第05講線段、角的軸對稱性理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質與判定方法。1．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．一．角平分線的性質（共15小題）1．（2022秋?邗江區期中）△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點O，那么下列選項中不正確的是（）A．點O一定在△ABC的內部 B．∠C的平分線一定經過點O C．點O到△ABC的三邊距離一定相等 D．點O到△ABC三頂點的距離一定相等2．（2022秋?邗江區校級期末）∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是OB上任一點，則（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤53．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，點E為射線BA上一動點，若OD＝5，則OE的最小值為．4．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點D到AC的距離是．5．（2022秋?通州區校級月考）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點E，DF⊥AC，交AC于點F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022秋?東臺市期中）如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，DE＝5，則DF的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2022秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為．8．（2022秋?啟東市期末）如圖，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一個人從B處出發沿著BC行走了800m，到達D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時這個人到AB的最短距離為m．9．（2022秋?句容市期末）如圖，射線OQ平分∠MON，點P是射線OQ上一點，且PA⊥ON于點A，若PA＝3，則點P到射線OM的距離等于．10．（2022秋?秦淮區期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O．（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；（2）連接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，則點O到三角形三條邊的距離是．11．（2022秋?鎮江期末）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．4 B．6 C．8 D．1012．（2022秋?海安市期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．513．（2022秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，則△AOB的面積為．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，則四邊形ABCD的面積是．15．（2022秋?江都區期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結論．二．線段垂直平分線的性質（共12小題）16．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，連接AE，則∠EAG＝．17．（2022秋?句容市期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長．18．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點O，若∠BOC＝80°，則∠A＝．19．（2022秋?啟東市校級期末）如圖，△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是cm．20．（2022秋?大豐區期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度數．21．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線相交于點O，分別交BC邊于點M、N，連接AM，AN．（1）若△AMN的周長為6，求BC的長；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度數；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的長度．22．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，連接AE，BE，作直線EF交AB于點M，連接CM，則下列判斷不正確的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM23．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AC＝AD，BC＝BD，則下列判斷正確的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB24．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，點D為邊AC的垂直平分線與邊BC的交點，且BD＝AB﹣2．（1）求證AB＝AD；（2）求CD長．25．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點D，△ABC的周長為18cm，AC＝7cm，則DC的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．626．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝°．27．（2022秋?邗江區校級期末）如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為cm．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·八年級統考期末）如圖，用直尺和圓規作，這兩個三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇泰州·八年級統考期末）已知，如圖，中，，，點、分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，若，，則的面積等于（）A．30 B．60 C．24 D．484．（2022秋·江蘇徐州·八年級統考期中）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，若的周長是，則的周長是（

）A．22 B．15 C．17 D．185．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、．作直線，交于點，交于點，連接．若，則的周長為（

）

A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．37．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，則的長為（

）．

A． B． C． D．二、填空題8．（2023秋·江蘇揚州·八年級統考期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數分別是2、5，則的長度是____．9．（2023秋·江蘇鹽城·八年級校考期末）如圖，P是的平分線上一點，，，垂足分別為D，E，若，則PE的長是______．10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，中，是的垂直平分線，，的周長為13，則的周長為_____．11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則：：___________12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點，則的最小值為____________．三、解答題13．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數量關系，并給予證明．14．們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，，對角線，相交于點，，，垂足分別是，，求證；15．（2023秋·江蘇南京·八年級統考期末）已知，求作點P，使得點P與三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．16．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規作出燈柱的位置點．（請保留作圖痕跡）17．（2022秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學校考期中）工人師傅經常利用角尺平分一個任意角．如圖所示，是一個任意角，在邊、上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合．(1)求證：是的平分線；(2)連接，判斷與的位置關系，并說明理由．一、單選題1．三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當的位置在三角形的（）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點2．如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點B，點E是BD的中點，連接AE，CE，則AE與CE的大小關系是（）A． B． C． D．3．到三角形三個頂點距離相等的點是（）的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點4．如圖，在中，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E．過點C作，垂足為點D，與相交于點F．若，則的度數為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點，連接，則下列結論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④二、填空題6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．7．如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，AC＝5，△AEC的周長為12，則AB＝___．8．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為__________．10．如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點，且，，，則點O到邊AB的距離為__________．三、解答題11．作圖題：（1）在圖1中，畫出關于直線的對稱圖形．（2）在圖2中，已知和、兩點，在內部找一點，使，且到的兩邊、的距離相等．12．作圖題：（1）近年來，