2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(北京專(zhuān)用)

專(zhuān)題01新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問(wèn)題

(北京13-22年最后一題+真題10道模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

新定義"型問(wèn)題是指在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀

懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類(lèi)型

(1)定義新運(yùn)算；(2)定義初、高中知識(shí)銜接"新知識(shí)"；(3)定義新概念.這類(lèi)試題考查考生對(duì)"新定

義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將"新定義"的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利

用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

解決此類(lèi)題的關(guān)鍵是(1)深刻理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論；

(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸

納“舉例”提供的分類(lèi)情況；(3)依據(jù)新定義，運(yùn)用類(lèi)比、歸納、聯(lián)想、分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想方法解決題目中需要解決的問(wèn)題。

北京中考最后一題的新定義主要涉及函數(shù)與圓的有關(guān)新定義問(wèn)題，屬于函數(shù)的范疇，已經(jīng)考過(guò)“對(duì)應(yīng)

點(diǎn)”、“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”、“平移距離”“閉距離”、“相關(guān)矩形”、“反稱(chēng)點(diǎn)”、“有界函數(shù)”、“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”等新定義。在

平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中要從細(xì)節(jié)中挖掘出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，引領(lǐng)學(xué)生找到解決問(wèn)題的思想方法.解答這類(lèi)問(wèn)題的

關(guān)鍵是要讀懂題目提供一的新知識(shí)，理解其本質(zhì)，把它與己學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為己學(xué)的知

識(shí)進(jìn)行解決.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分

【例1】(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(a,6),N.對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P

向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P',

點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)點(diǎn)N在線(xiàn)段。M的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若點(diǎn)P(—2,0),點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q；

②連接PQ,交線(xiàn)段ON于點(diǎn)T.求證：NT=：OM;

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，且。N=t(1<t<：L),若P為。。外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為

點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在O。上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫(xiě)出PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差(用含t的式子表示)

【例2】（2021?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,對(duì)于點(diǎn)力和線(xiàn)段BC,給出如下

定義：若將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)可以得到O。的弦8'C'分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線(xiàn)段BC是。。的以

點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”.

（1）如圖，點(diǎn)481，的,_82，。2島,。3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線(xiàn)段B1G，B2c2，B3c3中，O。的以點(diǎn)4為中心的

“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”是;

（2）△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)2（0?,其中t40.若BC是。。的以點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，

求t的值；

（3）在△ABC中，AB=1,AC=2.若BC是。。的以點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，直接寫(xiě)出。4的最小值和最

大值，以及相應(yīng)的BC長(zhǎng).

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2020?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系久0y中，。。的半徑為1,A,B為。O外兩點(diǎn)，AB=1.給出

如下定義：平移線(xiàn)段AB,得到。O的弦（48分別為點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線(xiàn)段24長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為

線(xiàn)段AB到。O的“平移距離”.

(1)如圖，平移線(xiàn)段AB到。。的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在

點(diǎn)「1島島島中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于線(xiàn)段AB到。O的“平移距離”；

(2)若點(diǎn)A,B都在直線(xiàn)y=V3%+2舊上，記線(xiàn)段AB到00的“平移距離”為心，求出的最小值；

(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,|),記線(xiàn)段AB到。。的“平移距離”為d2,直接寫(xiě)出d2的取值范圍.

2(2019?北京?中考真題)在aABC中，D,E分別是△4BC兩邊的中點(diǎn)，如果南上的所有點(diǎn)都在aABC的

內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)而為aABC的中內(nèi)弧.例如，下圖中朝是AABC的一條中內(nèi)弧.

(1)如圖，在RSABC中，AB=AC=2y[2,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).畫(huà)出AABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧

DE,并直接寫(xiě)出此時(shí)助的長(zhǎng)；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在aABC中，D,E分別是4B,AC的

中點(diǎn).

①若t=/求4ABC的中內(nèi)弧而所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②若在aABC中存在一條中內(nèi)弧礪，使得朝所在圓的圓心P在aABC的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出t的取值

范圍.

3.（2018?北京?中考真題）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系久。y中的圖形M,N,給出如下定義P為圖形M上任意一點(diǎn)，

Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”，

記作d（M,N）.

已知點(diǎn)4（-2,6）,B（-2,-2）,C（6,-2）.

（1）求d（點(diǎn)。，△48C）；

（2）記函數(shù)y="（—lWxWl,k力0）的圖象為圖形G,若d（G,△ABC）=1,直接寫(xiě)出k的取值范圍

（3）07的圓心為7（7,0）,半徑為1.若d（OT,AABC）=1,直接寫(xiě)出/的取值范圍.

4.（2017?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M,給出如下的定義若在圖形M存在一

點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1,則稱(chēng)P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

（1）當(dāng)。。的半徑為2時(shí)，

①在點(diǎn)「心0）/2仔字）,P3（|,0）中，0。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是.

②點(diǎn)P在直線(xiàn)y=-x上，若P為。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（2）OC的圓心在x軸上，半徑為2,直線(xiàn)y=-x+l與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B.若線(xiàn)段AB上的所有點(diǎn)都

是。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

5.（2016?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（打，上）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（冷，＞2），

且孫十無(wú)2,月大及，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱(chēng)該矩形為

點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”的示意圖.

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.

①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,1）求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積；

②點(diǎn)C在直線(xiàn)x=3上，若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線(xiàn)AC的表達(dá)式；

（2）。。的半徑為點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,3）.若在00上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為

正方形，求m的取值范圍.

6.(2015?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為心尸是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)

于。C的反稱(chēng)點(diǎn)的定義如下：若在射線(xiàn)CP上存在一點(diǎn)P,滿(mǎn)足CP+CP=2r,則稱(chēng)P為點(diǎn)尸關(guān)于OC的反稱(chēng)

點(diǎn)，如圖為點(diǎn)尸及其關(guān)于。C的反稱(chēng)點(diǎn)P的示意圖.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP=0.

(1)當(dāng)。。的半徑為1時(shí).

①分別判斷點(diǎn)〃(2,1),N(|,0),T(1,V3)關(guān)于。O的反稱(chēng)點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)尸在直線(xiàn)y=-x+2上，若點(diǎn)尸關(guān)于。。的反稱(chēng)點(diǎn)P存在，且點(diǎn)P不在x軸上，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值

范圍；

(2)。。的圓心在x軸上，半徑為1,直線(xiàn)尸-爭(zhēng)+2板與x軸、〉軸分別交于點(diǎn)/,B,若線(xiàn)段上存在

點(diǎn)尸，使得點(diǎn)P關(guān)于0c的反稱(chēng)點(diǎn)P在。C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

7.(2014?北京?中考真題)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿(mǎn)足

-M<y<M,則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿(mǎn)足條件的M中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如,

下圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

U)分別判斷函數(shù)y=：(%>0)和丫=%+1(—4<%32)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

(2)若函數(shù)y=—%+《瓦b>a)的邊界值是2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(—14工工相，m20)的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是上當(dāng)血在什么

范圍時(shí)，滿(mǎn)足

8.(2013?北京?中考真題)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和。C,給出如下定義：若。C上存在兩個(gè)點(diǎn)

A,B,使得NAPB=60。，則稱(chēng)P為。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)D(i,A),E(0,-2),F(2抬，0)

???i>

~Ox

(1)當(dāng)。O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D,E,F中，。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；

②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)G,使NGFO=30。，若直線(xiàn)上的點(diǎn)P(m,n)是。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的

取值范圍；

(2)若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.(2022?北京朝陽(yáng)?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為1,48=1,且8兩點(diǎn)中至少有一

點(diǎn)在。。外.給出如下定義平移線(xiàn)段N3,得到線(xiàn)段4夕(4,反分別為點(diǎn)Z,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，若線(xiàn)段4夕上

所有的點(diǎn)都在。。的內(nèi)部或。。上，則線(xiàn)段A4長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線(xiàn)段N8到。。的“平移距離”.

⑴如圖1,點(diǎn)邑的坐標(biāo)分別為(一3,0),(-2,0),線(xiàn)段A%到。。的“平移距離”為_(kāi)，點(diǎn)兒，B2

的坐標(biāo)分別為(號(hào)，V3)，(pW)，線(xiàn)段42夕2到。。的“平移距離”為—；

(2)若點(diǎn)/,5都在直線(xiàn)y=Bx+2值上，記線(xiàn)段到。。的“平移距離”為力求d的最小值；

(3)如圖2,若點(diǎn)/坐標(biāo)為(1,V3)，線(xiàn)段N8到。。的“平移距離”為1，畫(huà)圖并說(shuō)明所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)8形

成的圖形(不需證明).

2.(2022?北京北京?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1.對(duì)于線(xiàn)段PQ給出如下定義：若線(xiàn)段

PQ與。。有兩個(gè)交點(diǎn)M，N,且PM=MN=NQ,則稱(chēng)線(xiàn)段PQ是。。的“倍弦線(xiàn)”.

(1)如圖，點(diǎn)4,B,C,D的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線(xiàn)段4B,AD,CB,CD中，O。的倍弦線(xiàn)”是:

⑵O。的“倍弦線(xiàn)”P(pán)Q與直線(xiàn)x=2交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的取值范圍；

⑶若O。的“倍弦線(xiàn)”P(pán)Q過(guò)點(diǎn)(1,0)，直線(xiàn)y=x+b與線(xiàn)段PQ有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出6的取值范圍.

3.(2022?北京大興?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P和直線(xiàn)y=l,給出如下定義：若點(diǎn)尸在直

線(xiàn)y=l上，且以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的角是45。，則稱(chēng)點(diǎn)尸為直線(xiàn)y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)若在直線(xiàn)x=1上存在直線(xiàn)y=1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”尸.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

y八

2-

1>=1

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

(2)過(guò)點(diǎn)P(2,l)作兩條射線(xiàn)，一條射線(xiàn)垂直于x軸，垂足為工；另一條射線(xiàn)、交無(wú)軸于點(diǎn)3,若點(diǎn)P為直線(xiàn)y=l

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

2-

1歹=1

-3-2-1O12345K

-1-

-2-

(3)以點(diǎn)。為圓心，1為半徑作圓，若在。。上存在點(diǎn)N,使得NOPN的頂點(diǎn)P為直線(xiàn)y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.則

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a的取值范圍是.

4.(2022?北京東城?二模)在平面直角坐標(biāo)系久0y中，對(duì)于圖形G及過(guò)定點(diǎn)P(3,0)的直線(xiàn)/,有如下定義：過(guò)

圖形G上任意一點(diǎn)Q作QUIZ于點(diǎn)若QH+PH有最大值，那么稱(chēng)這個(gè)最大值為圖形G關(guān)于直線(xiàn)/的最佳射影

距離，記作d(G,2),此時(shí)點(diǎn)Q稱(chēng)為圖形G關(guān)于直線(xiàn)/的最佳射影點(diǎn).

p

?456x

備用圖

⑴如圖1,已知2(2,2),8(3,3),寫(xiě)出線(xiàn)段4B關(guān)于x軸的最佳射影距離d(2B,久軸)=；

(2)已知點(diǎn)C(3,2),(DC的半徑為魚(yú)，求。C關(guān)于x軸的最佳射影距離d(0C,x軸)，并寫(xiě)出此時(shí)。C關(guān)于萬(wàn)

軸的最佳射影點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)。(0,何關(guān)于直線(xiàn)1的最佳射影距離d(點(diǎn)的最大值.

5.(2022?北京?清華附中一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)尸，。和圖形印，如果在圖形沙上

存在點(diǎn)N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么稱(chēng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。是圖形爪的一對(duì)平衡點(diǎn).

(1)如圖1,已知點(diǎn)4(0,3),8(2,3)；

①設(shè)點(diǎn)。與線(xiàn)段AB上一點(diǎn)的距離為d,則d的最小值是，最大值是

②在Pi(|,O),P2(l,4),P3(—3,0)這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)。是線(xiàn)段N8的一對(duì)平衡點(diǎn)的是.

(2)如圖2,已知。。的半徑為1,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,0).若點(diǎn)EQ,2)在第一象限，且點(diǎn)。與點(diǎn)E是。。的

一對(duì)平衡點(diǎn)，求x的取值范圍；

(3)如圖3,已知點(diǎn)H(—3,0),以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x的正半軸于點(diǎn)K.點(diǎn)C(a,6)(其中

b20)是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。C=5,0c是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若E/K上的任意兩個(gè)點(diǎn)

都是。C的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫(xiě)出b的取值范圍.

6.(2022?北京豐臺(tái)?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1,7(0,力為了軸上一點(diǎn)，尸為平面

上一點(diǎn).給出如下定義若在。。上存在一點(diǎn)。，使得△7QP是等腰直角三角形，且/T0尸=90。，則稱(chēng)點(diǎn)P

為。。的“等直點(diǎn)”，△7QP為。。的“等直三角形”.如圖，點(diǎn)/,B,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

j-?—

(1)當(dāng)f=2時(shí)，在點(diǎn)4,B,C,。中，。。的“等直點(diǎn)”是；

(2)當(dāng)f=3時(shí)，若△加「是。等直三角形”，且點(diǎn)尸，0都在第一象限，求焉的值.

7.(2022?北京市第一六一中學(xué)分校一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)P和圖形M如果線(xiàn)段。P與

圖形少無(wú)公共點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)尸為關(guān)于圖形少的“陽(yáng)光點(diǎn)”；如果線(xiàn)段OP與圖形少有公共點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P為關(guān)

于圖形少的“陰影點(diǎn)

①在尸/(1,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)這四個(gè)點(diǎn)中，關(guān)于線(xiàn)段的“陽(yáng)光點(diǎn)”是；

②線(xiàn)段A/J/AB,小片上的所有點(diǎn)都是關(guān)于線(xiàn)段的“陰影點(diǎn)”，且當(dāng)線(xiàn)段出片向上或向下平移時(shí)，都會(huì)

有，//上的點(diǎn)成為關(guān)于線(xiàn)段N8的“陽(yáng)光點(diǎn)”，若，出8/的長(zhǎng)為4,且點(diǎn)出在用的上方，則點(diǎn)出的坐標(biāo)

為_(kāi)______

(2)如圖2,已知點(diǎn)C(1,后,。。與y軸相切于點(diǎn)。，若。E的半徑為|,圓心E在直線(xiàn)/：y=—舟+4

聲上，且。E的所有點(diǎn)都是關(guān)于0c的“陰影點(diǎn)”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)如圖3,0M的半徑為3,點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離為5,點(diǎn)N是。M上到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，點(diǎn)0和T是坐

標(biāo)平面的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“陰影點(diǎn)”直接寫(xiě)出△NQ?的周長(zhǎng)的最小值.

8.(2022?北京市第五中學(xué)分校模擬預(yù)測(cè))定義：尸、0分別是兩條線(xiàn)段。和b上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段尸0長(zhǎng)度的

最小值叫做線(xiàn)段。與線(xiàn)段6的“冰雪距離”，已知O(0,0),A(1,VD，B(加，〃)，C(加，/2)是平面

直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).

(1)根據(jù)上述定義，完成下面的問(wèn)題:

①當(dāng)加=2魚(yú)，〃=加時(shí)，如圖1,線(xiàn)段8C與線(xiàn)段CM的“冰雪距離”是；

②當(dāng)俏=2魚(yú)時(shí)，線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的“冰雪距離”是魚(yú)，則n的取值范圍是；

(2)如圖2,若點(diǎn)8落在圓心為4半徑為魚(yú)的圓上，當(dāng)〃N魚(yú)時(shí)，線(xiàn)段8C與線(xiàn)段。區(qū)的“冰雪距離”記為

d,結(jié)合圖象，求d的最小值；

(3)當(dāng)機(jī)的值變化時(shí)，動(dòng)線(xiàn)段2C與線(xiàn)段。/的“冰雪距離”始終為魚(yú)，線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為直接寫(xiě)出點(diǎn)M

隨線(xiàn)段3C運(yùn)動(dòng)所走過(guò)的路徑長(zhǎng).

9.(2022?北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如果一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在一個(gè)角的內(nèi)部或邊上，那么稱(chēng)這個(gè)圓為該

角的角內(nèi)圓.特別地，當(dāng)這個(gè)圓與角的至少一邊相切時(shí)，稱(chēng)這個(gè)圓為該角的角內(nèi)相切圓.在平面直角坐標(biāo)

系xOy中，點(diǎn)、E,廠(chǎng)分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.

⑴分別以點(diǎn)/(1,0),B(1,1),C(3,2)為圓心，1為半徑作圓，得到ON,和。C,其中是/EOF

的角內(nèi)圓的是;

⑵如果以點(diǎn)。(62)為圓心，以1為半徑的。。為NEO尸的角內(nèi)圓，且與直線(xiàn)y=x有公共點(diǎn)，求t的取值

范圍；

(3)點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，如果存在一個(gè)半徑為1且過(guò)點(diǎn)尸(2,2V3)的圓為NEMO的角內(nèi)相切圓，直接寫(xiě)

出NEOM的取值范圍.

10.(2021?北京朝陽(yáng)?二模)在平面直角坐標(biāo)系了S中，對(duì)于圖形。和/尸，給出如下定義：若圖形。上的

所有的點(diǎn)都在/尸的內(nèi)部或/尸的邊上，則/尸的最小值稱(chēng)為點(diǎn)尸對(duì)圖形0的可視度.如圖1,NNOB的度

數(shù)為點(diǎn)O對(duì)線(xiàn)段N2的可視度.

(1)已知點(diǎn)N(2,0),在點(diǎn)Mi(0,1③，M2(1,V3)，用3(2,3)中，對(duì)線(xiàn)段ON的可視度為60。的點(diǎn)是

(2)如圖2,已知點(diǎn)4(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),D(2,2),E(0,4).

①直接寫(xiě)出點(diǎn)E對(duì)四邊形/BCD的可視度為°；

②已知點(diǎn)尸(°,4),若點(diǎn)尸對(duì)四邊形4BC。的可視度為45。，求a的值.

y八

E"

2

02

B-2C

圖1圖2

11.(2022?北京四中模擬預(yù)測(cè))在平面內(nèi)，對(duì)點(diǎn)組小，A2,和點(diǎn)尸給出如下定義：點(diǎn)尸與點(diǎn)小，

A2,N"的距離分別記作力，d2,dn,數(shù)組力，d2,辦的中位數(shù)稱(chēng)為點(diǎn)尸對(duì)點(diǎn)組小，A2,An

的中位距離.

例如，對(duì)點(diǎn)組小(0,0),A2(0,3),A3(4,1)和點(diǎn)尸(4,3),有力=5,d2=4,幺=2,故點(diǎn)尸對(duì)點(diǎn)組

A],A2,出的中位距離為4.

⑴設(shè)Z/(0,0),Z2(4,0),Z3(0,4),Y(0,3),直接寫(xiě)出點(diǎn)丫對(duì)點(diǎn)組Z/,Z2,Zg的中位距離；

(2)設(shè)G(0,0),C2(8,0),Q(6,6),則點(diǎn)Q(7,3),Q2(3,3),Q3(4,0),Q4(4,2)中，對(duì)點(diǎn)

組G，C2,C3的中位距離最小的點(diǎn)是，該點(diǎn)對(duì)點(diǎn)組C/，C2,C3的中位距離為;

(3)設(shè)河(1,0),N(0,何，Ti(60),T2(Z+2,0),T3(t,2),若線(xiàn)段MV上任意一點(diǎn)對(duì)點(diǎn)組T2,T3

的中位距離都不超過(guò)2,直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)f的取值范圍.

12.(2020?北京?人大附中模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于平面中的點(diǎn)P,Q和圖形M,若圖形M上

存在一點(diǎn)C,使NPQC=90。，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)尸關(guān)于圖形M的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，稱(chēng)APCQ為點(diǎn)P關(guān)于圖形M的“折轉(zhuǎn)三角

形”

(1)已知點(diǎn)4(4,0),5(2,0)

①在點(diǎn)Qi(2,2),Q2(l,—遍)，Q3(4,—1)中，點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)4的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)''是;

②點(diǎn)。在直線(xiàn)丫=—無(wú)上，若點(diǎn)。是點(diǎn)。關(guān)于線(xiàn)段4B的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)孫的取值范圍；

(2)0r的圓心為。0),半徑為3,直線(xiàn)y=x+2與x,y軸分別交于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)P為。7上一點(diǎn)，若線(xiàn)

段EF上存在點(diǎn)P關(guān)于OT的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且對(duì)應(yīng)的“折轉(zhuǎn)三角形”是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，直接寫(xiě)出t的取

值范圍.

13.(2020?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校三模)平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)M和圖形憶若圖形少上存在一

點(diǎn)N(點(diǎn)M,N可以重合)，使得點(diǎn)〃與點(diǎn)N關(guān)于一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)M與圖形少是沖心

軸對(duì)稱(chēng)''的

對(duì)于圖形勿1和圖形加2，若圖形加1和圖形加2分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N(點(diǎn)M,N可以重合)，使得點(diǎn)/與點(diǎn)N

關(guān)于一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)I對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)圖形W1和圖形勿2是“中心軸對(duì)稱(chēng)”的.

特別地，對(duì)于點(diǎn)M和點(diǎn)N,若存在一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/,使得點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)M和

點(diǎn)N是“中心軸對(duì)稱(chēng)”的.

(1)如圖1,在正方形N5CD中，點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)C(2,l),

①下列四個(gè)點(diǎn)Pi(0,l),02(2,2),P3(-|,0),P4(—1—亨)中，與點(diǎn)/是“中心軸對(duì)稱(chēng)”的是

②點(diǎn)E在射線(xiàn)上，若點(diǎn)E與正方形/2CD是“中心軸對(duì)稱(chēng)”的，求點(diǎn)K的橫坐標(biāo)距的取值范圍;

(2)四邊形7K的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為G(—2,2),"(2,2),/(2,-2),K(—2,—2),一次函數(shù)y=遮

x+b圖象與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)N,若線(xiàn)段與四邊形G凡爾是“中心軸對(duì)稱(chēng)”的，直接寫(xiě)出6的取

值范圍.

14.(2022?北京房山?二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和點(diǎn)。，給出如下定義：將圖形G繞點(diǎn)0

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱(chēng)為圖形G關(guān)于點(diǎn)。的“垂直圖形”，例如，圖1中線(xiàn)段。。為線(xiàn)段0C關(guān)

于點(diǎn)。的“垂直圖形”.

圖1

(1)線(xiàn)段MN關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”為線(xiàn)段MP.

①若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

⑵E(—3,3),F(—2,3),H(a,0).線(xiàn)段EF關(guān)于點(diǎn)”的“垂直圖形”記為EF,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為民，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

F'.

①求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含。的式子表示)；

②若。。的半徑為2,EE上任意一點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)度的最大值.

15.(2022?北京豐臺(tái)?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,/為任意一點(diǎn)，2為。。上任意一

點(diǎn)，給出如下定義：記48兩點(diǎn)間的距離的最小值為p(規(guī)定：點(diǎn)4在。。上時(shí)，p=0),最大值為

那么把等的值稱(chēng)為點(diǎn)力與。。的“關(guān)聯(lián)距離”，記作OO)

(1)如圖，點(diǎn)。，E,尸的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)

?d(￡),。。)=；

②若點(diǎn)M在線(xiàn)段斯上，求1(7,的取值范圍;

(2)若點(diǎn)N在直線(xiàn)丫=每+2班上，直接寫(xiě)出d(N,?0)的取值范圍；

(3)正方形的邊長(zhǎng)為〃?，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足，(尸，。。)的最小值為1,最大值為國(guó),

直接寫(xiě)出m的最小值和最大值.

16.(2022?北京平谷?二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形尸，Q,給出如下定義：M為圖形P上任意

一點(diǎn)，N為圖形。上任意一點(diǎn)，如果M,N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形P,。間的‘非

常距離”，記作d(P,Q).已知點(diǎn)4(—2,2),B(2,2),連接48.

Q

4-

3-

A---------2------------B

1-

iiii_______1111A

-4-3-2-1O1234x

—1-

-2-

—3-

-4-

(1)(7(點(diǎn)O,AB)=；

(2)。。半徑為尸，若d(00,48)=0,直接寫(xiě)出一的取值范圍；

(3)。。半徑為心若將點(diǎn)4繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。。(0。＜仇＜180。)，得到點(diǎn)4.

①當(dāng)a=30。時(shí)d(。。,4)=0,求出此時(shí)尸的值；

②對(duì)于取定的/值，若存在兩個(gè)a使d(。。,4)=0,直接寫(xiě)出尸的范圍.

17.(2022?北京密云?二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)尸(2,3)與圖形T,給出如下定義：在點(diǎn)尸與圖

形T上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差，稱(chēng)為圖形T關(guān)于點(diǎn)尸的“寬距”.

備用圖

(1)如圖，。。的半徑為2,且與x軸分別交于2兩點(diǎn).

①線(xiàn)段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為；QO關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為.

②點(diǎn)為無(wú)軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段關(guān)于點(diǎn)尸的"寬距''為2時(shí)，求加的取值范圍.

(2)已知一次函數(shù)y=K+1的圖象分別與x軸、y軸交于￡兩點(diǎn)，。。的圓心在x軸上，且。C的半徑為

1.若線(xiàn)段DE上的任意一點(diǎn)K都能使得。C關(guān)于點(diǎn)K的“寬距”為2,直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)玄的取值范

圍.

18.(2022?北京門(mén)頭溝?二模)我們規(guī)定：如圖，點(diǎn)H在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)P和點(diǎn)P均在直線(xiàn)MN的上方，如果

HP=HP',=點(diǎn)P就是點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)MN的“反射點(diǎn)”，其中點(diǎn)H為"點(diǎn)”，射線(xiàn)HP與射線(xiàn)HP，

組成的圖形為，形”.

在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，

(1)如果點(diǎn)P(0,3),“(1.5,0),那么點(diǎn)P關(guān)于x軸的反射點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)已知點(diǎn)4(0,a),過(guò)點(diǎn)4作平行于x軸的直線(xiàn)1.

①如果點(diǎn)B⑸3)關(guān)于直線(xiàn)/的反射點(diǎn)夕和"點(diǎn)”都在直線(xiàn)y=-%+4上，求點(diǎn)方的坐標(biāo)和a的值;

②OW是以(3,2)為圓心，1為半徑的圓，如果某點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)1的反射點(diǎn)和V點(diǎn)”都在直線(xiàn)y=—x+4上，且形

成的“V形”恰好與。勿有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

19.(2022?北京東城?一模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系久Oy中的點(diǎn)C及圖形G,有如下定義：若圖形G上存在4

2兩點(diǎn)，使得△ABC為等腰直角三角形，且乙4BC=90°,則稱(chēng)點(diǎn)C為圖形G的“友好點(diǎn)”.

⑴已知點(diǎn)。(0,0),M(4,0),在點(diǎn)Ci(0,4),C2(l,4),C3。—1)中，線(xiàn)段(W的“友好點(diǎn)”是；

(2)直線(xiàn)y=—久+b分別交x軸、y軸于尸，0兩點(diǎn)，若點(diǎn)C(2,l)為線(xiàn)段尸。的“友好點(diǎn)”，求6的取值范圍；

(3)已知直線(xiàn)丫=%+/&>0)分別交工軸、〉軸于￡,尸兩點(diǎn)，若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是半徑為2的。。的

“友好點(diǎn)”，直接寫(xiě)出d的取值范圍.

20.(2022?北京順義?二模)在平面直角坐標(biāo)系xS，中，對(duì)于點(diǎn)R和線(xiàn)段P。，給出如下定義：M為線(xiàn)段P0

上任意一點(diǎn)，如果凡〃兩點(diǎn)間的距離的最小值恰好等于線(xiàn)段尸0的長(zhǎng)，則稱(chēng)點(diǎn)R為線(xiàn)段P。的“等距

點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)4(5,0).

①在點(diǎn)以(—3,4),82(1,5),%(4,一3),B4(3,6)中，線(xiàn)段。/的“等距點(diǎn)”是；

②若點(diǎn)C在直線(xiàn)y=2久+5上，并且點(diǎn)C是線(xiàn)段。/的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)點(diǎn)E(0,—1),圖形沙是以點(diǎn)T(t,O)為圓心，1為半徑的OT位于x軸及x軸上方的部

分.若圖形沙上存在線(xiàn)段DE的“等距點(diǎn)”，直接寫(xiě)出f的取值范圍.

21.(2022?北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，給出如下定義：點(diǎn)尸為圖形G上任意一

點(diǎn)，將點(diǎn)P到原點(diǎn)。的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”.特別地，點(diǎn)P到原點(diǎn)。的最大距

離與最小距離相等時(shí)，規(guī)定圖形G的“全距”為0.

⑴已知，點(diǎn)4(-4短2),B(2V2,2).

①原點(diǎn)。到線(xiàn)段AB上一點(diǎn)的最大距離為,最小距離為；

②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0即)時(shí)，且△4BC的“全距”為4,求加的取值范圍；

(2)已知。M=7,等邊△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的OM上.求△DEF的“全距”d的取值范圍.

22.(2022?北京房山?二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系久Oy中的圖形加1和圖形勿2?給出如下定義：在圖形勿i上

存在兩點(diǎn)B(點(diǎn)/,8可以重合)，在圖形川2上存在兩點(diǎn)新，N,(點(diǎn)M、N可以重合)使得4M=28N,

則稱(chēng)圖形川1和圖形勿2滿(mǎn)足限距關(guān)系

⑴如圖1,點(diǎn)C,0),D(0,—1),以0,1),點(diǎn)尸在線(xiàn)段CE上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)尸可以與點(diǎn)C,E重合)，連接。P,DP.

①線(xiàn)段OP的最小值為，最大值為;線(xiàn)段DP的取值范圍是;

②在點(diǎn)O,點(diǎn)。中，點(diǎn)與線(xiàn)段EC滿(mǎn)足限距關(guān)系；

⑵在(1)的條件下，如圖2,。。的半徑為1,線(xiàn)段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)凡G,且FG||EC,

若線(xiàn)段FG與。。滿(mǎn)足限距關(guān)系，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)0。的半徑為r(r>0),點(diǎn)“，K是00上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以“，K為圓心，2為半徑作圓得到OH和

QK,若對(duì)于任意點(diǎn)H,K,和OK都滿(mǎn)足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出，的取值范圍.

23.(2022?北京昌平?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,對(duì)于△4BC和直線(xiàn)Z給出如下定義:

若△2BC的一條邊關(guān)于直線(xiàn)Z的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段PQ是O。的弦，則稱(chēng)△ABC是O。的關(guān)于直線(xiàn)2的“關(guān)聯(lián)三角形”，

直線(xiàn)I是“關(guān)聯(lián)軸”.

圖1備用圖

(1)如圖1,若△4BC是。。的關(guān)于直線(xiàn)/的“關(guān)聯(lián)三角形”，請(qǐng)畫(huà)出△ABC與。。的“關(guān)聯(lián)軸”(至少畫(huà)兩條)；

⑵若△4BC中，點(diǎn)4坐標(biāo)為(2,3),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)C在直線(xiàn)y=r+3的圖像上，存在，關(guān)聯(lián)軸廠(chǎng)使△A8C

是。。的關(guān)聯(lián)三角形，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)已知力(g,l),將點(diǎn)4向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)M,以M為圓心MA為半徑畫(huà)圓，B,C為OM上的兩點(diǎn)，

且48=2(點(diǎn)B在點(diǎn)4右側(cè))，若△4BC與。。的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫(xiě)出。C的最小值和最大值，以及0C

最大時(shí)AC的長(zhǎng).

24.(2022?北京市H^一學(xué)校二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形少，給出如下定義：點(diǎn)尸是圖形沙上

任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)。，使得N。。尸是直角，則稱(chēng)點(diǎn)。是圖形少的“直角點(diǎn)”.

8

17F-

6

F

5

b

4

13k-

2

k

l

L

1

-

-2

-3

-4

-5

-6

-7

(1)已知點(diǎn)/(6,8),在點(diǎn)Qi(5,0),<?2(—2,4),(23(9,5)中，是點(diǎn)/的“直角點(diǎn)”；

(2)已知點(diǎn)8(-4,4),C(3,4),若點(diǎn)。是線(xiàn)段8c的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)"的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)。(m-1,0),E(加，0),以線(xiàn)段為邊在x軸上方作正方形DEFG.若正

方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線(xiàn)段2c的“直角點(diǎn)”，求m的取值范圍.

25.(2022?北京通州?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)尸為圖形G上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P

到原點(diǎn)。的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”.特別地，點(diǎn)P到原點(diǎn)。的最大距離與最小距

離相等時(shí)，規(guī)定圖形G的“全距”為0.

(1)如圖，點(diǎn)4(一g,1),B(V3,1).

①原點(diǎn)。到線(xiàn)段N2上一點(diǎn)的最大距離為,最小距離為；

②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0即)時(shí)，且△4BC的“全距”為1,求加的取值范圍；

(2)已知OM=2,等邊△。斯的三個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的OM上.請(qǐng)直接寫(xiě)出△。斯的“全距％的取值范

圍.

26.(2022?北京石景山?一模)在平面直角坐標(biāo)系xp中，點(diǎn)尸不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

巳，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，稱(chēng)△尸巨巳為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”.

(1)已知點(diǎn)/(I,2),求點(diǎn)/的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；

(2)如圖，已知點(diǎn)例加，")，。「的圓心為7(2,2),半徑為2