第2章

機器人靜力分析與動力學機器人是一個復雜的動力學系統，機器人系統在外載荷和關節驅動力矩(驅動力)的作用下將取得靜力平衡，在關節驅動力矩(驅動力)的作用下將發生運動變化。機器人的動態性能不僅與運動學因素有關，還與機器人的結構形式、質量分布、執行機構的位置、傳動裝置等對動力學產生重要影響的因素有關。機器人動力學主要研究機器人運動和受力之間的關系，目的是對機器人進行控制、優化設計和仿真。機器人動力學主要解決動力學正問題和逆問題兩類問題：動力學正問題是根據各關節的驅動力(或力矩)，求解機器人的運動(關節位移、速度和加速度)，主要用于機器人的仿真；動力學逆問題是已知機器人關節的位移、速度和加速度，求解所需要的關節力(或力矩)，是實時控制的需要。本章首先介紹與機器人速度和靜力有關的雅可比矩陣，在機器人雅可比矩陣分析的基礎上進行機器人的靜力分析，討論動力學的基本問題，對機器人的動態特性作簡要論述，以便為機器人編程、控制等打下基礎。2.1機器人雅可比矩陣機器人雅可比矩陣揭示了操作空間與關節空間的映射關系。雅可比不僅表示操作空間與關節空間的速度映射關系，也表示二者之間力的傳遞關系，為確定機器人的靜態關節力矩以及不同坐標系間速度、加速度和靜力的變換提供了便捷的方法。2.1.1機器人雅可比的定義在機器人學中，雅可比是一個把關節速度向量

變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量v的變換矩陣。在機器人速度分析和靜力分析中都將用到雅可比。圖2.1所示為二自由度平面關節型機器人(2R機器人)，端點位置X、Y與關節θ1、θ2的關系為圖2.1二自由度平面關節型機器人簡圖即將其微分得令dX=JdθJ稱為圖2.1所示2R機器人的速度雅可比，它反映了關節空間微小運動dθ與手部作業空間微小位移dX的關系。對上式進行運算，則從J中元素的組成可見，J陣的值是關于θ1及θ2的函數。推而廣之，對于nR機器人，關節變量q=[q1,q2,

…,qn]T，當關節為轉動關節時qi=θi；當關節為移動關節時qi=di，dq=[dq1，dq2,

…

,dqn]T，反映了關節空間的微小運動。機器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關節變量的函數，X=X(q)，并且是一個6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，

φX，

φY，

φZ]T反映了操作空間的微小運動，它由機器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉動)組成。因此dX=J(q)dq式中：J(q)稱為n自由度機器人速度雅可比，可表示為2.1.2機器人速度分析利用機器人速度雅可比可對機器人進行速度分析。對式(2.7)左、右兩邊各除以dt得或表示為

式中：v為機器人末端在操作空間中的廣義速度；

為機器人關節在關節空間中的關節速度；J(q)為確定關節空間速度

與操作空間速度v之間關系的雅可比矩陣。對于圖2.1所示2R機器人而言，J(q)是2×2矩陣。若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則

式中：右邊第一項表示僅由第一個關節運動引起的端點速度；右邊第二項表示僅由第二個關節運動引起的端點速度；總的端點速度為這兩個速度矢量的合成。因此，機器人速度雅可比的每一列表示其他關節不動而某一關節運動產生的端點速度。圖2.1所示二自由度機器人手部的速度為反之，假如給定機器人手部速度，可由式(2.10)解出相應的關節速度為例2.12.1.3機器人雅可比討論對于平面運動的機器人，其J的行數恒為3，列數則為機械手含有的關節數目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運動的形成順序無關，故可采用直接微分法求φ，非常方便。在三維空間作業的六自由度機器人的雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關節速度的傳遞比，后三行代表手部角速度與關節速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的每一列則代表相應關節速度

對手部線速度和角速度的傳遞比，J陣的行數恒為6，前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量[φX，φY，φZ]T的一般表達式。因此常用構造法求雅可比J。如果希望工業機器人手部在空間按規定的速度進行作業，則應計算出沿路徑每一瞬時相應的關節速度。但是，當雅可比的秩不是滿秩時，求解逆速度雅可比J

–1較困難，有時還可能出現奇異解，此時相應操作空間的點為奇異點，無法解出關節速度，機器人處于退化位置。機器人的奇異形位分為兩類：(1)邊界奇異形位：當機器人臂全部伸展開或全部折回時，使手部處于機器人工作空間的邊界上或邊界附近，出現逆雅可比奇異，機器人運動受到物理結構的約束。(2)內部奇異形位：兩個或兩個以上關節軸線重合時，機器人各關節運動相互抵消，不產生操作運動。當機器人處在奇異形位時會產生退化現象，喪失一個或更多的自由度。這意味著在工作空間的某個方向上，不管怎樣選擇機器人關節速度，手部也不可能實現移動。2.2機器人靜力分析機器人在工作狀態下會與環境之間引起相互作用的力和力矩。機器人各關節的驅動裝置提供關節力和力矩，通過連桿傳遞到末端執行器，克服外界作用力和力矩。關節驅動力和力矩與末端執行器施加的力和力矩之間的關系是機器人操作臂力控制的基礎。2.2.1操作臂力和力矩的平衡如圖2.3所示，桿i通過關節i和i+1分別與桿i–1和i+1相連接，建立兩個坐標系{i–1}和{i}。圖2.3桿i上的力和力矩連桿的靜力平衡條件為其上所受的合力和合力矩為零，因此力和力矩平衡方程式為式中：ri–1，i

—坐標系{i}的原點相對于坐標系{i+1}的位置矢量；ri，Ci

—質心相對于坐標系{i}的位置矢量。假如已知外界環境對機器人末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個連桿向零連桿(機座)依次遞推，從而計算出每個連桿上的受力情況。2.2.2機器人力雅可比為了便于表示機器人手部端點的力和力矩(簡稱為端點廣義力F

)，可將

fn，n+1和nn，n+1合并寫成一個6維矢量各關節驅動器的驅動力或力矩可寫成一個n維矢量的形式，即式中：n為關節的個數；τ為關節力矩(或關節力)矢量，簡稱廣義關節力矩。對于轉動關節，τi表示關節驅動力矩；對于移動關節，τi表示關節驅動力。假定關節無摩擦，并忽略各桿件的重力，現利用虛功原理推導機器人手部端點力F與關節力矩τ的關系。如圖2.4所示，關節虛位移為δqi，末端執行器的虛位移為δX，則式中：d=[dX，dY，dZ]T、δ=[δ

X，δ

Y，δ

Z]T分別對應于末端執行器的線虛位移和角虛位移；δq為由各關節虛位移δqi組成的機器人關節虛位移矢量。圖2.4末端執行器及各關節的虛位移假設發生上述虛位移時，各關節力矩為τi(i=1，2,

…

,n)，環境作用在機器人手部端點上的力和力矩分別為–fn，n+1和–nn，n+1。由上述力和力矩所作的虛功可以由下式求出：或寫成根據虛位移原理，機器人處于平衡狀態的充分必要條件是對任意符合幾何約束的虛位移有δW=0，并注意到虛位移δq和δX之間符合桿件的幾何約束條件。利用式δX=Jδq式中：δq表示從幾何結構上允許位移的關節獨立變量。對任意的δq，欲使δW

=0成立，必有

上式表示了在靜態平衡狀態下，手部端點力F和廣義關節力矩τ之間的線性映射關系。JT與手部端點力F和廣義關節力矩τ之間的力傳遞有關，稱為機器人力雅可比。顯然，機器人力雅可比JT是速度雅可比J的轉置矩陣。2.2.3機器人靜力計算機器人操作臂靜力計算可分為兩類問題：(1)已知外界環境對機器人手部的作用力F′，利用式(2.20)求相應的滿足靜力平衡條件的關節驅動力矩τ。(2)已知關節驅動力矩τ，確定機器人手部對外界環境的作用力或負載的質量。第二類問題是第一類問題的逆解。逆解的關系式為 F=(JT)–1τ機器人的自由度不是6時，例如n>6時，力雅可比矩陣就不是方陣，則JT就沒有逆解。所以，對第二類問題的求解就困難得多，一般情況不一定能得到惟一的解。如果F的維數比τ的維數低，且J滿秩，則可利用最小二乘法求得F的估計值。例2.22.3機器人動力學方程機器人動力學的研究有牛頓-歐拉(Newton-Euler)法、拉格朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凱恩(Kane)法及羅伯遜-魏登堡(Roberon-Wittenburg)法等。本節介紹動力學研究常用的牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。2.3.1歐拉方程應用歐拉方程建立機器人機構的動力學方程是指：研究構件質心的運動使用牛頓方程，研究相對于構件質心的轉動使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關系。質量為m、質心在C點的剛體，作用在其質心的力F的大小與質心加速度aC的關系

F=maC

式中：F、aC為三維矢量。上式稱為牛頓方程。欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε的轉動，則作用在剛體上力矩M的大小為

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均為三維矢量；CI為剛體相對于原點通過質心C并與剛體固結的剛體坐標系的慣性張量。上式稱為歐拉方程。在三維空間運動的任一剛體，其慣性張量CI可用質量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的3×3階矩陣或4×4階齊次坐標矩陣來表示。通常將描述慣性張量的參考坐標系固定在剛體上，以方便剛體運動的分析。這種坐標系稱為剛體坐標系(簡稱體坐標系)。2.3.2拉格朗日方程在機器人的動力學研究中，主要應用拉格朗日方程建立起機器人的動力學方程。這類方程可直接表示為系統控制輸入的函數，若采用齊次坐標，遞推的拉格朗日方程也可建立比較方便而有效的動力學方程。對于任何機械系統，拉格朗日函數L定義為系統總動能Ek與總勢能Ep之差，即 L=Ek–Ep

由拉格朗日函數L所描述的系統動力學狀態的拉格朗日方程為將L代入，上式可寫成應用上式時應注意：(1)系統的勢能Ep僅是廣義坐標qi的函數，而動能Ek是qi、

及時間t的函數，因此拉格朗日函數可以寫成L=L

(qi，

，t)。(2)若qi

是線位移，則

是線速度，對應的廣義力Fi就是力；若qi是角位移，則

是角速度，對應的廣義力Fi是力矩。2.3.3平面關節機器人動力學分析機器人是一個非線性的復雜動力學系統。動力學問題的求解比較困難，而且需要較長的運算時間，因此，簡化解的過程，最大限度地減少工業機器人動力學在線計算的時間是一個受到關注的研究課題。機器人動力學問題有兩類：(1)給出已知的軌跡點上的

，即機器人關節位置、速度和加速度，求相應的關節力矩向量τ。這對實現機器人動態控制是相當有用的。(2)已知關節驅動力矩，求機器人系統相應的各瞬時的運動。也就是說，給出關節力矩向量τ，求機器人所產生的運動

。這對模擬機器人的運動是非常有用的。一、機器人動力學方程的推導過程機器人是結構復雜的連桿系統，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統動力學方程，對其位姿和運動狀態進行描述。機器人動力學方程的具體推導過程如下：(1)選取坐標系，選定完全而且獨立的廣義關節變量qi，i=1,2,…,n。(2)選定相應關節上的廣義力Fi：當qi是位移變量時，Fi為力；當qi是角度變量時，Fi為力矩。(3)求出機器人各構件的動能和勢能，構造拉格朗日函數。(4)代入拉格朗日方程求得機器人系統的動力學方程。推導過程見課本，從推導可以看出，很簡單的二自由度平面關節型機器人的動力學方程已經很復雜，包含了很多因素，這些因素都在影響機器人的動力學特性。對于比較復雜的多自由度機器人，其動力學方程更龐雜，推導過程更為復雜，不利于機器人的實時控制。故進行動力學分析時，通常進行下列簡化：(1)當桿件長度不太長，重量很輕時，動力學方程中的重力矩項可以省略。(2)當關節速度不太大，機器人不是高速機器人時，含有

的項可以省略。(3)當關節加速度不太大，即關節電動機的升、降速比較平穩時，含有的項有時可以省略。但關節加速度減小會引起速度升降的時間增加，延長機器人作業循環的時間。二、關節空間和操作空間動力學1．關節空間和操作空間n個自由度操作臂的末端位姿X由n個關節變量所決定，這n個關節變量也叫做n維關節矢量q，所有關節矢量q構成了關節空間。末端執行器的作業是在直角坐標空間中進行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐標空間中描述的，因此把這個空間叫做操作空間。運動學方程X=X(q)