第三篇思想方法篇思想04化歸與轉化思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.轉化與化歸思想的含義轉化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關數學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而得到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.2．轉化與化歸的原則(1)熟悉化原則(2)簡單化原則(3)直觀化原則(4)正難則反原則3.轉化與化歸的策略方法(1)直接轉化法(2)換元法(3)數形結合法(4)構造法(5)坐標法(6)類比法(7)特殊化方法(8)等價問題法(9)加強命題法(10)補集法4．轉化與化歸思想在解題中的應用(1)在三角函數和解三角形中,主要的轉化方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數的轉化、通過正弦定理、余弦定理實現邊角關系的相互轉化等.(2)換元法是將一個復雜的或陌生的函數、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數、方程、不等式的一種重要的方法.(3)在解決平面向量與三角函數、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時,常將平面向量語言與三角函數、平面幾何、解析幾何語言進行轉化.(4)在解決數列問題時,常將一般數列轉化為等差數列或等比數列求解.(5)在利用導數研究函數問題時,常將函數的單調性、極值(最值)、切線問題轉化為其導函數f'(x)構成的方程、不等式問題求解.(6)在解決解析幾何、立體幾何問題時,常常在數與形之間進行轉化.5．轉化與化歸的常見類型：(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；如在三角函數和解三角形中,主要的轉化方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數的轉化、通過正弦定理、余弦定理實現邊角關系的相互轉化等.(2)換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題；(3)數形結合法：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑；(4)等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的；(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題，結論適合原問題.01等與不等引起的轉化【核心提示】函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關系轉化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍．【典例分析】典例1.（2023·全國·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022重慶市渝東九校聯盟高二下學期期中）定義在SKIPIF1<0上的奇函數SKIPIF1<0的圖像連續不斷，其導函數為SKIPIF1<0，對任意正數SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2020·全國高考真題（理））設函數SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(SKIPIF1<0，f(SKIPIF1<0))處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若SKIPIF1<0有一個絕對值不大于1的零點，證明：SKIPIF1<0所有零點的絕對值都不大于1．02特殊與一般引起的轉化【核心提示】特殊與一般轉化法是在解決問題過程中將某些一般問題進行特殊化處理或將某些特殊問題進行一般化處理的方法．這類轉化法一般的解題步驟是：第一步：確立需轉化的目標問題：一般將要解決的問題作為轉化目標．第二步：尋找“特殊元素”與“一般元素”：把一般問題轉化為特殊問題時，尋找“特殊元素”把特殊問題轉化為一般問題時，尋找“一般元素”．第三步：確立新目標問題：根據新確立的“特殊元素”或者“一般元素”明確其與需要解決問題的關系，確立新的需要解決的問題．第四步：解決新目標問題：在新的板塊知識背景下用特定的知識解決新目標問題．第五步：回歸目標問題．第六步：回顧反思：常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．對于選擇題，當題設在普通條件下都成立時，用特殊值進行探求，可快捷地得到答案；對于填空題，當填空題的結論唯一或題設條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．【典例分析】典例4.（2021·浙江·高考真題）已知SKIPIF1<0是互不相同的銳角，則在SKIPIF1<0三個值中，大于SKIPIF1<0的個數的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3典例5.（2023·江蘇南通·統考一模）寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0__________.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0典例6.（2023·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)令SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式SKIPIF1<0.03正與反引起的轉化【核心提示】正難則反，利用補集求得其解，這就是補集思想，一種充分體現對立統一、相互轉化的思想方法．一般地，題目若出現多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”情形的問題中．【典例分析】典例7.（2022·全國·高三專題練習）中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙?問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數有（

）A．60 B．66 C．72 D．80典例8.（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0個點將半圓分成SKIPIF1<0段弧，以SKIPIF1<0個點（包括SKIPIF1<0個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（）個A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例9.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考階段練習）已知函數SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這三個數中至少有一個數不大于1；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.04空間與平面引起的轉化【核心提示】立體幾何中有些問題的解答，可以轉化為平面幾何問題來解決，即考慮轉化成在一個平面上的問題，運用平面幾何知識求解.特別是涉及旋轉體的問題，通過研究軸截面，尋找幾何體與幾何體幾何元素之間的關系．【典例分析】典例10.【多選題】（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足SKIPIF1<0的是（）A． B．C． D．典例11.（2022秋·廣東佛山·高二校聯考階段練習）如圖1，在△ABC中，D為AC的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將△ABD沿BD折起，得到如圖2所示的三棱錐P-BCD，且平面PBD⊥平面BDC.(1)證明：SKIPIF1<0面PBD；(2)求二面角C-PD-B的余弦值.典例12.（2021秋·四川成都·高三成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）如圖①，在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖②所示的四棱錐SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0時，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值．05數與形引起的轉化【核心提示】利用數形結合思想，往往可以實現數與形的相互轉化，特別是涉及函數方程與函數圖象、曲線與方程等問題，適時進行數與形的相互轉化，可以達到化難為易、化繁為簡的良好效果.【典例分析】典例13.【多選題】（2021·全國·高考真題）已知點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則（）A．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離小于SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離大于SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0典例14.（2018·浙江高考真題）已知點P(0，1)，橢圓SKIPIF1<0+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，則當m=