2024-2025學年廣東省廣州市玉巖中學高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知a=（2,—1,3）,b—（-4,2,%）,Ma1b,則％=（）

A.yB.-6C.6D.1

2.直線y+2=牛（x-4避）傾斜角及在y軸上的截距分別是（）

7171…71,7T

A.不6B.幣-6C，3-6D-r-6

3.一個不透明的盒子中裝有大小、材質均相同的四個球，其中有兩個紅球和兩個黃球，現從盒子中一次性

隨機摸取兩個球，則這兩球不同色的概率為（）

A-cD

A-6-l1

4.拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci="點數為i"，其中i=l,2,3,4,5,6,D1=

“點數不大于2"，入="點數大于2"，外="點數大于4”，下列結論判斷錯誤的是（）

A.Ci與C2互斥B.U。2==0

C.D.C2,C3為對立事件

5.平面上0,A,B三點不共線，設萬？=春麗則AOAB的面積等于（）

A.J|a|2網2-（a.b）2B.^|a|2|fo|2+（a-b）2

C.U（z|2網2_（a.b）2D.^|a|2|b|2+（a-b）2

6.如圖，一座圓拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬12米，則當水面下

降1米后，水面寬為（）

A.米B.米12

C.米D.2用米

7.已知棱長為2的正方體48CD-4道道山1內有一內切球。，點P在球。的表面上運動，則刀?無的取值范

圍為（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,4]D.[0,4]

8.設直線I：%+y-l=0,一束光線從原點。出發沿射線y=kx（久20）向直線I射出，經I反射后與久軸交于

點M,再次經x軸反射后與y軸交于點N.若|麗|=手，貝怵的值為（）

321

A.-B.-C.-D.2

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.從1?20這20個整數中隨機選擇一個數，設事件2表示選到的數能被2整除，事件B表示選到的數能被3整

除，則對下列事件概率描述正確的是()

13Q~~7

A.PQ4)日B.PQ4CB)=高C.PQ4U8)=總D.P(XnB)=^

乙乙U乙U乙U

10.1765年，數學家歐拉在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同

一條直線上，這條直線就是后人所說的“歐拉線”.已知△48C的頂點B(-1,0),C(0,2),重心G《,|),則下

列說法正確的是()

A.點a的坐標為弓0)

B.AABC為等邊三角形

C.歐拉線方程為2x+4y-3=0

D.A4BC外接圓的方程為(“一》2+(y])2=督

11.在平行六面體中，AB=AD=AA1=2i/-DAB=^.ArAB=^ArAD=60°,若而

=mAB+nAD+pAA^f其中n,pe[0,1],則下列結論正確的為()

A.若點Q在平面&BiCiDi內，則p=9

B.若CQ1DB,則m=n

c.當「=拊，三裱錐Q-48。的體積為竽

D.當m+n=1時，CQ長度的最小值為避

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.有甲、乙兩臺機床生產某種零件，甲生產出正品且乙生產出次品的概率為乙生產出正品且甲生產出

次品的概率為占每臺機床生產出正品的概率均大于則甲、乙同時生產這種零件，至少有一臺生產出正

oZ

品的概率是______.

13.設meR,已知直線%：(m+2)x+2my+2-m=0,過點(3,4)作直線況且人〃％，則直線人與，2之

間距離的最大值是.

14.已知直三棱柱力BC-&B1C1，AB1AC,AB=4C=441=2,E為側棱4公的中點，過E作平面a與平

面BCE垂直，當平面a與該直三棱柱所成截面為三角形時，頂點公與該截面構成的三棱錐體積的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

某停車場臨時停車按時段收費，收費標準為：每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元，超過1小時的部分

每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現有甲、乙兩人在該場地停車，兩人停車都不超過4小時.

(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為去停車付費多于14元的概率為*求甲停車付費6元的概

率；

(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲乙二人停車付費之和為28元的概率.

16.(本小題15分)

阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深入而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《

圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點Q與兩定點4B的距離之比為

2(2>0,2#：1),那么點Q的軌跡就是阿波羅尼斯圓.基于上述事實，完成以下兩個問題：

(1)已知力(2,3),5(0-3),若踹=2,求點D的軌跡方程;

(2)已知點P在圓(久一5尸+產=9上運動，點M(一4,0),探究:是否存在定點M使得|PM|=3|PN|恒成

立，若存在，求出定點N的坐標；若不存在，請說明理由.

17.(本小題15分)

如圖所示，三棱柱ABC—中，CA—a,CB-b,CC〕=c,CA-CB=CC1=1,<a,b>=<a,c

>=與，<b,c>=pN是AB中點.

(1)用方,b,工表示向量4N；

(2)在線段Ci以上是否存在點M,使AMlZiN?若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由.

18.(本小題17分)

如圖所示的幾何體中，尸。垂直于梯形ZBCD所在的平面，^ADC=/.BAD=會F為PA的中點，PD=@

AB=AD=^CD=1,四邊形PDCE為矩形，線段尸C交DE于點N.

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(1)求證：AC〃平面DEF；

(2)求二面角力-PB—C的正弦值；

77

(3)在線段EF上是否存在一點Q,使得與平面BCP所成角的大小為不？若存在，求出FQ的長；若不存在,

請說明理由.

19.(本小題17分)

在空間解析幾何中，可以定義曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程FQ,y,z)=0之間滿足：①曲面S

上任意一點的坐標均為三元方程尸(x,y,z)=0的解；②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解(%o,yo,zo)為坐標的

點均在曲面S上，則稱曲面S的方程為F(x,y,z)=0，方程F(x,y,z)=0的曲面為S.已知空間中某單葉雙曲面C

的方程為苧+。-3=1,雙曲面C可視為平面xOz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉一周所得的旋轉面，已知直

線/過C上一點Q(l,l,2),且以d=(—2,0,—4)為方向向量.

(1)指出X?！灯矫娼厍鍯所得交線是什么曲線，并說明理由；

(2)證明：直線】在曲面C上；

(3)若過曲面C上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設直線/'在曲面C上，且過點7("

,0,2),求異面直線，與Y所成角的余弦值.

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參考答案

l.A

2.B

3.0

4.D

5.C

6.D

7.4

8.B

9.ABD

IQ.ACD

11.50

12—

-12

13.5

14-

-6

15.解：(1)甲停車付費6元，說明甲停車不超過1小時；停車付費多于14元，說明停車超過2小時.

再根據甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為《，停車付費多于14元的概率為總，

可得甲停車付費6元的概率為1-，^=；.

(2)設甲乙2人的停車時間分別為x小時、y小時，其中小y為正整數，

則所有的。,y)共有：(1,1)、(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)、(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)、(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1)、(4,2),(4,3),(4,4),共計16個，

其中滿足甲乙二人停車付費之和為28元的(x,y)有：(1,3)、(2,2)、(3,1),共計3個，

故甲乙二人停車付費之和為28元的概率為條.

16

16.解：(1)設D(x,y),貝2尸+(y—3)2,⑷切=5+°+3已

故，二，；:3)：)2=2,故。―2)2+(y—3)2=4/+4(y+3)2,

化簡得點。的軌跡方程為/+y2+京+lQy+^=0；

(2)假設存在定點N,使得|PM|=3|PN|恒成立，設P(%y),N(m,n),

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故1PMi=+4尸+y2,|pN|=^/(%-m)24-(y-n)2,

因為|PM|=3\PN\,故(％+4)2+y2=9(%—7n)2+93—幾)2,

即%2+y29a：4.%一岑.y+9m2+9n2-16_而點P在圓(%—5)2+y2=9上，即/+y2

44o

—10%+16=0,

,9m+4=1Q

c4

=o'm=4,

對照可知,T，解得n=0,

9m2+9九216_16

8

故存在定點N(4,0),使得|PM|=3|PN|恒成立.

17.解：(1)&N=AiA+AN=GC+%B=-CC1+1(CF-CX)=+扣一c；

(2)假設存在點M,使4M1&N,設口而=2好瓦，(2G[0,1]),

顯然；l麗=Xb,俞=痂+砧7+GM=c-a+Xb,

因為AM1&N,所以胸1不=0,

即(c—a+A/>)?(-5a+~Z?—c)=0,

[—>—>]―>—>—>2]—>2]—>—>—>—>]—>—>]—>2—>—>

一~c?a+-c?b—c+~ci—~CL,b+c?a+—Aci,b+—Ab—X.b,c=0

__,—>—>—>2TT-'/1

CA=CB=CC\=1,<a,b>=<a,c>=—,<b,c>=

[―>―>―>2]―>2]]—>—>—>—>]—>2

——c?ci—c+—CL—(5+,4)。?匕+c?a+萬助—0

即91x1x(-1)-12+|x12-(1+12)x1x1x(-)+11-12=0,

11

解得4=宗所以當CW=到＜81時，AM1&N

18.(1)證明：因為四邊形PDCE為矩形，所以N為PC的中點.連

接尸N,

在APAC中，F,N分別為PA,PC的中點，所以FN//AC,

因為FNu平面DEF,ACC平面DEF,

所以4C〃平面DEF.

(2)解：易知04DC,DP兩兩垂直，如圖以D為原點，分別以

DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.

則P(0,0，M)/(l,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),所以麗=(1,1,一也)，於=(-1,1,0).

設平面PBC的法向量為帚=Q,y,z),

第6頁，共8頁

PB=x+y—yf2z=0

不妨y=1,則％=1,z

BC=-x+y=0

所以平面P8C的一個法向量為訪=(1,1,/).

設平面ZBP的法向量為元=(%,y,z),

1X=y/2

(n-AB=y=0

,據此可得y=o,

\n-PB=x+y—yf2z=0z=1

則平面/BP的一個法向量為論=

____也+亞A

cos<m,n>=_/6

Jl+1+2?J2+13

故二面角力-PB-C的正弦值為圣

(3)解：設存在點Q滿足條件.由尸百0,座),E(0,2,也),

設FQ=AF￡(0<Z<1),整理得Q(寧,2尢網;+&),

則麗=(-^^,22-1,必(1+Q).

N2

因為直線BQ與平面BCP所成角的大小為也

所以si吟=|cos(麗而|=總嬴=2^19X102+7=1

解得1=1,

由0W4W1知4=1,即點Q與E重合.

故在線段EF上存在一點Q,且FQ=EF=歲.

19.解：(1)根據坐標平面%。y內點的坐標的特征可知，坐標平面%。y的方程為

z=0,

已知曲面C的方程為《+1,

當z=0時，xOy平面截曲面。所得交線上的點M(x,y,0)滿足/+y2=1,

即^/(x-0)2+(y-0)2+(z-0)2=1,

也即M在平面xOy上到原點距離為定值1,

從而xOy平面截曲面C所得交線是平面龍。了上，以原點。為圓心，1為半徑的圓.

(2)設P(xo,y(),zo)是直線Z上任意一點，

由2=(一2,0,-4),而均為直線/的方向向量，有而〃工

從而存在實數人使得QP=4d,即(%。—l,y()—l,z0—2)=4(—2,0,—4),

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XQ—1=-2A

貝小丫0一3=°,,解得久0=1-24,y0=l,z0=2-4A,

z0—2=-4A

所以點P的坐標為（1一241,2-4刃，