試卷第=page22頁，共=sectionpages22頁Page專題54證明及探索性問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點1】證明問題 3【考點2】探索性問題 5【分層檢測】 7【基礎篇】 7【能力篇】 9【培優篇】 10真題自測真題自測一、解答題1．（2024·上海·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點.(1)若點的橫坐標為2，求的長;(2)設的上、下頂點分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點在軸上方，設直線與交于點，與軸交于點延長線與交于點，是否存在軸上方的點，使得成立?若存在，請求出點的坐標;若不存在，請說明理由.2．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．3．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得．若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．4．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．5．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.6．（2023·全國·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．考點突破考點突破【考點1】證明問題一、解答題1．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的方程；(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．3．（2024·云南大理·模擬預測）已知雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，頂點到漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)設為坐標原點，若直線過點0,2，與的左、右兩支交于，兩點，且的面積為，求直線的方程．4．（24-25高三上·廣東·階段練習）已知雙曲線的右焦點到其中一條漸近線的距離為(1)求的標準方程；(2)若過的直線與的左、右支分別交于點，與圓交于與不重合的兩點.①求直線斜率的取值范圍；②求的取值范圍.5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知拋物線的焦點為．過F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點，直線與交于E，P兩點，M，E均在第一象限．設A，B分別為弦MN，EP的中點，直線ME與直線NP交于點H．(1)求的方程．(2)直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．(3)證明：點H在直線上．6．（23-24高二下·貴州黔南·期末）已知拋物線經過點．(1)求拋物線C的方程及其準線方程；(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過x軸上的兩個定點．反思提升：圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點等.(2)數量關系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質的前提下，一般采用直接法，通過相關的代數運算證明，但有時也會用反證法證明.【考點2】探索性問題一、解答題1．（2025·安徽·一模）橢圓的上頂點為，圓在橢圓內．(1)求的取值范圍；(2)過點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．2．（22-23高二上·浙江金華·期中）已知橢圓C：＝1（）的右焦點F的坐標為，且橢圓上任意一點到兩點的距離之和為4.(1)求橢圓C的標準方程(2)過右焦點F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為，試問的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值；若不存在，請說明理由.3．（24-25高三上·福建福州·開學考試）已知雙曲線C：的中心為O，離心率，點A在x軸上，，點P是C上一定點，P到x軸的距離為1，且．(1)求雙曲線C的方程；(2)求C上任一點和A的距離的最小值；(3)若C上的點M，N滿足，求證：在C上存在定點Q（異于P）使得P，M，N，Q在同一個圓上．4．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．(1)求的方程；(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數，使得為定值？若存在，求出常數的值；若不存在，請說明理由．5．（2024·山西·三模）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2，O為坐標原點．(1)求E的方程；(2)已知點，若E上存在一點P，使得，求t的取值范圍；(3)過的直線交E于A，B兩點，過的直線交E于A，C兩點，B，C位于x軸的同側，證明：為定值.6．（2024·廣東·三模）已知拋物線：，過點的直線l交C于P，Q兩點，當PQ與x軸平行時，的面積為16，其中O為坐標原點.(1)求的方程；(2)已知點，，（）為拋物線上任意三點，記面積為，分別在點A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點為D，與的交點為E，與的交點為F，記面積為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.反思提升：此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結論，則應先求出結論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數的討論.分層分層檢測【基礎篇】一、解答題1．（24-25高三上·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．(1)求橢圓C的標準方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（2024·河南商丘·模擬預測）已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線經過點，且其漸近線的斜率為．(1)求的方程．(2)若動直線與交于兩點，且，證明：為定值．3．（23-24高二上·山東青島·期末）已知點，，中恰有兩個點在拋物線上．(1)求的標準方程(2)若點，在上，且，證明：直線過定點．4．（22-23高二上·江蘇揚州·期中）已知為坐標原點，雙曲線：的離心率為，點P在雙曲線上，點，分別為雙曲線的左右焦點，.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知點，，設直線的斜率分別為，.證明：為定值.5．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知點在拋物線：上，點F為的焦點，且．過點F的直線與及圓依次相交于點A，B，C，D，如圖．(1)求拋物線的方程及點M的坐標；(2)證明：為定值；6．（21-22高二上·青海玉樹·期末）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.(1)求動點的軌跡方程；(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.7．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設，是否存在x軸上的定點P，使得的內心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．8．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)是否存在直線，經過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.9．（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知點F是拋物線的焦點，動點P在拋物線上.(1)寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；(2)設直線與拋物線交于D，E兩點，若拋物線上存在點P，使得四邊形為平行四邊形，證明：直線過定點，并求出這個定點的坐標.【能力篇】一、解答題1．（22-23高二上·河南鶴壁·開學考試）已知橢圓的離心率，且圓過橢圓的上、下頂點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率為，且直線與橢圓相交于，兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，若直線與的斜率分別為，.證明：為定值，并求出此定值.2．（24-25高三上·貴州·開學考試）已知雙曲線的離心率為，實軸長為6，A為雙曲線C的左頂點，設直線l過定點，且與雙曲線C交于E，F兩點．(1)求雙曲線C的方程；(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．3．（2024·河南鄭州·模擬預測）設拋物線的焦點為，是上一點且，直線經過點．(1)求拋物線的方程；(2)①若與相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；②若與在第一象限內的兩個不同交點為，且關于原點的對稱點為，證明：直線的傾斜角之和為．【培優篇】一、解答題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)直線l斜率存在，交橢圓C于A，B兩點，A，B，F三點不共線，且直線和直線關于PF對稱．（i）證明：直線l過定點；（ⅱ）求面積的最大值．2．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線的標準