2025屆北京市房山區(qū)周口店中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗螅玫降暮瘮?shù)在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個(gè)幾何體的表面積是（）A． B． C． D．3．若雙曲線：繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或4．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．5．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個(gè)單位B．向左平移πC．向右平移π3個(gè)單位D．向右平移π6．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i7．下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件8．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測結(jié)束，則第一次檢測出類產(chǎn)品，第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．9．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．2911．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-212．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．，，則_________．14．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.15．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.16．已知變量x，y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.19．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），是的中點(diǎn).（1）當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí)，證明：.平面（2）當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t，所以當(dāng)時(shí)，，在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.2、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3、C【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】試題分析：因?yàn)椋詾榈玫統(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換．6、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對(duì)于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí)，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項(xiàng)B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項(xiàng)D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡單題.8、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測出類產(chǎn)品，第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【解析】

設(shè)，，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕矗郑?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.16、-5【解析】

畫出x，y滿足的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z最小，求解即可。【詳解】畫出x，y滿足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點(diǎn)A【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋趾蛢煞N情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.18、（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對(duì)求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對(duì)學(xué)生要求較高，然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題，為難題19、（1）；（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段解不等式即可（2）等價(jià)于，由，得不等式即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價(jià)于.又因?yàn)椋裕?解得，結(jié)合，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，斜率公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點(diǎn)，再證明平面平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由題意，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí).則其外接球的半徑為.因?yàn)闀r(shí)邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以