考點32空間幾何體表面積與體積知識梳理一．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r＋r′)l二．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3精講精練題型一空間幾何的體積【例1】(2024·陜西咸陽市·高三一模)如圖，在三棱錐中，平面平面是的中點．(1)求證：平面；(2)設點N是的中點，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)∵平面平面，平面，平面，是的中點，，平面(2)由(1)知平面，是的中點，到平面的距離是，平面，，．【方法總結】【方法總結】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解割補法把不規則的圖形分割成規則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積等體積法等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決三棱錐的體積【舉一反三】1．(2024·江西吉安市·高三其他模擬)在四棱錐中，平面，底面四邊形是邊長為1的正方形，側棱與底面成的角是，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】證明：(1)取的中點，連結、，∵是的中點，∴，且，∵底面四邊形是邊長是１的正方形，又是的中點，∴，且∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又磁面，平面，∴平面.(2)∵平面，∴是側棱與底面成的角，∴，∴是等腰直角三角形，則，∴.2．(2024·內蒙古赤峰市·高三月考)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，面面，且，點在棱上.(1)證明：當時，直線平面；(2)當平面時，求的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：連結與交于點，連結，，，，，又面，面，平面.(2)解：平面，平面，，是的中點，面面，點到面的距離為到面的距離為．3．(2024·安徽蕪湖市·高三期末)如圖，三棱柱的各棱的長均為2，在底面上的射影為的重心．(1)若為的中點，求證：平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)連接交于點，連接，則為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；(2)在中，為重心，則，在中，，則．題型二空間幾何的表面積【例2-1】(2024·全國高三專題練習)一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為.【答案】【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側面積．∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐的斜高為該六棱錐的側面積為【例2-2】(2024·全國高三專題練習)某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為()A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【方法總結】【方法總結】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積求不規則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積【舉一反三】1．(2024·湖南高三月考)如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，.(1)證明：直線平面；(2)若四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)在平面內，因為，所以，又平面，平面，故平面.(2)取的中點，連結，.依題四邊形為正方形，因為為等邊三角形，所以.又側面底面，平面平面，所以底面.因為底面.所以，同理側面，所以.設，則，，，.四棱錐的體積，解得.取的中點，連結，則，所以.所以，，.所以四棱錐的側面積為.2．(2024·全國高三專題練習)如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，D1D＝6，E，F分別是線段AB的兩個三等分點．(1)求證：D1F//平面A1DE；(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接交于，連接，如圖，分別為，的中點，,又平面A1DE，平面A1DE，D1F//平面A1DE(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，所以四棱柱為直四棱柱，因為在矩形中，BD1⊥B1D，所以四邊形是正方形，所以,所以,又，所以，即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為.3．(2024·上海閔行區·高三一模)如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于?的點.(1)求證：平面；(2)若，，，求圓柱的側面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：由已知可知平面，平面，點是上異于?的點，是的直徑，所以，又，∴平面.(2)在中，，，，，圓柱的側面積為：S側.題型三點面距【例3】(2024·河南信陽市·高三月考)如圖，在長方體中，為中點．(1)求證：平面；(2)若，，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)連接交于點，則為中點，連接，又為中點，故為的中位線，故，又平面，平面，所以平面．(2)由(1)知，平面，則到平面的距離與到平面的距離相等，連接．故，又中，，，．由余弦定理知：，則，故，.故到平面的距離即點到平面的距離為．【舉一反三】1．(2024·安徽蚌埠市·高三二模)如圖，已知四邊形和均為直角梯形，∥，∥，且，，．(1)求證：∥平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：在平面中，過作于，交于，連接，由題意知，且，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．(2)，，平面，∴平面，∵平面∴平面平面，在平面內過點作交于，則平面，∵，∴，，設點到平面的距離為，則由得，由題意知，，，代入，解得，即點到平面的距離為．2．(2024·河南高三期末)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點．(Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)求點到平面的距離．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)由題意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面．(Ⅱ)如圖，在平面內作，垂足為．由(Ⅰ)知平面，因為平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面．所以線段的長就是點到平面的距離．因為，所以．在平面內，可知，所以，得，所以點到平面的距離為．3．(2024·河南駐馬店市·高三期末)如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上(不含端點)的動點，．(1)證明：平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)證明：取的中點，連接，．因為該多