4＝－a,S100＝S4＝2b－a。答案：A點評解答選擇題時，根據題干提供的條件，用演繹推理或計算很難確定選項時，我們可以通過考查符合條件的某個(或某些）特殊情形，并歸納猜想出一般性結論的選項,從而否定另一些結論的選項，輕松確定正確選項．探究二類比推理進行類比推理，關鍵是明確出兩類事物在某些方面的類似特征,類比推理也是獲得數學結論的一條重要途徑，尤其在學習過程中,學習新知識，要充分聯系以前學過的舊知識,具有共性的知識是一脈相承的，這其實就是類比推理在實踐中的運用．【典型例題2】已知橢圓具有性質：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點,當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．思路分析:充分運用類比推理可知在雙曲線中kPM·kPN為定值，然后利用解析法證明即可．解：類似的性質為：若M1,N1是雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2)＝1上關于原點對稱的兩個點，點P1是雙曲線上任意一點，當直線P1M1，P1N1的斜率都存在，并記為kP1M1，kP1N1時，那么kP1M1與kP1N1之積是與點P1的位置無關的定值．設點M1，P1的坐標為(m，n)，(x,y)，則N1（－m，－n)．因為點M1（m，n)在已知的雙曲線上，所以n2＝eq\f（b2，a2）m2－b2.同理,y2＝eq\f（b2,a2)x2－b2.則kP1M1·kP1N1＝eq\f（y－n，x－m)·eq\f（y＋n,x＋m)＝eq\f（y2－n2，x2－m2）＝eq\f(b2，a2）·eq\f（x2－m2，x2－m2）＝eq\f（b2，a2）(定值）．點評在學習雙曲線這節內容時，要注意與橢圓的知識進行類比，以便找出它們之間的共性．探究三推理的綜合應用合情推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養．當然對于結論正確與否，要進行嚴格證明才行．【典型例題3】有一個雪花曲線序列,如圖：其產生規則是:將正三角形P0的每一邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向外作等邊三角形,再擦去中間的那條線段，便得到第1條雪花曲線P1；再將P1的每條邊三等分，按照上述規則，便得到第2條雪花曲線P2；……;把Pn－1的每條邊三等分，按照上述規則,便得到第n條雪花曲線Pn(n＝1，2,3，4，…)．(1)設P0的周長為L0，求Pn的周長；（2）設P0的面積為S0，求Pn的面積．解：（1)雪花曲線序列中，前后兩條曲線之間的基本關系如下圖所示，易得Ln＝eq\f(4,3）Ln－1，n∈N＋，所以Ln＝eq\f（4,3)Ln－1＝…＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,3）)）nL0，n∈N＋.(2)由雪花曲線的構造規則比較P0和P1，易得P1是P0在每條邊增加了一個小等邊三角形，其面積為eq\f(S0，32),而P0有3條邊，故有S1＝S0＋3·eq\f（S0,32）＝S0＋eq\f(S0,3).再比較P2與P1，可知P2是P1在每條邊上增加了一個小等邊三角形,其面積為eq\f（1,32）·eq\f(S0，32)，而P1有3×4條邊，故有S2＝S1＋3×4×eq\f（S0,34）＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）.類似地，有S3＝S2＋3×42×eq\f（S0,36)＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）＋eq\f(42S0，35)，故可猜想Sn＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f（4S0，33）＋eq\f(42S0，35）＋eq\f（43S0,37)＋…＋eq\f(4n－1S0,32n－1）＝S0＋eq\f(\f(1，3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，9）)）n）),1－\f（4，9）)S0＝eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(8,5）－\f（3,5）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4,9)））n））S0.探究四易錯辨析易錯點：在進行類比推理時，由于類比的相似性少或被一些表面現象所迷惑從而導致類比結論的錯誤．解決此類問題的關鍵是先充分認識兩個系統的相同(或相似)之處,充分考慮其中的本質聯系，再進行類比．【典型例題4】請用類比推理完成下表：平面空間三角形的面積等于任意一邊的長度與該邊上高的乘積的eq\f(1,2)三棱錐的體積等于任一底面的面積與該底面上高的乘積的eq\f（1,3）三角形的面積等于其內切圓半徑與三角形周長乘積的eq\f(1，2)錯解一：三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐各棱長之和的乘積的eq\f(1,3)。錯解二:三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐各面面積之和的乘積的eq\f(1，2).錯因分析：錯解一“三角形周長”的類比錯誤，錯解二“eq\f(1,2)”的類比錯誤．三角形的周長“a＋b＋c”應類比為三棱錐各面面積的和“S1＋S2＋S3＋S4”；“eq