第一學期高一年級期末質量評估試卷數學一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若冪函數的圖象過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入點可求出解析式，即可求出答案.【解析】由冪函數的圖象過點，所以，解得，故，所以.故選：D.2.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據對數函數定義域即可得出結論.【解析】由題意，在中，即，所以的定義域為.故選：A.3.下列函數在其定義域上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數的單調性逐項判斷，可得出合適的選項.【解析】反比例函數在和上單調遞增，在定義域上不單調，A選項不滿足條件；指數函數在定義域上單調遞減，B選項不滿足條件；對數函數在其定義域上單調遞增，C選項滿足條件；正切函數在定義域上不單調，D選項不滿足條件.故選：C4.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結合已知條件，利用基本不等式判斷各選項中的結論是否成立.【解析】若，，，當且僅當等號成立，A選項錯誤；，當且僅當等號成立，B選項正確；，得，當且僅當等號成立，C選項錯誤；，得，當且僅當等號成立，D選項錯誤.故選：B5.下列四組函數中，表示同一函數的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】逐項判斷選項中兩個函數的定義域與對應法則是否相同，即可得出結果.【解析】A選項中，函數與，定義域相同，對應關系也相同，是同一函數；B選項中，函數定義域為，函數定義域為，定義域不同，不是同一函數；C選項中，函數定義域為，函數定義域為R，定義域不同，不是同一函數；D選項中，函數與函數，對應關系不同，不是同一函數.故選：A6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，利用兩角和的正切公式求解.【解析】已知，，則.故選：A7.已知，若是10位數，則的最小值是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】B【解析】【分析】由，求滿足條件的最小自然數即可.【解析】若是10位數，則取最小值時，應滿足，則有，，由，則的最小值是30.故選：B8.已知函數部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數的單調性、對稱性，確定對稱軸及最大值與的關系，求解即可.【解析】由函數，令，由二次函數性質可知：圖象關于對稱，時，單調遞增，時，單調遞減，在處達到最大值，由圖象得：，則，根據復合函數的性質可得：圖象關于對稱，時，單調遞增，時，單調遞減，在處達到最大值，則，且最大值為，結合圖象可知，所以.故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據給定條件，利用不等式的性質，結合冪函數性質逐項判斷即得.【解析】由，得，，AB正確；顯然，即，C正確；函數在上單調遞增，則，D錯誤.故選：ABC10.已知函數，則（）A.函數的最小正周期為 B.點是函數圖象的一個對稱中心C.函數在區間上單調遞減 D.函數的最大值為1【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角等公式化簡得到，借助三角函數的性質逐一判斷即可.【解析】結合題意：，即.對于選項A:由可得，所以故選項A錯誤；對于選項B:將代入得：，所以點是函數圖象的一個對稱中心，故選項B正確；對于選項C:對于，令，則，因為，所以，而在上單調遞減，所以函數在區間上單調遞減，故選項C正確；對于選項D:對于，當，即,，故選項D錯誤.故選：BC.11.定義域均為的奇函數和偶函數，滿足，則（）A.，使得 B.，使得C，都有 D.，都有【答案】ACD【解析】【分析】由兩函數的奇偶性列方程組可求出兩函數的解析式，對于選項A:利用函數在上單調遞增，且值域為，即可判斷；對于選項B:借助基本不等式及三角函數的最值即可判斷；對于選項C:利用函數的值域求出即可判斷；對于選項D:利用函數的奇偶性即可判斷.【解析】因為，則，因為為奇函數和為偶函數，所以，所以，聯立，可得，，對于選項A:由，易判斷函數在上單調遞增，且值域為，故，使得，故選項A正確；對于選項B:由，因為,所以，當且僅當，即時，取得最小值,而，當且僅當時取到，故（不能同時取等），故不存在，使得，故選項B錯誤；對于選項C:由，，可得，而，，所以，故，都有，故選項C正確；對于選項D:因為為奇函數和為偶函數，所以，，故，都有，故選項D正確.故選：ACD.12.設是正整數，集合.對于集合中任意元素和，記，.則（）A.當時，若，則B.當時，的最小值為C.當時，恒成立D.當時，若集合，任取中2個不同的元素，，則集合中元素至多7個【答案】BD【解析】【分析】根據的計算公式即可求解AB，舉反例即可求解C，根據所給定義，即可求解D.【解析】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，，而，故當時，此時取最小值，比如時，，故B正確，對于C，時，，,,不符合，故C錯誤，對于D，不妨設中一個元素，由于，則中相同位置上的數字最多有兩對互為相反數，其他相同位置上的數字對應相同，若中相同位置中有一對的數字互為相反數，其他相同位置上的數字對應相同，不妨設此時，那么與相同位置中有一對的數字互為相反數，其他相同位置上的數字對應相同的元素有此時，其中，，而，與中相同位置上的數字有兩對是不相同的，此時，滿足，若與相同位置中有2對的數字互為相反數，那么就與有3對相同位置上的元素互為相反數，不符合，因此此時中滿足條件的元素有7個，若中相同位置中有兩對的數字互為相反數，其他相同位置上的數字對應相同，不妨設，此時與元素重復，綜上可知中元素最多7個，D正確，故選：BD【小結】方法小結：求解新定義運算有關的題目，關鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉化的數學思想方法，將不熟悉的數學問題，轉化成熟悉的問題進行求解.對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當作數列或者函數分析.計算特性，將復雜的關系通過找規律即可利用已學相關知識求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.角是第_____________象限角.【答案】二【解析】【分析】直接由象限角的概念得答案．【解析】由象限角的定義可知，的角是第二象限角．故答案：二.14.已知函數（，且）的圖象過定點，則該定點的坐標是_________.【答案】【解析】【分析】借助指數函數令，代入函數式可得定點縱坐標．【解析】在函數（，且）中，令，則，所以該定點的坐標是.故答案為：.15.已知，的值為_________.【答案】2【解析】分析】利用誘導公式化簡，結合齊次式代入計算即可.【解析】因為，所以.故答案為：2.16.若函數在上的最小值為1，則正實數的值為_________.【答案】【解析】【分析】對參數進行分類討論，根據分段函數的單調性和最值，即可求得結果.【解析】由題可得,因為函數在上的最小值為1，當時，在上，在單調遞減，單調遞增，所以，解得（舍）；當時，在上在單調遞減，單調遞增，所以，解得（舍）；當時，在上，在單調遞減，單調遞增，所以，解得.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據根式的性質及分數指數冪的運算法則計算可得；（2）根據對數運算性質及換底公式計算可得.【小問1解析】.【小問2解析】18.已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集的定義直接求解；（2）由題意，利用集合的包含關系求的取值范圍.【小問1解析】若，則，，所以.【小問2解析】若是的充分不必要條件，則，得，故的取值范圍是.19.已知函數的最大值為2.（1）求常數的值；（2）先將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求在區間上的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，由函數最大值求常數的值；（2）求出圖象變換后的函數解析式，然后利用正弦函數的性質求值域.【小問1解析】.因為的最大值為2，所以，故.【小問2解析】，函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得函數的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得，由，得，所以，，故在區間上的取值范圍是.20.從①；②函數為奇函數；③的值域是，這三個條件中選一個條件補充在下面問題中，并解答下面的問題.問題：已知函數，且

.（1）求函數的解析式；（2）若對任意恒成立，求實數的最小值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，分別選擇①②③，結合函數的性質，求得實數的值，即可求解；（2）根據函數的單調性的定義判定方法，得到在上單調遞減，再由為奇函數，把不等式轉化為恒成立，結合指數函數與二次函數的性質，即可求解.【小問1解析】解：若填①：由，可得，解得，所以.若填②：由函數，因為函數為奇函數，故，可得，解得，所以，即，經驗證：，符合題意，所以.若填③：由，可得，則，即，又由的值域是，可得，故，所以.【小問2解析】解：，且，則，所以函數在上單調遞減，又因為，滿足，所以為奇函數，由不等式，可得，則，所以，令，記，所以，所以，所以的最小值為.21.如圖是一種升降裝置結構圖，支柱垂直水平地面，半徑為1的圓形軌道固定在支柱上，軌道最低點，，.液壓桿、，牽引桿、，水平橫桿均可根據長度自由伸縮，且牽引桿、分別與液壓桿、垂直.當液壓桿、同步伸縮時，鉸點在圓形軌道上滑動，鉸點在支柱上滑動，水平橫桿作升降運動（鉸點指機械設備中鉸鏈或者裝置臂的連接位置，通常用一根銷軸將相鄰零件連接起來，使零件之間可圍繞鉸點轉動）.（1）設劣弧的長為，求水平橫桿的長和離水平地面的高度（用表示）；（2）在升降過程中，求鉸點距離的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）軌道圓心為，圓的半徑為1，劣弧的長為時，有，由三角函數表示出和的長；（2）證明出，則，通過換元利用基本不等式求出最大值.【小問1解析】記軌道圓心為，則，設劣弧的長為，則，得，.【小問2解析】由已知，，，，則，又，所以，則，令，有，.則，，因為，當且僅當時，取到等號，所以鉸點距離的最大值為.【小結】方法小結：求的最大值時，證明，由已知的和，有，通過換元，有，借助基本不等式可求最大值.22.已知函數.（1）用單調性定義證明：在上單調遞增；（2）若函數有3個零點，滿足，且.①求證：；②求的值（表示不超過的最大整數）.【答案】（1）證明見解析