第18章圓【知識銜接】————初中知識回顧————垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．切線的性質與證明：切線的判定：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線．（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．（3）經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線的性質：學科-網（1）切線與圓只有一個公共點．（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．（3）切線垂直于經過切點的半徑．證明四點共圓的方法有：（1）到一定點的距離相等的點在同一個圓上（2）同斜邊的直角三角形的各頂點共圓（3）線段同旁張角相等，則四點共圓．（4）若一個四邊形的一組對角再互補，那么它的四個頂點共圓（5）若四邊形的一個外角等于它的內對角，那么它的四個頂點共圓（6）四邊形ABCD對角線相交于點P，若PA·PC＝PB·PD，則它的四個頂點共圓（7）四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線交于點P，若，則它的四個頂點共圓．圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形————高中知識鏈接————直線和圓的位置關系?相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．?相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．?相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離．圓和圓的位置關系?兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓的外離．兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做兩個圓的外切．?兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交．兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內部，叫做兩個圓的內切．?兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓的內含．弦切角定理：弦切角等于所夾弧所對的圓周角?與圓有關的比例線段(1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．(4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【經典題型】初中經典題型例1：如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為()10cmB．16cmC．24cmD．26cm【答案】C例2：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑作半圓O，交BC于點D．若∠BAC＝40°，則eq\o(AD,\s\up8(︵))的度數是________度．【答案】140【解析】如解圖，連接AD，OD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝20°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝20°，∴∠AOD＝180°－20°－20°＝140°，即eq\o(AD,\s\up8(︵))的度數為140°．例3：如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PD=，求⊙O的直徑．【分析】（1）連結OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接著根據圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠OAP=90°，于是根據切線的判定定理可判斷AP與⊙O相切；（2）連接AD，證得△AOD是等邊三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到結論．【解析】（1）證明：連接OA，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切線．例4：如圖，設AB為圓的直徑，過點A在AB的同側作弦AP、AQ交B處的切線于R、S，求證：P、Q、S、R同點共圓．AABQSRP證明：連PQ、QB內四邊形ABQP內接于圓∴∠QBA＝∠RPQ又∵SB為切線，AB為直徑∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB∴∠RPQ＝∠QSB∴P、Q、S、R四點共圓例5：圓內接四邊形ABCD，O為AB上一點，以O為圓心的半圓與BC，CD，DA相切，求證：AD＋BC＝ABAADCOEB解：在AB上截取BE＝BC，連結OC，OD，DE，CE．∴∠BEC＝（180°－∠B）∵ABCD內接于圓，∴180°－∠B＝∠ADC∴∠BEC＝∠ADC又DA，DC為半圓切線，∴∠ADC＝∠ADO＝∠ODC∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四點共圓．∴∠AED＝∠OCD＝∠BCD＝（180°－∠A），∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC．高中經典題型1、如圖所示，在四邊形ABCP中，線段AP與BC的延長線交于點D，已知AB＝AC且A，B，C，P四點共圓．(1)求證：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．【答案】（1）詳見解析（2）162、如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點，A，D是⊙O上兩點，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，則∠BAD等于________．【答案】99°3、如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，過PA的中點M作割線交⊙O于點B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，則∠MPB＝________．【答案】20°【解析】由切割線定理得，MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即eq\f(MB,MP)＝eq\f(MP,MC)，又∠BMP＝∠PMC．故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB＝180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°．4、如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于點A，點B，且PB＝7，C是圓上一點，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________．【答案】eq\r(35)5、如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________．【答案】eq\f(8,3)【實戰演練】————先作初中題——夯實基礎————A組1、如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為M，若AB=12，OM：MD=5：8，則⊙O的周長為（）A．26πB．13πC．D．【分析】連接OA，根據垂徑定理得到AM=AB=6，設OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根據勾股定理得到OA=×13，于是得到結論．2、⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，則∠BAC度數為．【答案】75°或15°．【解析】試題分析：有兩種情況：①如圖1所示：連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂徑定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如圖2所示：連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂徑定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案為：75°或15°．3、將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經過點C，且與AD交于點E，分別連接EB，EC．（1）求證：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）設AB與CE交于點M．根據角平分線的性質得出．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么=．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例得出=，進而得出結論．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM與△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴=，∴===．4、如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E，切點為F，連接AF交CD于點N．（1）求證：CA=CN；（2）連接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圓O的直徑的長度．【分析】（1）連接OF，根據切線的性質結合四邊形內角和為360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角結合平行線的性質即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通過互余利用角的計算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可證出CA=CN；（2）連接OC，由圓周角定理結合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的長度，設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，根據勾股定理即可得出關于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圓O直徑的長度．（2）連接OC，如圖2所示．∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．設CH=4a，則AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN===a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圓O的直徑的長度為2r=．5、如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點C．（1）若點A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求點B的坐標；（2）若D為線段NB的中點，求證：直線CD是⊙M的切線．【答案】(1)B（，2）．(2)證明見解析．∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直線CD是⊙M的切線．6、如圖，設A為⊙O外一點，AB，AC和⊙O分別切于B，C兩點，APQ為⊙O的一條割線，過點B作BR//AQ交⊙O于點R，連結CR交AO于點M，試證：A，B，C，O，M五點共圓．AABGPCOMQ解：連接OB，OC，BC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴A，B，O，C四點共圓，∵BR//AQ，∵∠GBR=∠BAQ，而∠GBR=∠BCR，∴∠BAQ=∠BCR，即∠BAM=∠BCM，∴A，B，M，C四點共圓，但A，B，C三點確定一個圓，∴A，B，C，O，M五點共圓．7、如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B，C兩點，D為PC中點，且AD延長線交⊙O于點E，又，求證：（1）PA＝PD；（2）．AAPBDOEC解：（1）連接AB∵∵∵∠E＝∠F∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD∵PA切⊙O于點A，∴∠E＝∠PAB∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA（2）∵PA切⊙O于點A，∴∵D為PC中點，∴PC＝2PD，∵PD＝PA，∴,∴DP＝2PB，∴B為PD中點，DC＝2BD，∴8、如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE長為2，CD＝1，求DE的長度．AACDPOHEB解：連PO交AB于H，設DE＝x，則，在Rt△APH中，∴①在Rt△PHD中，②由相交弦定理，知而∴③由①②③可知，，∴DE＝————再戰高中題——能力提升————B組1．如圖，為圓的直徑，為的延長線上一點，過作圓的切線，切點為，過作直線的垂線，垂足為．若，，則．【答案】【名師點晴】本題主要考查的是切線的性質、平行線分線段成比例定理和切割線定理，屬于容易題．解題時一定要注意靈活運用圓的性質，否則很容易出現錯誤．凡是題目中涉及長度的，通常會使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基礎知識．2．如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且，則．【答案】【名師點睛】判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質特點靈活選擇判定定理．在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質定理可能多次用到．3．如圖，四邊形是的內接四邊形，的延長線與的延