專題第1講解一元二次方程與實際應用(40題)

解一元二次方程(15題)

1.解方程：

⑴/+6尤-5=0；⑵(3x-2)2=⑵-3)2.

【分析】(1)利用配方法解出方程；

(2)利用平方差公式按原式變形，利用因式分解法解出方程.

【解答】解：(1)f+6x-5=0,

貝!]X2+6X=5,

；./+6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

'.x-3=±VT4)

.'.XI=3+V14'尤2=3-V14;

(2)(3x-2)2=(2x-3)2,

則(3x-2)2-(2x-3)2=0,

/.(3x-2+2x-3)(3x-2-2x+3)=0,

/.(5x-5)(x+1)=0,

/.5x-5=0或x+l=0,

??X1—1>X2=11.

2.解下列方程：

(1)x2-10x+16=0；(2)2x2-4x-1=0.

【分析】(1)利用十字相乘法把方程的左邊變形，進而解出方程；

(2)利用配方法解出方程.

【解答】解：(1)10x+16=0,

則(x-2)(%-8)=0,

Ax-2=0,x-8,=0,

??xi=2,X2=8；

(2)2?-4x-1=0,

貝！J2X2-4x=1,

Ax2-2x=—,

2

/.x2-2x+l=—+1,

2

.*1=±迎，

2

22

3.解方程：

(1)X2-3X-4=0；(2)x(x-2)=1；

(3)x2-2x+l—9；(4)2?-2x-1=0.

【分析】(1)利用因式分解式解出方程；

(2)先把方程化為一般形式，再利用公式法解出方程；

(3)先把方程化為一般形式，再利用因式分解法解出方程；

(4)利用公式法解出方程.

【解答】解:(1)3x7=0,

(%-4)(x+1)=0,

XI=4,X2=-1;

(2)x(x-2)=1,

x2-2x-1=0,

A=(-2)2-4XlX(-1)=4+4=8,

.?.尸2士正=2*Xi=i±加，

22

Axi=1+5/2?xi—\-A/2；

(3)/-2%+l=9,

x2-2x-8=0,

(x-4)(x+2)=0,

Ax-4=0或x+2=0,

>.X1=4,xi~~~2；

(4)2?-2x-1=0,

?/A=(-2)2-4X2X(-1)=4+8=12,

.?_2±V12_2±273

2X24

4.解下列方程：

⑴x2-4x+2=0；(2)2X2-5x-1=0.

【分析】(1)利用配方法解一元二次方程；

(2)利用公式法解一元二次方程.

【解答】解:(1)V?-4x=-2,

.,.x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2,

：.x-2=±^2,

.,.XI=2+^/2,X2=2-V2；

(2),:a=2,b=-5,c=-1,

A=(-5)2-4X2X(-1)=33>0,

._-b±Vb2-4ac5±V33

??X--------------------------------------,

2a4

即xi=5+^3=5-依3

44

5.解方程：

(1)f+8x-1=0；(2)x(尤-2)+x-2=0.

【分析】(1)先利用配方法得到(x+4)2=17,然后利用直接開平方法解方程.

(2)利用因式分解法把原方程轉化為尤-2=0或x+l=0,然后解兩個一次方程即可.

【解答】解：(1)/+8x-1=0,

x2+8x=1,

/+8x+16=1+16,

(x+4)2=17,

.r+4=±V17-

;

XI=-4+VI7，X2=-4-V17

(2)x(x-2)+x-2=0,

(x-2)(x+1)=0,

x-2=0或x+l=0,

XI=2,X2=-1.

6.解方程：

(1)x2-4x+3=0；(2)3x2-5x+l=0.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)利用求根公式法解方程.

【解答】解：(1)/-4x+3=0,

(x-3)(x-1)=0,

.,.x-3=0或％-1=0,

??=3,X2=1；

(2)3X2-5x+l=0,

這里〃=3,b--5,c=l,

J△=(-5)2-4X3Xl=13>0,

.?_5±V13_5±V13

??X---------------,

2X36

-rl-54V13?_5-V13

??Al-------,AZ---------?

66

7.用指定的方法解下列方程：

(1)/+6x-16=0(配方法)；(2)/+iox+9=o(公式法).

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：(1)方程變形得：/+6x=16,

配方得：/+6x+9=16+9,即(x+3)2=25,

開方得：x+3=±5,

解得：xi=2,X2=~8；

(2)?+10x+9=0,

這里〃=1,Z?=10,c=9,

VA=100-36=64>0,

.-io±V64

r-5±4,

2X1

??XI=-1,X2=19.

8.用適當的方法解下列方程:

(1)d+4尤-6=0；(2)(x+4)2=5(x+4).

【分析】(1)利用公式法解方程即可；

(2)整理后，利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：(1)/+4x-6=0

b—4,c--6,

：.A=42-4X1X(-6)=40,

...唁①=-4±嚴=_2±折，

NaZ

?\xi=-2+-/10，X2=-2-V10；

(2)(x+4)2=5(九+4)

/.(x+4)2-5(x+4)=0,

貝!I(x+4)(x+4-5)=0,

???(x+4)(x-1)=0,

貝Ux+4=0或x-1=0,

；?xi=-4,X2=l.

9.用適當的方法解下列一元二次方程：

(1)/+x-4=0；(2)(2x+l)2+15=8(2x+l).

【分析】(1)利用解一元二次方程-公式法，進行計算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答.

【解答】解：(1)/+x-4=0,

VA=12-4X1X(-4)=1+16=17>0,

._-l±V17

??A--------------,

(2)(2x+l)2+15=8(2x+l),

⑵+1)2-8(2x+l)+15=0,

(2x+l-3)⑵+1-5)=0,

(2x-2)(2x-4)=0,

2x-2=0或2x-4=0,

xi=1,xi—2.

10.(27+3x)2-4(2f+3x)-5=0.

【分析】把(2/+3無)看作一個整體，利用十字相乘分解因式，即可求解.

【解答】解：(2?+3x)2-4(2/+3無)-5=0,

[-5][(2?+3無)+1]=0,

(2x+5)(x-1)(2x+l)(x+1)=0,

51="11

乂1=方，x2-1,X3=^2'X4-

11.計算：

(1)3?-5x-3=0；(2)3x(x-1)=2(x-1).

【分析】(1)利用解一元二次方程中的公式法計算即可；

(2)利用解一元二次方程中的因式分解法計算即可.

【解答】解：(1)3?-5%-3=0,

?*ct~^39-51c=-3,

??.A=02-4〃C=(-5)2-4X3X(-3)=61,

._-b±Vb2-4ac_5±V61_5±V61

,,X==='

2a2X36

.5+V615-后

X1626

(2)3x(x-1)=2(x-1),

3x(x-1)-2(x-1)=0,

(x-1)(3x-2)=0,

/.x-1=0或3x-2=0,

、n

=l或X2號

12.解下列方程：

(1)?+4x-1=0；(2)(x-3)2+2X(x-3)=0.

【分析】(1)配方法求解可得；

(2)因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)?+4^-1=0,

X2+4X=1,

W+4x+4=5,

(x+2)2=5,

X+2=±V5?

解得：XI=-2+JM，X2=-2-5/5；

(2)分解因式得：(％-3)(x-3+2x)=0,

可得x-3=0或3x-3=0,

解得：Xl=3,X2=l.

13.解下列方程：

⑴[(2X-5)2=1；(2)/-6X=4；

(3)3x(2x+l)=2(2x+l)；(4)2/-7x+3=0.

【分析】(1)利用直接開平方法解一元二次方程即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可；

(3)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(4)利用公式法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)原方程化為(2%-5)2=4,

兩邊開平方，得2尤-5=±2,

.73

「IkX2方

(2)酉己方，得尤2-6^+32=4+32,

則(%-3)2=13,

開平方，得x-3=士后，

=;

,,xj=3+\/13.X23-V13

(3)移項，得3無(2尤+1)-2(2尤+1)=0,

貝ij(2x+l)(3x-2)=0,

?*.2x+l=0或3x-2=0,

-1_2

「方，

,?xx2-y

(4)對于方程2?-7x+3=0,a—2,b--7,c—3,

貝！JA=廿-4ac=49-4X2X3=25,

./±5

14.請用合適的方法解下列方程：

(1)3x(%-2)=2(%-2)；(2)2X2-3X-14=0.

【分析】(1)先移項得到3x(x-2)-2(尤-2)=0,再利用因式分解法把方程轉化為x-2=0或3x-

2=0,然后解兩個一次方程即可；

(2)利用因式分解法把方程轉化為2x-7=0或x+2=0,然后解兩個一次方程即可.

【解答】解：(1)3x(尤-2)=2(尤-2),

3x(尤-2)-2(x-2)=0,

(%-2)(3x-2)=0,

x-2=0或3x-2=0,

所以Xl=2,X2=—；

3

(2)2?-3x-14=0,

(2x-7)(x+2)=0,

2x-7=0或x+2=Q,

所以XI=—,X2=-2.

2

15.解方程：

(1)/+8尤=9(用配方法解);(2)3/-5x=2(用公式法解);

(3)(x-4)2=9；(4)x2-7x+6=0；

(5)(x+3)2=2X+6；(6)(x+3)2=(1-2無)2.

【分析】(1)把方程兩邊都加上一次項系數的平方，得f+8x+(&)2=9+(S)2,即(x+4)2=25,

22

然后利用直接開平方法求解；

(2)先變形為一般式3/-2=0,再計算出A=(-5)2-4X3X(-2)=49,然后代入一元二次

方程的求根公式進行計算即可；

(3)利用直接開平方法求解；

(4)用因式分解法直接求解即可；

(5)先把方程轉化為一般式，再用因式分解求解即可；

(6)先兩邊開方得到彳+3=土(1-2x),然后解兩個一次方程即可.

【解答】解：(1)；/+8>=9,

.../+8x+(―)2=9+(―)2,即(x+4)2=25,

22

；.x+4=±5,

??XI1,X2=-9;

(2)原方程變形為3/-5x-2=0,

VA=(-5)2-4X3X(-2)=25+24=49,

._5±V49_5±7

??X-------------------,

2X36

**?=2,xi=-；

3

(3)???(x-4)2=9；

Ax-4=±3,

??XI=7,X2=1；

(4)x2-7x+6=0,

(x-6)(x-1)=0,

/.x-6=0或％-1=0,

??XI=6,X2~~1;

(5)(x+3)2=2X+6,

.9.X2+6X+9-2X-6=0,

/.X2+4X+3=0,

/.(x+1)(x+3)=0,

，x+l=0或x+3=0,

??XI=-1,X2=13;

(6);(尤+3)2=(1-2x)2,

；.x+3=±(1-2x),

.\x+3=l-2x或x+3=-l+2x,

，xi=--,X2=4.

3

一元二次方程的實際應用(25題)

16.用12加長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使該場地的面積為20帆2,并且在垂直于墻的一邊開

一個1加長的小門(用其它材料)，若設垂直于墻的一邊長為X7",那么可列方程為()

JU____________T

A.x12'x-l=20B.x12-、+1=20

C.無(12-2x+l)=20D.X(12-2x-1)=20

【分析】設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為初2可以得出平行于墻的一邊的長為(12-2x+l)m.根據矩

形的面積公式建立方程即可.

【解答】解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為1根可以得出平行于墻的一邊的長為(12-2x+l)m,由

題意得x(12-2x+l)=20,

故選：C.

17.2023年4月23是第28個世界讀書日，讀書已經成為很多人的一種生活方式，城市書院是讀書的重要

場所之一，據統計，某書院對外開放的第一個月進書院600人次，進書院人次逐月增加，到第三個月末

累計進書院2850人次，若進書院人次的月平均增長率為無，則可列方程為()

A.600(1+2%)=2850

B.600(1+x)2=2850

C.600+600(1+龍)+600(1+x)2=2850

D.2850(1-%)2=600

【分析】先分別表示出第二個月和第三個月的進館人次，再根據第一個月的進館人次加第二和第三個月

的進館人次等于2850,列方程即可.

【解答】解：設進館人次的月平均增長率為x,則由題意得：

600+600(1+x)+600(1+x)2=2850.

故選：C.

18.為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每盒零售價由16元降為9元,

設平均每次降價的百分率是尤，則根據題意，下列方程正確的是()

A.16(1-x)2=9B.16(1-x2)=9C.9(1-x)2=16D.9(1+x2)=16

【分析】設該藥品平均每次降價的百分率為無，根據降價后的價格=降價前的價格X(1-降價的百分率),

則第一次降價后的價格是16(1-尤)，第二次后的價格是16(1-%)2,據此即可列方程求解.

【解答】解：根據題意得：16(1-%)2=9,

故選：A.

19.某超市一月份的營業額200萬元，已知第一季度的營業總額共1000萬元，如果平均每月增長率為尤，

由題意列方程應為()

A.200(1+x)2=1000

B.200+200X2x=1000

C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

D.200口+尤+(1+無)2]=1000

【分析】先得到二月份的營業額，三月份的營業額，利用等量關系：一月份的營業額+二月份的營業額+

三月份的營業額=1000萬元，把相關數值代入即可.

【解答】解：...該超市一月份的營業額為200萬元，且平均每月增長率為尤，

該超市二月份的營業額為200(1+x)萬元，三月份的營業額為200(1+x)2萬元，

又?.?第一季度的總營業額共1000萬元，

Z.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000,

BP200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故選：C.

20.某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出200件，現需降價處理，且經市場

調查發現：每降價1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤要達到8450元.若設店主把該商品每件售

價降低x元，則可列方程為()

A.(60-%)(200+8%)=8450B.(20-x)(200+%)=8450

C.(20-x)(200+40x)=8450D.(20-%)(200+8尤)=8450

【分析】當店主把該商品每件售價降低x元時，每件的銷售利潤為60-X-40=(20-x)元，每星期可

賣出(200+8x)件，利用每星期的銷售總利潤=每件的銷售利潤X每星期的銷售量，即可得出關于龍的

一元二次方程，此題得解.

【解答】解：當店主把該商品每件售價降低尤元時，每件的銷售利潤為60-尤-40=(20-%)元，每星

期可賣出(200+8%)件，

根據題意得：(20-%)(200+8元)=8450.

故選：D.

21.《九章算術》勾股章有一問題，其意思是：現有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上

端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩

索有多長？若設繩索長度為x尺，根據題意，可列方程為()

A.8?+/=(x-3)2B.82+(x+3)2=x2

C.82+(x-3)2=，D./+(x-3)2=82

【分析】設繩索長為x尺，根據勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：設繩索長為無尺，可列方程為(X-3)2+82=/,

故選：C.

22.為了滿足師生的閱讀要求，某校圖書館的藏書逐年增加，從2018年年底至2020年年底該校的藏書由

4.5萬冊增加到6.48萬冊,設某校2018年年底至2020年年底藏書的年平均增長率為尤,則可列方程為()

A.4.5+4.5(1+x)+4.5(1+x)2=6.48

B.4.5X2(1+x)=6.48

C.4.5(l+2x)=6.48

D.4.5(1+x)2=6.48

【分析】利用2020年年底該校的藏書量=2018年年底該校的藏書量X(1+年平均增長率)2,即可得出

關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：4.5(1+x)2=6.48.

故選：D.

23.有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則可列方程得()

A.2(x+1)=121B.x+x(1+x)=121

C.1+x+x(1+x)=121D.1+(l+無)2=121

【分析】由每輪傳染中平均一個人傳染了尤個人，可得出第一輪傳染中有x個人被傳染，第二輪傳染中

有X(1+X)個人被傳染，結合“有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感”，即可得

出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，

第一輪傳染中有無個人被傳染，第二輪傳染中有無(1+x)個人被傳染，

又???有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，

可列出方程l+x+尤(1+x)=121.

故選：C.

24.某校在操場東邊開發出一塊長、寬分別為18相、10根的矩形菜園(如圖)，作為勞動教育系列課程的實

驗基地之一，為了便于管理，現要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，剩下的用于種植，且種植面積

為1447/,設小道的寬為WJ,根據題意可列方程為()

B.2/=144

C.(18-x)(10-2x)=144D.(18-2x)(10-2x)=144

【分析】由小道的寬為；mi,可得出剩下的用于種植的部分可合成長為（18-2元）m,寬為（10-x）用的

矩形，結合種植面積為144MA即可得出關于尤的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???小道的寬為xm,

剩下的用于種植的部分可合成長為（18-2無）m,寬為（10-x）機的矩形.

根據題意得：(18-2x)(10-x)=144.

故選：A.

25.某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發現，每盆花的盈利與每盆株數構成一定的關系，每盆植入3

株時，平均單株盈利10元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少1元，要使每

盆的盈利為40元，需要每盆增加幾株花苗？設每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（）

A.(x-3)(10-%)=40B.(尤+3)(10-%)=40

C.(%-3)(10+無)=40D.(x+3)(10+x)=40

【分析】根據已知假設每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（10-x）元,

根據每盆花苗株數義平均單株盈利=每盆的總盈利即可得出方程.

【解答】解：由題意得：（尤+3）（10_x）—40,

故選：B.

26.在絲綢博覽會期間，某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長60c〃z,寬40c〃z,中間鑲有寬度

相同的三條絲綢條帶.若絲綢條帶的面積為6505？，求絲綢條帶的寬度;

x的一元二次方程，解方程即可.

【解答】解：設絲綢條帶的寬度為xcm,

由題意得：2xX40+（60-2無）x=650,

整理得：?-70x+325=0,

解得：xi=5,%2=65（不合題意，舍去），

答：絲綢條帶的寬度為5c7".

27.昆明湖中學提醒學生，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定，某頭盔經銷商銷售某名牌頭盔，

進價為30元/個，經測算，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上每上漲1元/個，則

月銷售量將減少10個，設售價在40元/個的基礎上漲價尤元.

（1）用含有x的代數式表示月銷售量y；

（2）為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少

元/個？

【分析】（1）利用月銷售量=600-10X售價在40元/個的基礎上漲的錢數，即可用含x的代數式表示出

月銷售量y；

（2）利用月銷售利潤=每個頭盔的銷售利潤X月銷售量，可列出關于龍的一元二次方程，解之可求出x

的值，結合要盡可能讓顧客得到實惠，可確定x的值，再將其代入（40+x）中，即可求出結論.

【解答】解：（1）根據題意得：y=600-10%；

（2）根據題意得：（40+X-30）（600-10%）=10000,

整理得：/-50x+400=0,

解得：xi=10,%2=40,

又：要盡可能讓顧客得到實惠，

.*.x=10,

40+x=40+10=50.

答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個.

28.道州臍橙果大、皮薄，色澤鮮艷，果肉多汁化渣，風味濃郁，果汁中含有大量的維生素及對人體有益

的礦物質，深受消費者的喜愛.某合作社從2020年到2022年每年種植臍橙100畝，2020年臍橙的平均

畝產量為2000千克，2021年到2022年引進先進的種植技術提高臍橙的產量，2022年臍橙的平均畝產量

達到2880千克.

（1）若2021年和2022年臍橙的平均畝產量的年增長率相同，求臍橙平均畝產量的年增長率為多少？

（2）2023年該合作社計劃在保證臍橙種植的總成本不變的情況下，增加臍橙的種植面積，經過調查發

現，2022年每畝臍橙的種植成本為1200元，若臍橙的種植面積每增加1畝，每畝臍橙的種植成本將下

降10元，求2023年該合作社增加臍橙種植面積多少畝，才能保證臍橙種植的總成本不變？

【分析】（1）設2021年和2022年臍橙平均畝產量的年增長率為x,第2021年臍橙平均畝產量為1000

（1+x）千克，第2022年臍橙平均畝產量為1000（1+x）2千克，據此列出方程求解即可；

（2）設增加臍橙種植面積。畝，根據成本不變列出方程求解即可.

【解答】解：（1）設2021年和2022年臍橙平均畝產量的年增長率為x,

根據題意，得2000（1+x）2=2880,

解得尤1=0.2,xi--2.2(不合題意，舍去)，

答：臍橙平均畝產量的年增長率為20%.

(2)設增加臍橙種植面積。畝.

根據題意，得(100+a)(1200-10a)=1200X100.

解得。1=0(不合題意，舍去)，"2=20.

答：該合作社增加臍橙的種植面積20畝時，才能保證臍橙種植的總成本保持不變.

29.2022年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡.某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆.據統計，

該店2022年1月的“冰墩墩”銷量為1萬件，2022年3月的“冰墩墩”銷量為1.21萬件.

(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；

(2)該零售店4月將采用提高售價的方法增加利潤，根據市場調研得出結論：如果將進價80元的“冰

墩墩”按每件100元出售，每天可銷售500件，在此基礎上售價每漲1元，那么每天的銷售量就會減少

10件，該零售店要想每天獲得12000元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應該定為多少元？

【分析】(1)設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為x,由題意可列方程為IX(1+x)2=1.21,求解

即可.

(2)設每件商品的售價應該定為加元，根據題意可列方程為(根-80)(1500-10/〃)=12000,求出機

的值，再使其滿足銷量盡可能大即可.

【解答】解：(1)設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為X,

由題意可得，IX(1+x)2=1.21,

解得xi=0.1,X2=-2.1(舍去)，

答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%.

(2)設每件商品的售價應該定為m元，

則每件商品的銷售利潤為80)兀，

每天的銷售量為500-10(.m-100)=(1500-10m)件，

依題意可得-80)(1500-10m)=12000,

解得7〃1=110,m2=120,

??.要使銷量盡可能大，

答：每件商品的售價應該定為110元.

30.受益于國家支持新能源汽車發展和“一帶一路”發展戰略等多重利好因素.某汽車零部件生產企業的

利潤率年提高，據統計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為3.92億元.

(1)求該企業從2019年到2021年利潤的年平均增長率；

(2)若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業2022年的利潤能否超過5.5億元？

【分析】(1)設該企業從2019年到2021年利潤的年平均增長率為x,根據題意列一元二次方程求解即

可；

（2）根據該企業從2019年到2021年利潤的年平均增長率求出該企業2022年的利潤即可作答.

【解答】解：（1）設該企業從2019年到2021年利潤的年平均增長率為x,

根據題意得：2（1+x）2=3.92,

解得：xi=0.4=40%,Xi—-2.4（不合題意，舍去），

即該企業從2019年到2021年利潤的年平均增長率為40%；

（2）若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，

該企業2022年的利潤為:3.92X（1+40%）=5.488<5.5,

故該企業2022年的利潤不能超過5.5億元.

31.隨旅游旺季的到來，北湖濕地公園的游客人數逐月增加，3月份游客人數為8萬人，5月份游客人數為

12.5萬人.

（1）求這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率；

（2）預計6月份北湖濕地公園游客人數會繼續增長，但增長率不超過前兩個月的月平均增長率.已知北

湖濕地公園6月1日至6月10日已接待游客6.625萬人，則6月份后20天日均接待游客人數最多是多

少萬人？

【分析】（1）設這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為x,利用5月份游客人數=3月份游

客人數X（1+這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率）2,可列出關于x的一元二次方程，解

之取其符合題意的值，即可得出結論；

（2）設6月份后20天日均接待游客人數是y萬人，根據6月份游客人數不超過12.5X（1+25%）萬人，

可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論.

【解答】解：（1）設這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為X,

根據題意得：8（1+x）2=12.5,

解得：xi=0.25=25%,xi--2.25（不符合題意，舍去）.

答：這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為25%；

（2）設6月份后20天日均接待游客人數是y萬人，

根據題意得：6.625+20yW12.5X（1+25%）,

解得：yW0.45,

的最大值為0.45.

答：6月份后20天日均接待游客人數最多是0.45萬人.

32.某商店經銷一種銷售成本為每千克30元的水產品.據某樂同學在市場分析，若按每千克40元銷售，

一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克.

（1）當銷售單價是定為每千克45元時，求月銷售利潤；

（2）某商店想在月銷售成本不超過9000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多

少？

【分析】（1）利用月銷售利潤=每千克的銷售利潤X月銷售量，即可求出結論；

（2）設銷售單價定為x元/千克，則每千克的銷售利潤為（x-30）元，月銷售量為（900-10%）千克，

利用月銷售利潤=每千克的銷售利潤X月銷售量，可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，

再結合月銷售成本不超過9000元，即可確定結論.

【解答】解：（1）根據題意得：（45-30）X[500-10X（45-40）]

=15X[500-10X5]

=15X[500-50]

=15X450

=6750（元工

答：月銷售利潤為6750元；

（2）設銷售單價定為x元/千克，則每千克的銷售利潤為（龍-30）元，月銷售量為500-10（x-40）=

（900-10%）千克，

根據題意得：（%-30）（900-10%）=8000,

整理得：/-120^+3500=0,

解得：xi=50,X2=7O,

當x=50時，30（900-10x）=30X（900-10X50）=120009000,不符合題意，舍去；

當尤=70時，30（900-10x）=30X（900-10X70）=6000<9000,符合題意.

答：銷售單價應定為70元/千克.

33.臺風“杜蘇芮”牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動，第一天

收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2）按照（1）中收到的捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？

【分析】（1）解答此題利用的數量關系是：第一天收到捐款錢數X（1+每次增長的百分率）2=第三天收

到捐款錢數，設出未知數，列方程解答即可；

（2）第三天收到捐款錢數X（1+每次增長的百分率）=第四天收到捐款錢數，依此列式子解答即可.

【解答】解：（1）設捐款增長率為無，根據題意列方程得，

3000X（1+無）2=4320,

解得xi=0.2,X2=-2.2（不合題意，舍去），

答：捐款增長率為20%.

（2）4320X（1+20%）=5184元.

答:第四天該單位能收到5184元捐款.

34.2022年北京冬季奧運會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯合舉行，冬奧會吉祥物為

“冰墩墩”.

（1）據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產500個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生

產量增長率相同，四月份該工廠生產了720個“冰墩墩”，求該工廠平均每月生產量增長率是多少？

（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價幅度不超過10元的情

況下，每下降2元，則每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，則每個“冰墩墩”應降價多少元？

■7

【分析】（1）設該工廠平均每月生產量增長率為龍，利用該工廠四月份生產“冰墩墩”的數量=該工廠

二月份生產“冰墩墩”的數量x（1+該工廠平均每月生產量的增長率）2,即可得出關于X的一元二次方

程，解之取其正值即可得出結論；

（2）設每個“冰墩墩”降價y元，則每個盈利（40-y）元，平均每天可售出（20+5y）個，利用總利潤

=每個的銷售利潤X日銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論.

【解答】解：（1）設該工廠平均每月生產量的增長率為尤，

依題意得：500（1+x）2=720,

解得：xi=0.2=20%,X2=~2.2（不符合題意，舍去）.

答：該工廠平均每月生產量的增長率為20%.

（2）設每個“冰墩墩”降價y元，則每個盈利（40-y）元，平均每天可售出20+10義工=（20+5y）個，

2

依題意得：（40-y）（20+5y）=1440,

整理得：/-36y+128=0,

解得：yi=4,”=32（不符合題意，舍去）.

答：每個“冰墩墩”應降價4元.

35.現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高速發展.據調查，某家小型“大學生自主創業”的

快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件.現假定該公司每月

的投遞總件數的增長率相同.

（1）求該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率；

（2）如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現有的20名快遞投遞業務員能否完成今

年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業務員？

【分析】（1）設該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率為X,利用今年五月份完成投遞的快遞總件

數=今年三月份完成投遞的快遞總件數X（1+該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率）2,即可得出

關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）求出今年6月份的快遞投遞任務及20名快遞投遞業務員一個月的最大投遞量，比較后可得出該公

司現有的20名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，設需要增加y名快遞投遞員，根據

一個月的投遞量不少于13.31萬件，即可得出關于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范圍，再

取其中的最小整數值即可得出結論.

【解答】解：（1）設該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率為X,

依題意得：10（1+x）2=12.1,

解得：xi=0.1=10%,Xi—-2.1（不符合題意，舍去）.

答：該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率為10%.

（2）12.1X（1+10%）=13.31（萬件），

V0.6X16=9.6（萬件），9.6<13.31,

該公司現有的20名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務.

設需要增加y名快遞投遞員，

依題意得;0.6（20+y）>13.31,

解得：聲整1,

60

又為正整數，

的最小值為3.

答：該公司現有的20名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，至少需要增加3業務員.

36.某社區在開展“美化社區，幸福家園”活動中，計劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠

長），用50米長的籬笆圍成一個矩形花園A8CD（籬笆只圍AB,兩邊）.

（1）若花園的面積為400平方米，求A8的長；

（2）若在直角墻角內點尸處有一棵桂花樹，且與墻8C,CD的距離分別是10米，30米，要將這棵樹圍

在矩形花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），則花園的面積能否為625平方米？若能，求出AB的值；若

不能，請說明理由.

【分析】（1）設A3的長為x米，則BC的長為（50-%）米，由矩形的面積公式列出方程，解方程即可

得到答案；

（2）設的長為x米，則的長為（50-尤）米，由矩形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案.

【解答】解：⑴設的長為尤米，則BC的長為（50-%）米，

由題意得：無（50-尤）=400,

解得：xi=10,X2—40,

即AB的長為10米或40米；

（2）花園的面積不能為625米2,

理由如下：

設AB的長為x米，則8C的長為（50-尤）米，

由題意得：

x（50-%）=625,

解得：XI=%2=25,

當尤=25時，BC=50-x=50-25=25,

即當AB=25米，BC=25米＜30米，

二花園的面積不能為625米2.

37.“杭州亞運?三人制籃球”賽將于9月25-10月1日在我縣舉行，我縣某商店抓住商機，銷售某款籃球

服.6月份平均每天售出100件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，7月份該店準備采取降價

措施，經過市場調研，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出10件.

（1）若降價5元，求平均每天的銷售數量；

（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為6000元？

【分析】（1）利用平均每天的銷售量=100+10義每件商品降低的價格，即可得出結論；

（2）設每件商品降價x元，則每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（lOO+lOx）元，利用總利潤=每

件盈利X平均每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，求解即可.

【解答】解：（1）平均每天的銷售數量為：100+10X5=150（件），

答：平均每天的銷售數量150件；

（2）設每件商品降價x元，

根據題意，得：（100+lOx）（40-x）=6000,

解得：xi=10,X2—20,

答：當每件商品降價10元或20元時，該商店每天銷售利潤為6000元.

38.2018-2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲豬瘟疫情爆發，2019年中國豬肉價格持續高漲，2020

年新冠病毒爆發，目前各行各業都存在潛在的變化，例如2019年豬肉價格持續高漲，引起了政府、市場

監督等部門的高度重視，據統計，2019年1月精品瘦肉的售價為32元/千克，由于豬瘟疫情，生豬減少，

市場對豬肉的需求量持續增加，所以豬肉價格持續上漲，已知2020年1月豬肉的售價比2019年1月上

漲了5a%,市民王大爺2020年1月18號在雙福鎮永輝超市購買4.5千克的精品瘦肉花了324元.

（1）求。的值；

（2）雙福鎮永輝超市將進價為52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18號的價格出售，平均每天能售

出150千克，因為政府部門的高度重視，豬肉價格有所下降，經市場調查發現，精品瘦肉的售價每千克

下降1元，其日銷量就增加10千克，雙福鎮永輝超市為實現銷售精品瘦肉每天有3040元的利潤，并盡

可能讓消費者得到實惠，精品瘦肉的售價應為多少元？

【分析】（1）根據在雙福鎮永輝超市購買4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32X（l+5a%）X4.5=324,

解方程可得a的值為25；

（2）設精品瘦肉的售價應為x元，2020年1月18號的價格為32義（1+壽空.）=72（元/千克），根據

100

每天有3040元的利潤得（x-52）[150+10X（72-%）]=3040,解方程并檢驗可得精品瘦肉的售價應為

每千克68元.

【解答】解：（1）根據題意得：

32X（1+5?%）