2024-2025學年第一學期聊城市水城慧德學校十二月月考高二數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．已知直線,則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.2．已知直線與圓交于A,B兩點,且,則()A.4 B.-4 C.2 D.-23．已知橢圓上存在兩點M、N關于直線對稱.若橢圓離心率為,則的中點坐標為()A. B. C. D.4．設是正三棱錐,是的重心,G是上的一點,且,若,則()A. B. C. D.15．已知拋物線的焦點為F,準線為l,且l過點,M在拋物線C上,若點,則的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.56．已知點,,動點P滿足條件.則動點P的軌跡方程為()A. B.C. D.7．曲線與曲線（）的()A.短軸長相等 B.長軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等8．如圖,已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”,其中.“果圓”與軸的交點分別為,,與y軸的交點分別為,,點P為半橢圓上一點（不與重合）,若存在.,則半橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.二、多項選擇題9．向量,,若,則()A. B.C. D.10．已知直線l經過點,且被兩條平行直線和截得的線段長為5,則直線l的方程為()A. B. C. D.11．已知F為橢圓的左焦點，直線，與橢圓C交于A、B兩點，，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點為P，則()A.的最小值為2B.的面積的最大值為C.直線的斜率為D.為直角三、填空題12．已知圓,過圓C外一點P作C的兩條切線,切點分別為A,B,若,則__________.13．已知點在拋物線上，F為拋物線的焦點，直線與準線相交于點B，則線段的長度為________.四、雙空題14．已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，且，則______________.五、解答題15．(1)已知空間向量,,求;(2)已知,,若,求實數的值16．如圖所示，C，D分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個三等分點，O為中點，E為母線的中點.（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值.17．如圖,在四棱錐中,平面,,,,,M為棱的中點(1)證明：平面;(2)求平面和平面夾角的余弦值;18．如圖,在五棱錐中,,,,,,.（1）證明:平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19．如圖,直四棱柱中底面為平行四邊形,,,P是棱的中點.（1）證明:平面;（2）求二面角的余弦值.參考答案1．答案：A解析：直線l的斜率,由于,所以,的傾斜角為.故選：A.2．答案：D解析：由題意可得圓M的圓心為,半徑,則圓心M到直線l的距離.因為,所以,即,解得.故選：D.3．答案：C解析：設點、,線段的中點為,則,由題意,橢圓的離心率為,可得,因為M、N關于直線對稱,且直線的斜率為1,則,將點M、N的坐標代入橢圓方程可得,上述兩個等式作差可得,可得,即,即,即,①又因為點在直線上,則,②聯立①②可得,故線段的中點為.故選：C4．答案：C解析：如下圖所示,連接并延長交于點D,則點D為的中點,為的重心,可得,而,,所以,,所以,,因此,.故選：C.5．答案：D解析：由題可得,準線l的方程為.由拋物線的定義可知,,.故選：D.6．答案：A解析：,由,結合雙曲線定義可知動點P的軌跡為以,為焦點的雙曲線右支,在雙曲線中,,可得,,所以,動點P的軌跡方程為.故選：A.7．答案：C解析：A選項,明顯短軸不相等,一個,,故錯誤;B選項,一個另一個為,故錯誤.D選項,離心率,結合前面提到了a不相等,故錯誤;曲線的焦半徑滿足,而焦半徑滿足,故兩曲線的焦半徑相等,故焦距相等,C正確.8．答案：D解析：（解法1）設,,因為,,所以,.,所以.因為,所以.因為,所以,即,解得.（解法2）設,,因為,,所以,,所以.因為,所以.因為存在.,所以在上有解.因為,且,所以在上有解,即在上有解.因為,所以,即解得.9．答案：BC解析：因為,所以,由題意可得,所以,,,則.故選：BC.10．答案：BC解析：若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為,此時與、的交點分別為,,截得的線段的長,符合題意,若直線l的斜率存在,則設直線l的方程為,解得,解得,由,得,解得,即所求的直線方程為,綜上可知,所求直線l的方程為或,故選:BC.11．答案：BCD解析：設橢圓C的右焦點，由橢圓對稱性知線段，互相平分于點O，則四邊形為平行四邊形，如圖，則，有，當且僅當，即時取“=”，A不正確；設，，則，當且僅當，即時取“=”，即，因，垂足為E，則，B正確；因，有，由橢圓對稱性可得，而，則直線的斜率，C正確；設，由及得，，即，直線，的斜率，有，而，于是得，有，所以為直角，D正確.故選：BCD.12．答案：1解析：由圓可得圓心坐標為,半徑,由、為圓C切線,故,又故,又,故為等邊三角形,故.故答案為：1.13．答案：解析：由點在拋物線上,可得,即,又,所以直線AF的方程為,與準線方程聯立可得,所以14．答案：-14;6解析：已知直線的一個方向向量為,直線的一個方向向量為,且,則,即,解得,故.故答案為:-14;6.15．答案：(1)(2)2.解析：(1),所以(2),,,,,即,解得.16．答案：（1）詳見解析；（2）解析：（1）設的中點為F，連接，，，，，在中，為三角形的中位線，所以，，因為C，D分別為半圓弧上的兩個三等分點，為等邊三角形，，所以，，易得四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）解法一：過D作的垂線，則垂足M為的中點，過M作的垂線，設垂足為N，連接，因為平面平面，平面平面，，所以平面，，又因為，，所以平面，，則為平面與平面的夾角，設底面半徑為R，則，，，在中，，即，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為.解法二：作的中點Q，連接，以O為坐標原點，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設底面半圓的半徑為2，則，，，，，，由圖形可知平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，則，，所以是平面的一個法向量，，即平面與平面的夾角的余弦值為.17．答案：(1)證明見解析(2)解析：(1)取中點N,連接,.在中,M,N分別為,的中點,則,,因為,,則,,可知四邊形為平行四邊形,則,且平面,平面,所以平面.(2)因為平面,,平面,則,,且,以D為坐標原點,,,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,取的中點E,連接,因為,,則,.又因為,所以四邊形為矩形,且,可知四邊形是以邊長為2的正方形,則,,,,,,可得,,,設平面的法向量為,所以,令,則,,所以平面的一個法向量為,易知為平面的一個法向量,所以,所以平面和平面夾角的余弦值為.18．答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明:因為,,,,所以,,則,,因為,平面,平面,所以平面.（2）根據題意可建立如圖所示的空間直角坐標系.,,,則,.易得平面的一個法向量為,設平面的法向量為,則,可取.設平面與平面的夾角為,則,即平面與平面的夾角的余弦值為.19．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）連接,因為,,,所以,又,所以,所以,所以,又,所以,因