2024北京首都師大附中高二9月月數 學一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個正確選項）zi1已知i ，則z（ ）2A.0 B.1 C.2如圖，在平行六面體ABCD中，ABAD（ ）

D.2A.B.C.D.3.已知A2,，B6,3，則AB的坐標為（ ）A.8,8,4

B.8,8,4

C.8,8,4

D.8,8,4如圖，已知正方體ABCD的棱長為1，AADB（ ）2A.1 B.2

C. D.135.設n2分別是平面y2x2,1，若xy3（ ）92

72

3 D.72已知直線的方向向量為u0,，直線l2的方向向量為v0,3,，則直線與l2所成角的度數為（ ）A.30 B.60 C.120 D.150已知n為平面的一個法向量，a為直線l的一個方向向量，則“an”是“l//”的（ ）充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件已知點OBC為空間不共面的四點，且向量aOAOBOC，向量bOAOBOC，則與a,b不能構成空間基底的向量是( )OA B.OB C.OC D.OA或OB在空間直角坐標系OxyzA2,1,1在坐標平面OxzBy軸的對稱點為點C，則B，C兩點間的距離為（ ）172521A. B.3 C.2 D.172521在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCDMNBCAD的中點，則AM和CN夾角的余弦值為（ ）A.2 B. 3 C.13 3 3

D.23二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）已知向量a2,，則與a共線的單位向量為 .12.已知向量a2,，bm,且ab，則m，ab.13.已知直線l經過A1,0,1，B2,0兩點，則點P2,1,4到直線l的距離為 .在空間直角坐標系Oxyz中，已知AB2,0,0，AC0,2,0，AD0,0,2.則CD與CB的夾角的余弦值為 ；CD在CB的投影向量a.以下關于空間向量的說法：①若非零向量a，b，c滿足a//b，b//c，則a//c②任意向量a，b，c滿足abcabc ③若OA,OB,OC為空間向量的一組基底，且OD2OA2OB1OC，則A，B，C，D四點共 3 3 3面axb3x9x3，則10其中正確命題的序號是 .三、解答題（共4道大題，共60分）

a,b為鈍角ABCD2E的中點.；的法向量；的距離.ABC的底面邊長為2，高為4D為E的中點.C1E//；BC所成角的正弦值.2ABCDAB4AD222

，BAD60，BAA1DAA145，AC與BD相交于點O，設AB=a，ADb，AA1c.試用基底abc表示向量；求的長；求直線BC所成角.2S--ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的2

倍，P為側棱SD上的點．求證：AC⊥SD；SDACD的夾角大小；在（2）SCEBESE∶EC的值；若不存在，試說明理由．參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個正確選項）【答案】C【分析】利用復數的乘法求出z，再求出復數的模.(1)2(1)22【詳解】依題意，z(i1)i1i，則|(1)2(1)22故選：C【答案】C【分析】利用向量的加減法法則計算即可.【詳解】ABADAA1DBAA1DBDD1D1B故選：C【答案】B【分析】利用空間向量坐標運算即可.A2B63，AB8,84故選：B.【答案】A【分析】結合圖形利用空間向量的線性運算求解即可.【詳解】因為DBDBBBABADBBABADAA，且AAAB0，AAAD0，AADBAAABADAAAAABAAAD1.故選：A.【答案】Dn//n1y2xy即可.1 1 x 2 1//【詳解】 ，且,n2分別是平面,的法向量，則//n1//1y2x1y4xy7.x 2 1 2 2故選：D.【答案】B【分析】根據空間向量夾角公式cos

u,vuv，代入即可得到向量夾角，同時注意直線夾角的范圍.uvv(0,【詳解】直線l1方向向量uv(0,u,vuu,vuvuv11(3)21cos

1),

1，2所以兩向量夾角為120，直線和l2所成角為60故選：B.【答案】B【分析】根據線面平行的性質及其法向量和方向向量的關系判斷即可.n為平面a為直線l若an，則l或l//，充分性不成立，若l//，則an，必要性成立，所以“an”是“l//”的必要不充分條件.故選：B.【答案】C【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出．【詳解】

OC1(ab)1(OAOBOC)1(OAOBOC)，2 2 2OC與a、b不能構成空間基底；故選：C．【答案】D【分析】先求得B，C的坐標，再用兩點的距離公式求解A2,1,1在坐標平面OxzB，B2，A2,1,1y軸的對稱點為點C，所以C2,1，2222221021221故選：D【答案】A【分析】根據正四面體性質取BN的中點為P，即可知AMP即為異面直線AM和CN的夾角的平面角,計算出各邊長利用余弦定理即可求得結果.【詳解】連接BN，取BN的中點為P，連接AP,MP，如下圖所示：由正四面體的棱長為1可得AMCNBN 3，2又M,P分別是BC,BN的中點，所以MP//CN，且1CN 3，2 4所以AMP即為異面直線AM和CN的夾角的平面角，又易知BNAN，且PN1BN

3AP

7，AN2PNAN2PN134 16337因此cosAMP4 16

2，2 3 3 32 42即AM和CN夾角的余弦值為3.故選：A二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）【答案】

14,314,

14或

14,314,

147 14 14 7 14 14aa aaa【分析】求出a

，再根據 求解即可.a 223214a 223214a2,3,114,314,14所以a 14

7 14 14， 所以與

共線的單位向量為

14,314,

14或

14,314,

14.a 7 14 14 7 14 14 故答案為：

14,314,

14或

14,314,

14.7 14 14 7 14 14 12.【答案】 ①.1##0.5 ②. 41##1 412 2 2【分析】利用空間向量的垂直關系即可求解；根據向量的加法及模的運算即可求解.a2bm，ab時，所以2m10，所以m1；2因為a2,0,1，b1,2,1， 2 2ab5,2,0，2 abab52 222所以

41.2故答案為：1；41.2 2AP,ABAP3AP,ABAP【分析】根據坐標求出cos

， APPPP到直線l的距離.【詳解】AP,AB 1311AP,AB 13112由題意得，AP1,1,3，AB1,0,1，cosAP11911APcosAPAP11911APcosAP,AB 2

2211112，PP112

3.故答案為：3.1【答案】 ①.2

②.1,1,0【分析】先根據空間向量的坐標運算求出CD與CB的坐標，然后由向量夾角的運算公式和投影向量的計算公式即可求出結果.AB200AC020AD002，所以CDADAC022CBABAC220，所以cosCDCBCDCDCB

4222

1，2CD在CB

CDcosCDCBCBCB

1,1,0.2故答案為：1；1,1,0.2【答案】①③【分析】根據向量共線定理可判斷①；由向量數量積的運算律可判斷②；根據AD1AB1CB可判斷3 3③；當x3時可判斷④.【詳解】對于①，因為a，b，c是非零向量，且滿足a//b，b//c，故存在實數，使得ab，bc，故ac，所以a//c，故①正確；對于②，因為ac不一定共線且向量的數量積為實數，所以abcabc不一定成立，故②不正確；對于③，若OA,OB,OC為空間向量的一組基底，所以A，B，C三點不共線，OD2OA2OB1OC，且ODOA1OA2OB1OC1OBOA1OBOC，3 3 3 3 3 3 3 3所以AD1AB1CB，則A，B，C，D四點共面，所以③正確；3 3對于④，當x3時，a，b反向共線，有b3a，a,b為180，所以④不正確.故答案為：①③.三、解答題（共4道大題，共60分）（1）證明見解析；（2）2，答案不唯一；（3）236.【分析】（1）根據線面垂直的性質，即可證明線線垂直；建立空間直角坐標系，求得對應點的坐標，利用向量法即可求得結果；根據（2）在平面法向量上的投影向量的長度即可.【小問1詳解】ABCD.【小問2詳解】以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，如下所示：02B20E2,22，D1E1,2,0,BE1,0,2,A1D12,0,0mxyz，m1E0 x2y0則 ，即 ，取

，可得y1,z1，mBE0

x2z0

??=2故平面D1BE的一個法向量為2,1,1.【小問3詳解】設點A1到平面D1BE的距離為d，d

m

26 26 411 326故點A到平面DBE的距離為 .261 13（1）證明見解析（2） 55（1）由已知建立空間直角坐標系，求出直線C1E行的向量判定方法求解即可；（2）根據線面角的向量求解公式求解即可.【小問1詳解】如圖以AACyzABCACx軸建立空間直角坐標系，C0,4，B0，D0,2，E3,1,4，??(0,0,4)，C0,0，1 2 2 1 所以CE3,3,0AB3,,4D3,,2，1 2 2 1 設平面A1BD的法向量為nx,y,z，nn0nBD0所以 ，即

3xy4z0，3xy2z0令xn所以

3，所以z1，y1，的一個法向量，CEn13233CEn1323 2 又因為C1E所以C1E//；【小問2詳解】由（1）BC

0，n

，設直線BC與平面A1BD所成角為，所以sincosBC,n

BCBC

31 ，552 555所以直線BC與平面所成角的正弦值為 .55（1）

1a1bc2 23（2）3π（3）2【分析】（1）利用空間向量的線性運算求解即可；由（1）可知

1a1bc，然后利用數量積求模長即可；2 2利用空間向量線線角的向量法求解即可.【小問1詳解】OAOAAA

1ABAD

1AB1ADAA1a1bc；1 1 2

1 2 2

1 2 2【小問2詳解】2AB4，AD2，22

，BAD60，45，ababcos60所以 421ababcos602bcbac

c45c

222422

24，228，2由（1）知OA1

1a1bc，2 22所以OA21a1bc1a21b2c21abacbc3，21 2 2 4 4 2 【小問3詳解】BCADb，OABC1a1bcb1ab1b2bc0，1 2 2 2 2 coscosOA,BC1OA1BC0，OA1BCπ所以OA1與BC所成角為2，所以直線OA與直線BC所成角為π.1 219（1）（230°3）SE∶E＝2∶1.（1）BDACBD于OSOABCD.以O為坐標原點，OBOCOSxyz軸正方向，建立空間直角