高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題43圓錐曲線與四心二十一大題型匯總題型1圓錐曲線重心與離心率 1題型2圓錐曲線重心與直線 8題型3圓錐曲線重心與面積 13題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo) 17題型5圓錐曲線重心與軌跡方程 23題型6圓錐曲線外心與離心率 31題型7圓錐曲線外心與坐標(biāo) 35題型8圓錐曲線外心與軌跡方程 40題型9圓錐曲線外心與求值 47題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率 52題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑 60題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線） 67題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積 72題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程 76題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值 83題型16圓錐曲線垂心與離心率 87題型17圓錐曲線垂心與直線（曲線） 94題型18圓錐曲線垂心與面積 100題型19圓錐曲線垂心與坐標(biāo) 105題型20圓錐曲線垂心與軌跡方程 111題型21四心綜合 119題型1圓錐曲線重心與離心率一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）G是△ABC的重心?GA+GB（2）G為△ABC的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則PG=（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長成反比．、【例題1】（2019上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A，F(xiàn)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B1【答案】1【分析】結(jié)合題意表示出四點(diǎn)坐標(biāo)，再由重心坐標(biāo)公式即可求解【詳解】如圖：由題可知，B10,b,B20,-b,A故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題【變式1-1】1.（2020下·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1、F2為橢圓x2a2+y2bA．0,13 B．0,12【答案】B【分析】根據(jù)P的橢圓上一點(diǎn)，且∠F1GF2≤2【詳解】因?yàn)镻的橢圓上一點(diǎn)，且∠F不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)镚為△PF所以GO=1而GO≥tan即GO≥3所以13所以b2所以a2即e2解得0<e≤1故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.【變式1-1】2.（2018·貴州貴陽·高三階段練習(xí)）在雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)A與雙曲線的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2形成的三角形的內(nèi)切圓PA．2 B．3 C．2 D．5【答案】C【詳解】如圖，由PG平行于x軸得yG=yP=a，??=12?則|AF1|=2c+a，|AF2|=2c-a，??由焦半徑公式|AF1|=a+e即e=c【變式1-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+yA．12 B．22 C．1【答案】A【分析】設(shè)P(x0,y0【詳解】設(shè)P(x0,y0),∵G為∵IG=λ1,0,在△F1P∴S又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)y0內(nèi)心I把△F1PF2分為三個(gè)底分別為△F1PF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，∴∴1即12×2c?|y∴橢圓C的離心率e=c故選：A【變式1-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)在左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若在曲線C的右支上存在點(diǎn)A．2 B．3 C．2 D．5【答案】C【分析】根據(jù)MG//F1F2，得到y(tǒng)M=a,yP=3a【詳解】設(shè)A,B,C分別為圓M在PF所以PA=PC,AF由雙曲線的定義可知PF1-PF又因?yàn)锽F1+BF2從而xM=a，又因?yàn)閮?nèi)切圓的半徑為a，所以而MG//F1F2，因此yG=a，又因?yàn)镚是∴S=PF由PF因此(2a)2故選：C．【變式1-1】5.（2020·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y【答案】1【分析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為a-c3a-c?y0，再利用等面積法列式解方程可得：【詳解】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，若e=1當(dāng)e≠1由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（x03，y03）所以I的橫坐標(biāo)也為由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON=2而PF1+PF2=2a，所以PF1=a+x03由角平分線的性質(zhì)可得PF1P所以可得MN=ON﹣OM=x所以ME=OE﹣OM=x0-c所以INPE=MNOE=S△PF1F2=12（PF1+F1F2+PF2）所以整理為：ca故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了內(nèi)心和重心的概念，考查了轉(zhuǎn)化思想和較強(qiáng)的計(jì)算能力，其方法為根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，化簡(jiǎn)可得.本題屬于難題.題型2圓錐曲線重心與直線【例題2】（2020下·河北石家莊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(A．1 B．32 C．2【答案】C【分析】由已知可得直線P1P3的斜率k=y1-y3x1-x3=8【詳解】由題意知d1帶入d1+d即2x2=x1則有x1即2x2=6-x2因此有y1+y3=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形重心公式，拋物線定義的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.【變式2-1】1.（2019·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,直線AB,BC,AC的斜率分別為kAB,kBC,kA．-2 B．-12 C．-【答案】D【分析】設(shè)Am,n,B(x1,y1),C(x2,y2)【詳解】設(shè)Am,n則kAB=y∴4y1+n+4y即y1+yn=3,所以kBC故選:D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率公式和三角形的重心坐標(biāo)公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.【變式2-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x22+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B【答案】x+2y+1=0【分析】設(shè)l的方程為x=my-1，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y【詳解】∵l過點(diǎn)F1∴可設(shè)l的方程為x=my-1，設(shè)Ax1,由x=my-1x22∴y1+y∴x1又∵F2(1,0)，∴Gx∴|OG|=m令m4+43∴直線l的方程為x+2y+1=0或故答案為：x+2y+1=0或【變式2-1】3.（2020·浙江·校聯(lián)考三模）已知橢圓C:x24+y2m=1的右焦點(diǎn)為F1,0，上頂點(diǎn)為B，則B的坐標(biāo)為，直線MN與橢圓C交于M【答案】(0,3)【分析】空1：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求出a，c，再根據(jù)橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，最后求出上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；空2：設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線定理進(jìn)行求解即可.【詳解】空1：因?yàn)镃:x24+y2m而a2=b2+空2：設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m，由（1）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x24+(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，設(shè)M(所以D點(diǎn)坐標(biāo)為：(-4km因?yàn)椤鰾MN的重心恰為點(diǎn)F，所以有BF=2即(1,-3因此有：2(-4km(1)÷(2)得：k=343，所以直線MN故答案為：(0,3)【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了三角形重心的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【變式2-1】4.（2020·上海·高三專題練習(xí)）已知直線L交橢圓x220+y216=1于M、N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B【答案】6x-5y-28=0【分析】結(jié)合重心坐標(biāo)公式推導(dǎo)出弦中點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)Mx【詳解】由題可知，B0,4，F(xiàn)2,0，設(shè)由重心坐標(biāo)得0+x所以弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1+x又Mx1,作差得4將中點(diǎn)坐標(biāo)代入得k=y2-y1即6x-5y-28=0故答案為：6x-5y-28=0【點(diǎn)睛】本題考查重心坐標(biāo)公式，點(diǎn)差法的應(yīng)用，點(diǎn)斜式的用法，屬于中檔題【變式2-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x22+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B【答案】x+2y+1=0【分析】設(shè)l的方程為x=my-1，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】∵l過點(diǎn)F1∴可設(shè)l的方程為x=my-1，設(shè)Ax1,由x=my-1x22∴y1+y∴x1又∵F2(1,0)，∴Gx∴|OG|=m令m4+43∴直線l的方程為x+2y+1=0或故答案為：x+2y+1=0或題型3圓錐曲線重心與面積【例題3】（2020·吉林·統(tǒng)考三模）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓A．423 B．22 C．【答案】C【解析】由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得|PF1|=4,|PF2|=6，進(jìn)而可得【詳解】由于點(diǎn)P為橢圓C:x∵|PF1|:|P故ΔPF1F2為等腰三角形，以故SΔPS△GP【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.【變式3-1】1.（2020下·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)P為橢圓：x249+y224=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，【答案】8【分析】設(shè)PF1=m，PF2=n，由題可得m+n=14，m2+【詳解】由橢圓方程x249+設(shè)PF1=m，PF又PF1⊥PF2又G為ΔPF1F故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，有關(guān)焦點(diǎn)三角形的面積計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【變式3-1】2.（2019上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考期末）已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)A、B、C在拋物線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)F為△ABC的重心,△OFA、△OFB、△OFC面積分別記為S1A．16 B．48 C．96 D．192【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)F為△ABC的重心,可得三點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,求出S1【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(S1所以S1故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心坐標(biāo)公式,考查了三角形面積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【變式3-1】3.（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)F是△ABC的重心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【詳解】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，平面幾何知識(shí).拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0);設(shè)y12=4x1,y22=4x2,y32=4【變式3-1】4.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S【答案】B【分析】作出圖示，根據(jù)I,G的特點(diǎn)分別表示出S1，S2，即可判斷出【詳解】因?yàn)镸F1+MF因?yàn)镮是△MF1F所以MF1+MF又因?yàn)镚是△MF1F所以S2所以S1故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內(nèi)心和重心問題，對(duì)學(xué)生分析圖形中關(guān)系的能力要求較高，難度一般.題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo)【例題4】（2019·甘肅·校聯(lián)考一模）已知A、B分別是雙曲線C:x2-y22=1的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且P在第一象限．記直線PA，PB的斜率分別為kA．(1,1) B．1,43 C．4【答案】B【解析】由雙曲線的性質(zhì)可得點(diǎn)A-1,0，B1,0，設(shè)點(diǎn)P(x,y),x>1,y>0，則k1k【詳解】由題意點(diǎn)A-1,0，B設(shè)點(diǎn)P(x,y),x>1,y>0則k1>0，k2所以2k1+所以yx+1=1x2-則△PAB重心坐標(biāo)為-1+1+33,0+0+4故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率的求解及雙曲線的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.【變式4-1】1.（2019·河北衡水·統(tǒng)考一模）已知拋物線y2=4x上有三點(diǎn)A,B,C，AB,BC,CA的斜率分別為3，6，-2，則A．(149,1) B．(14【答案】C【分析】設(shè)A(x【詳解】設(shè)A(x1,y1同理y2+y3=故與前三式聯(lián)立，得y1=-23,則x1+x【點(diǎn)睛】本題主要考查了解析幾何中常用的數(shù)學(xué)方法，集合問題坐標(biāo)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的能力有一定的要求，屬于中檔題.【變式4-1】2.（2020下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考期中）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A,B是拋物線C上兩點(diǎn)，且AF+BF=10，OA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,【詳解】設(shè)A(x1,則x1∵ΔOAB的重心為F，∴x1∴3p2+p=10，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線定義的應(yīng)用及三角形的重心坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.【變式4-1】3.（2018·福建莆田·統(tǒng)考一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，過F作直線l與C交于A,B兩點(diǎn)．若|AB|=10A．43 B．2 C．8【答案】B【詳解】F為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，所以由拋物線定義知：AB=x1ΔOAB重心的橫坐標(biāo)x1故選B.【變式4-1】4.（2020·陜西·統(tǒng)考二模）已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），從點(diǎn)M(4,a)（a>0）發(fā)出，平行于x軸的光線與Γ交于點(diǎn)A，經(jīng)Γ反射后過Γ的焦點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B，若反射光線的傾斜角為2π3，|AN|=2A．2,-3 B．32,0 C．【答案】C【解析】如圖所示，過點(diǎn)N作NC⊥AM，垂足為點(diǎn)C，計(jì)算Ap2-1,3，M(4,3)，得到p=3，AB的方程為【詳解】如圖所示，過點(diǎn)N作NC⊥AM，垂足為點(diǎn)C，因?yàn)閨AN|=2，反射光線的傾斜角為2π3，所以|AC|=1，|NC|=可得xA=p2-1，y將點(diǎn)Ap2-1,3代入y2解得p=3或p=-1（舍去），所以拋物線的方程為y2=6x，直線AB的方程為設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2顯然Δ>0，故y1又因?yàn)閥1+y設(shè)ΔABM的重心坐標(biāo)為(x,y)，所以x=x1+所以ΔABM的重心坐標(biāo)為3,-3故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的重心坐標(biāo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力【變式4-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC是橢圓y2【答案】9【分析】由題意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因?yàn)椤鰽BC的重心在原點(diǎn)O，所以y1【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），對(duì)于橢圓y2a2則AF=所以x1所以AF==c則|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），∵△ABC的重心在原點(diǎn)O，∴y1故答案為：9.【變式4-1】6.（2016上·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)直線l:x-2y-m=0與橢圓C:x24+y2=1相交于Α，Β兩點(diǎn)，Μ為橢圓C【答案】(2,2【詳解】將x=2y+m代入橢圓方程，得(2y+m)2+4y2=4，即8y2+4my+m2-4=0．由Δ=16m2-32(m2-4)>0，得m2<8，即-22<m<2故答案為：(2,22考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計(jì)算量大、綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.解決本題時(shí)可以采用消去未知數(shù)x得到8y2?m2<8?-22<m<22．再由韋達(dá)定理得y1+y2=-m2?x1+x2=2(y【變式4-1】7.（2020·吉林長春·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P、Q、R在C上，且ΔPQR的重心為FA．3,92∪92,5【答案】A【解析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出R的橫坐標(biāo)為xR=3-xP+xQ，縱坐標(biāo)為yR=-yP+y【詳解】由題意知，拋物線C的焦點(diǎn)為F1,0，設(shè)點(diǎn)PxP,y由重心的坐標(biāo)公式得xP+xQ+設(shè)直線PQ的方程為x=ky+m，由x=ky+my2=4x，消去xΔ=16k由韋達(dá)定理得yP+y所以，xP故xR=3-x將點(diǎn)R的坐標(biāo)代入拋物線C的方程得16k2=4×則Δ=82k2則PF+∵F1,0不在直線PQ上，則m≠1，此時(shí)，k2≠因此，PF+QF的取值范圍是故選：A.【點(diǎn)睛】考查拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標(biāo)的計(jì)算，屬于難題．題型5圓錐曲線重心與軌跡方程焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)G為橢圓x2a2+y2b證明：如圖1，設(shè)Px0?,?y0，則有y0≠0（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1-c?,?0?,?F2c②設(shè)點(diǎn)G為雙曲線x2a2-y2b證明：如圖2，設(shè)Px0?,?y0，則有y0≠0（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1-c?,?0?,?F2c【例題5】（2018上·重慶·高三重慶一中校考期中）已知P是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線x2A．9x2C．9x2【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P（m，n），則m216-n2【詳解】由雙曲線的方程可得a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0）．設(shè)點(diǎn)P（m，n），則m2x=m-5+53，y=n+0+09x216故選A．【點(diǎn)睛】本題考查用代入法求點(diǎn)的軌跡方程的方法，三角形的重心坐標(biāo)公式，找出點(diǎn)P（m，n）與重心G（x，y）的坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】1.（2022上·福建福州·高三校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P-23,0，Q23,0，點(diǎn)G與P，Q兩點(diǎn)的距離之和為2(1)求點(diǎn)N的軌跡方程C；(2)設(shè)C與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)（且不與A，B重合）.設(shè)直線AM，x軸與直線x=92分別交于點(diǎn)R，S，取E2,0，連接ER，證明：ER【答案】(1)x29(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義可得G的軌跡為橢圓，求出G的軌跡方程，設(shè)N的坐標(biāo)，可得G的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得N的軌跡C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，由題可得ME:y=y0x0-2【詳解】（1）解：因?yàn)镚P+由橢圓的定義可得G的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，2a=2，c=2所以a=1，則b2即G的軌跡方程為x2設(shè)N(x,y)y≠0，G(x0,因?yàn)镚為△PQN的重心，所以x0=x+所以可得x32+即N的軌跡方程C為x29+（2）證明：由（1）可得A-3,0，B直線AM，x軸與直線x=92分別交于點(diǎn)R，S，可得當(dāng)M的橫坐標(biāo)為2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)M在x軸上方，則ME⊥x軸，則M2,則RSME=92-(-3)2-(-3)=32當(dāng)當(dāng)M的橫坐標(biāo)不為2時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(x0,則ME:y=y0xMA:y=y0x0+3(x+3)，令則點(diǎn)R到直線ME的距離d==5要證ER為∠MES的角平分線，只需證d=RS又RS=∵y所以d=RS，當(dāng)且僅當(dāng)9-2x0又(x0,y0)在代入①式可得81-36x∴ER為∠MES的角平分線．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題在處理求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，通常采用相關(guān)點(diǎn)法，第二問主要體現(xiàn)設(shè)而不求思想的應(yīng)用.【變式5-1】2.（2022上·廣東揭陽·高三揭東二中校考階段練習(xí)）已知F1?F2是橢圓C：x24+y2(1)求△PF1F(2)設(shè)點(diǎn)Qs,t是△PF1【答案】(1)9(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)G(x,y)，則有m=3x,n=3y，代入橢圓C的方程，可得△PF1F（2）不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，易知圓Q的半徑為等于t，利用等面積法得t=n3，根據(jù)圓心Q到直線PF1的距離等于半徑，得3s-m+2n【詳解】（1）連接PO，由三角形重心性質(zhì)知G在PO的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）設(shè)G(x,y)，則有m=3x,n=3y又m24+n△PF1F2的重心（2）根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，易知圓Q的半徑為等于t，利用等面積法有：S結(jié)合橢圓定義：|P有12?4?t+由P(m,n)?F1(-1,0)兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線P根據(jù)圓心Q到直線PF1∴3s-m+2n2∴3s2化簡(jiǎn)得12s2∴2s-m6s-m+8由已知得-2<m<2，-1<s<1，則6s-m+8>0所以2s-m=0，即m=2s．【變式5-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y1(1)求證：x0是x1與(2)若直線AB過定點(diǎn)M(0,1)，求證：原點(diǎn)O是△PAB的垂心；(3)在（2）的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)y=2【分析】(1)根據(jù)給定條件求出拋物線C在點(diǎn)A，B處切線方程，再聯(lián)立計(jì)算作答.(2)根據(jù)給定條件結(jié)合(1)證明OP⊥AB，OA⊥PB，OB⊥PA即可.(3)設(shè)出點(diǎn)G(x,y)，借助(2)中信息用直線AB斜率k表示出x，y即可計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意，拋物線C:x2=2y在點(diǎn)A(由y-y1=t(x-于是得Δ=t2-2tx則直線PA:y=x1(x-x1由y=x1x-x1所以x0是x1與（2）設(shè)直線AB:y=kx+1，代入x2=2y整理得則有x1+xAB=(x2-x1,則(1)知kAP=x1，kOB=y所以原點(diǎn)O是△PAB的垂心.（3）設(shè)△PAB的重心G(x,y)，由(2)知，x=1y=13(y1+y所以點(diǎn)G的軌跡方程為y=2【變式5-1】4.（2020·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C:x2=4y（1）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中的軌跡與y軸的交點(diǎn)為D，當(dāng)直線AB與x軸相交時(shí)，令交點(diǎn)為E，求四邊形DEMG的面積最小時(shí)直線AB的方程.【答案】（1）y=34x【分析】（1）求得焦點(diǎn)F0,1，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)AB:y=kx+1（2）求得D，E和G的坐標(biāo)，DG和ME的長，以及D點(diǎn)到直線AB的距離，運(yùn)用四邊形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得最小值，由等號(hào)成立的條件，可得直線AB的方程.【詳解】（1）焦點(diǎn)F0,1設(shè)AB:y=kx+1，聯(lián)立x2x2設(shè)Ax1,y1則x1+x所以y1所以x=4k消去k，得重心G的軌跡方程為y=3（2）由已知及（1）知，D0,23k≠0，xM=2k，因?yàn)镺DOF所以DG//ME，(注：也可根據(jù)斜率相等得到)，DG=ME=D點(diǎn)到直線AB的距離d=1所以四邊形DEMG的面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)103k=此時(shí)四邊形DEMG的面積最小，所求的直線AB的方程為y=±30【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求法，注意運(yùn)用代入法，考查四邊形面積的最值的求法，注意運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.題型6圓錐曲線外心與離心率一、三角形外心的定義三角形的外心：三角形外接圓的圓心，稱為外心，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，就是三角形的外心．二、三角形外心重要結(jié)論（1）O是△ABC的外心?OA=OB（2）若點(diǎn)O是△ABC的外心，則(OA（3）若O是△ABC的外心，則sin2A?（4）斜三角形外心坐標(biāo)：Ox（5）多心組合：△ABC的外心O、重心G、垂心H共線，即OG∥OH；【例題6】（河北省衡水市2019屆高三下學(xué)期五月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2-y2=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MFA．2 B．3 C．5 D．5【答案】C【分析】由題意得：直線OD垂直平分MF2，設(shè)點(diǎn)Mm,n，F(xiàn)2c,0，則Dm+c2,n2，可得方程組：【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第二象限，設(shè)M(m,n)，F(xiàn)2由D為MF2的中點(diǎn)，O、I、D三點(diǎn)共線知直線OD垂直平分MF故有nm-c=-a，且12?n=1將Ma2-1c,2ac，即2a2-c故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)分析出直線OD垂直平分MF2，并用a，c表示出點(diǎn)【變式6-1】1.（2020·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）設(shè)Fc,0為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，以F為圓心，b為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，線段FPA．2 B．3 C．2 D．5【答案】D【解析】先由OD=λOI(λ≠0)可確定O、D、I三點(diǎn)共線,則根據(jù)外心的性質(zhì)可得OD⊥PF,再由點(diǎn)O為焦點(diǎn)的中點(diǎn),根據(jù)中位線性質(zhì)可得PF'【詳解】由題,因?yàn)镺D=λOI(λ≠0),所以O(shè)、D因?yàn)辄c(diǎn)D為線段FP的中點(diǎn),ΔPOF的外心為I,所以DI⊥PF,即OD⊥PF,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'(-c,0),則點(diǎn)O為線段則在△PFF'中,PF'//OD所以|F因?yàn)閨PF|=b,由雙曲線定義可得|PF'|-|PF|=2a則(2c)2=(2a+b)2+所以c=5則e=c故選:D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的定義的應(yīng)用.【變式6-1】2.（2018上·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中階段練習(xí)）F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b【答案】3【分析】根據(jù)PF1?【詳解】∵PF1?PF2=0PF1-PF2=2ar=PF1+PF2-F【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積為零的意義，考查雙曲線離心率的求法，考查方程的思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.【變式6-1】3.（2020·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a【答案】3【分析】取AF1的中點(diǎn)為C，連接BC、AF2、BF2，由垂直向量的數(shù)量積關(guān)系推出BC⊥AF【詳解】取AF1的中點(diǎn)為C，連接BC、AF因?yàn)?BF1又C為AF1的中點(diǎn)，所以△ABF因?yàn)辄c(diǎn)F2恰好為△F1AB的外心，所以點(diǎn)由雙曲線的定義知AF1-A所以△ABF1為等邊三角形，則在△CBF1中，CB2+C同時(shí)除以a2可得2e2-2e-1=0，解得故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、雙曲線離心率的求法，涉及垂直向量的數(shù)量積關(guān)系、平行四邊形法則，屬于中檔題題型7圓錐曲線外心與坐標(biāo)【例題7】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中直線y=x+4與拋物線C：x2=4y交于A，B兩點(diǎn)．若D為直線y=x+4外一點(diǎn)，且【答案】(4,4)或(-8,16)．【分析】三角形的外心為中垂線的交點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到線段AB的中垂線方程，將中垂線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得到外心M．【詳解】聯(lián)立x2=4yy=x+4設(shè)A(x1,y1)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N(x則x0=x則線段AB的中垂線方程為y-6=-(x-2)，即y=-x+8，聯(lián)立x2=4yy=-x+8得x從而△ABD的外心M的坐標(biāo)為(4,4)或(-8,16)．故答案為：(4,4)或(-8,16)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，其中韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查向量知識(shí)和三角形外心的應(yīng)用【變式7-1】1.（2019·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x216+y24=1的下頂點(diǎn)為A，若直線x=ty+4與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M【答案】2-2【分析】由已知可得A、M的坐標(biāo)，求得AM的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得MN的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得ΔAMN外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，

由已知條件可知A0,-2，不妨設(shè)M4,0，則ΔAMN外心在即在直線y+1=-2x-2，也就是在直線y=-2x+3聯(lián)立x=ty+4x216+y∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為16t則MN的垂直平分線方程為y+4t把y=-2x+3代入上式，得x=-3t+6當(dāng)ΔAMN的外心的橫坐標(biāo)-3t+6t2+4令gt=-3t+6由g't=0，得t=2+2當(dāng)t<2-22時(shí)，g't>0，當(dāng)當(dāng)t=2-22時(shí)，函數(shù)y=g故答案為：2-22【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題【變式7-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓C1:x24+y2=1，拋物線C2:x2=2py(p>0)，設(shè)【答案】7-【分析】設(shè)Bx0,y0【詳解】解：由拋物線、橢圓和圓的對(duì)稱性可知，△ABO的外心為橢圓的上頂點(diǎn)M0,1則有MA=MB=MO=1，設(shè)Bx0,y0解得x0故答案為：7-【變式7-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)【答案】4【分析】設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式求出|AB|，再求AB垂直平分線方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MF|，進(jìn)而可求解．【詳解】由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入x24+設(shè)A(x1,y則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(∴|AB|=∵M(jìn)是△PAB的外心，∴M是線段AB的垂直平分線與AP的垂直平分線的交點(diǎn)，AB的垂直平分線為y+3t3t2+4即M(13∴|AB||MF|故答案為：4.【變式7-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（【答案】4【分析】設(shè)出直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立后由弦長公式得|AB|，再由幾何關(guān)系得G點(diǎn)坐標(biāo)，得出|GF【詳解】由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB為x=my+1，代入橢圓方程得(3m設(shè)A(x1,∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4∴|AB|=1+∵G是線段AB的垂直平分線與線段AQ的垂直平分線的交點(diǎn)，AB的垂直平分線方程為y+3m令y=0，得x=13m2∴|AB||G故答案為：4【變式7-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的方程為x22+y2=1，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P2,0的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Qm,0．設(shè)點(diǎn)F為橢圓【答案】15【分析】設(shè)直線的方程為y=kx-2，代入橢圓C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出m【詳解】設(shè)直線的方程為y=kx-2k≠0，代入橢圓C的方程，消去1+2k∵直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，∴Δ=-8k設(shè)Ax1,設(shè)AB中點(diǎn)為Mx0,∵QA=QB，∴QM⊥l，即kQM解得m=2由0<k2=∵點(diǎn)Q為△FAB的外心，且F-1,0，∴QA=QB=QF由m+12=x-m2+y2∴x又∵x1+x2=∴m=2故答案為:1題型8圓錐曲線外心與軌跡方程（6）焦點(diǎn)三角形外心軌跡方程：①動(dòng)點(diǎn)P為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上異于橢圓頂點(diǎn)±a?,?0的一點(diǎn)，②動(dòng)點(diǎn)P為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0?,?證明：只證雙曲線情形．如圖1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為Px0?,?y0，則有y0≠0，∵點(diǎn)E在F1F2的垂直平分線上，∴可設(shè)E0?,?y1．圖1【例題8】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,0)，B,C在y軸上，且|BC|=4，則△ABC外心的軌跡S的方程；【答案】y【分析】設(shè)△ABC外心為G，且G(x,y)，B(0,a)，C(0,a+4)，根據(jù)外心的性質(zhì)可求點(diǎn)G的軌跡方程.【詳解】設(shè)△ABC外心為G，且G(x,y)，B(0,a)，C(0,a+4)，由G點(diǎn)在BC的垂直平分線上知y=a+2由|GA|2=故(x-2)2+y故答案為：y2【變式8-1】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A(0,1)、B(0,?-1)，且【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)C(x,??y)，由重心坐標(biāo)和外心坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)以及【詳解】設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則△ABC的重心M(x∵△ABC是不等邊三角形，∴xy≠0，再設(shè)△ABC的外心N(n,0)，∵已知MN=λAB，∴MN∥AB，∴∵點(diǎn)N是△ABC的外心，∴|NA|=|NC|，即(x化簡(jiǎn)整理得軌跡E的方程是x2∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是指焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓（去掉其頂點(diǎn)）．故答案為：x2【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和曲線的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題【變式8-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在圓O：x2+y2=5上，直線x=2與圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（E點(diǎn)在x軸上方），點(diǎn)Pm,n0<m<12是拋物線y2=2x【答案】3-3【分析】由x=2得到E,F的坐標(biāo)，表示出線段PE的中垂線l，令y=0，得到△PEF的外心Q的坐標(biāo)，由Pm,n在拋物線y2=2x上得n2=2m，從而得到x=【詳解】把x=2代入圓O的方程得y=±1，∴E2,1做出線段PE的中垂線l，則△PEF的外心Q為直線l與x軸的交點(diǎn)．直線l的方程為：y-n+12=-m-2n-1∵點(diǎn)Pm,n在拋物線y2=2x上，∴n由0<m<12得xQOQ=m當(dāng)且僅當(dāng)2-m=32-m時(shí)，即m=2-3時(shí)OQ此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為3-3,0，∴△PEF外接圓的半徑∴△PEF外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+3故答案為:3-3，【變式8-1】3.（2021·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，雙曲線C:x2a2（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)過雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Px0,y0的直線x0x-y0【答案】（Ⅰ）x2-y【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率以及焦點(diǎn)到漸近線的距離，并結(jié)合a2+b（Ⅱ）先設(shè)出A,B的坐標(biāo)，分別聯(lián)立直線與漸近線方程由此得到每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)MA=MO=MB化簡(jiǎn)得到點(diǎn)Mx,y【詳解】解：（Ⅰ）由已知可得：e=ca=即a2=1，b2（Ⅱ）設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立x0x-y0y聯(lián)立x0x-y0y法一：設(shè)△AOB的外心Mx,y，則由MAx-x12+y-①②兩式相乘得x2又∵x所以△AOB的外心M的軌跡方程為x2法二：設(shè)△AOB的外心Mx,y線段OA的中垂線方程為：y-y12=-2聯(lián)立y-y1∵x1x1-x代入x02所以△AOB的外心M的軌跡方程為x2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問的關(guān)鍵是通過三角形的外心對(duì)應(yīng)的幾何特點(diǎn)即外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此通過坐標(biāo)的化簡(jiǎn)運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)的軌跡方程.此外，三角形任意兩邊中垂線的交點(diǎn)也是三角形的外心，也可借由此結(jié)論完成解答.【變式8-1】4.（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為-1,0，1,0，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：①G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn)：②M是△ABC的外心；③GM(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若點(diǎn)P（2，0）與（1）中軌跡上的點(diǎn)E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求PE?|PF|【答案】(1)x2(2)3,9【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得軌跡方程；（2）設(shè)出三點(diǎn)所在的直線方程，與（1）中的軌跡方程聯(lián)立，由判別式大于0求出k2的范圍，利用韋達(dá)定理得到E，F(xiàn)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，將PE?PF表示為k【詳解】（1）設(shè)C（x，y），G（x0，y0），M（xM因?yàn)镸是△ABC的外心，所以MA所以M在線段AB的中垂線上，所以xM因?yàn)镚M/AB，所以yM又G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn)，所以G是△ABC的重心，所以x0所以yM又MA=所以0+12化簡(jiǎn)得x2所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2（2）因?yàn)镻，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以P，E，F(xiàn)三點(diǎn)所在直線斜率存在且不為0，設(shè)所在直線的方程為y=kx-2聯(lián)立y=kx-2,x由Δ=4k設(shè)Ex1,則x所以PE=1+又0<k2<1所以3<PE故PE?PF的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理得到E，F(xiàn)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，將PE?PF表示為題型9圓錐曲線外心與求值【例題9】（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓Γ：x24+y23=1，過其左焦點(diǎn)FA．2 B．3 C．4 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】設(shè)出直線PA方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合外心的性質(zhì)，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，再用弦長公式求得|PA|，再求結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)題意可得F1(-1,0)，顯然直線聯(lián)立橢圓方程可得：3+4k2x故x1+x2=故PA=設(shè)PA的中點(diǎn)為H，則其坐標(biāo)為x1顯然x軸垂直平分PB，故可設(shè)G(x3,0)，又GH令y=0，解得x=-k2故PA|G故選：C.【變式9-1】1.（2023下·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F2,0，過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支相交于M，(1)求雙曲線C的方程；(2)若△MNP的外心為Q，求QFMN【答案】(1)x2(2)1,3【分析】(1)設(shè)雙曲線的半焦距為c，由條件列關(guān)于a,b,c的方程，解方程求a,b,c可得雙曲線方程；(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+2，利用設(shè)而不求法求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用t表示QFMN【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為c，因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為F2,0，所以c=2因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)MN?MP=0時(shí)，直線l聯(lián)立x2a2-y所以2b2a所以a=3故雙曲線方程為x2（2）若直線l的斜率為0，則直線l與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，所以可設(shè)直線l的方程為x=ty+2，聯(lián)立x23-y2方程t2-3y設(shè)Mx則y1x1由已知-12t2所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為-6所以線段MN的垂直平分線方程為y+2t又線段MP的垂直平分線方程為x=0，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,-8t所以QF=MN=1+t所以QFMN=3因?yàn)?3<t<3所以3<1+8所以1<所以QFMN的取值范圍為1,【點(diǎn)睛】直線與雙曲線的綜合問題，一般利用設(shè)而不求法解決；其中范圍或最值問題，一般利用設(shè)而不求法求出變量的解析式，再結(jié)合函數(shù)方法求其范圍或最值.【變式9-1】2.（2020下·福建·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，過（1）若AF=2FB，求（2）設(shè)過點(diǎn)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)P，若M是△PAB的外心，證明:ABMF【答案】（1）y=±5【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入橢圓方程消x，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積，由AF=2FB，可得（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為43t2+4,-3t3t2+4，利用弦長公式求出【詳解】（1）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入x24+設(shè)Ax1,y若AF=2FB，則y1所以，l的方程為y=±（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為4所以AB因?yàn)镸是△PAB的外心，所以M是線段AB的垂直平分線與AP的垂直平分線的交點(diǎn)，AB的垂直平分線為y+令y=0，得x=13t所以，MFABMF=12【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓中的定值問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.【變式9-1】3.（2021·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求橢圓C的方程；（2）過H4,0作斜率不為0的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，過B作垂直于x軸的直線交橢圓于另一點(diǎn)Q，連接AQ，設(shè)△ABQ的外心為G，求證：AQ【答案】（1）x2【分析】（1）根據(jù)△PF（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，設(shè)Ax1,y1【詳解】（1）由題意知∶ca=12設(shè)△PF則S△P故當(dāng)△PF1F所以33(a+c)=bc，把a(bǔ)=2c，b=3所以橢圓方程為x（2）由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB為x=ty+4，代入橢圓方程得3tΔ=設(shè)Ax1,y1因此可得x所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(163t2因?yàn)镚是△ABQ的外心，所以G是線段AB的垂直平分線與線段BQ的垂直平分線的交點(diǎn)，由題意可知B，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，故QxAB的垂直平分線方程為-t(x-令y=0，得x=43t所以|G又|AQ|==(故|AQ||GF2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1，（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1（5）代入韋達(dá)定理求解.題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率一、三角形內(nèi)心的定義三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心，三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，就是內(nèi)心．二、三角形內(nèi)心常見結(jié)論設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為圓I，切邊AB于P，則有如下重要結(jié)論：（1）I是△ABC的內(nèi)心?a?IA+b?IB（2）∠BIC=90°+1（3）AP=r（4）內(nèi)心I點(diǎn)的坐標(biāo)為ax【例題10】（2020下·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)A．233 B．3+1 C．4【答案】D【解析】分A,B在y軸同側(cè)和A,B在y軸異側(cè)兩種情況進(jìn)行求解：不妨設(shè)A在第一象限，根據(jù)題意作出圖形，利用圖形中的幾何關(guān)系求出ba=tan【詳解】有兩種情況：（1）若A,B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限.如圖，設(shè)ΔOAB內(nèi)切圓的圓心為M，則M在∠AOB的平分線Ox上，過點(diǎn)M分別作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，焦點(diǎn)F到漸近線y=bax又|OF|=c，所以|OA|=a，又|NA|=|MN|=3所以|NO|=3-所以ba從而可得離心率e=1+（2）若A,B在y軸異側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限如圖，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a，因?yàn)棣AB的內(nèi)切圓半徑為|AB|+|OA|-|OB|2所以|OB|-|AB|=2a-3又因?yàn)閨OB|所以|AB|=3a，所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，則ba從而可得離心率e=1+綜上，雙曲線C的離心率為23故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系求離心率；考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和運(yùn)算求解能力；利用數(shù)形結(jié)合思想，正確求解圖形中的幾何關(guān)系和線段長度是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.【變式10-1】1.（2020·浙江紹興·統(tǒng)考二模）雙曲線C1:x2a2-y2b2A．32 B．3 C．224【答案】D【解析】作出圓錐曲線的大致圖像，利用拋物線C2的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于到AB【詳解】作出雙曲線C1:x如圖：雙曲線C1:x2a聯(lián)立x2=2pybx-ay=0，解得x=0當(dāng)x=2pba時(shí)，則所以焦點(diǎn)F0,p2到AB焦點(diǎn)F0,p2到漸近線bx-ay=0所以2pb2a即2c2-兩邊同除以a3可得44e又e>1，即4e2+4e-1=0故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的計(jì)算能力，屬于中檔題.【變式10-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F是雙曲線C:x2a2-y2b=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為A．3+174 B．4+174【答案】C【分析】首先求出r=a+b-c2，由BF=2OB，通過運(yùn)算得到3b=c+3a，再利用a,b,c,e之間的關(guān)系得到關(guān)于【詳解】∵F到漸近線的距離為FH=|bc|b則△FOH的內(nèi)切圓的半徑為r=a+b-c設(shè)△FOH的內(nèi)切圓與FH切于點(diǎn)M，則MH由BF=2FM=BF=即3b=c+3a即9即9c由e=ca，得4e2-3e-9=0故選：C【點(diǎn)睛】對(duì)于直角三角形內(nèi)切圓半徑r=a+b-c2要記住，根據(jù)向量之間關(guān)系得到a,b,c關(guān)系式，再將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的二次式，再利用e=ca【變式10-1】3.（2021·遼寧·統(tǒng)考二模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點(diǎn)為F1,F2,O為它的中心，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，ΔPF1FA．|OB|=|OA| B．|OB|=e|OA| C．|OA|=e|OB| D．|OB|與|OA|關(guān)系不確定【答案】A【詳解】F1（﹣c，0）、F2（c，0），內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)A∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圓的切線長定理知，|AF1|﹣|AF2|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a；|OA|=a，在△PCF2中，由題意得，F(xiàn)2B⊥PI于B，延長交F1F2于點(diǎn)C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=12CF1=12（PF1﹣PC）=12∴|OB|=|OA|．故選A．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了雙曲線的幾何意義和雙曲線的第一定義；用到了焦三角形的的內(nèi)切圓的性質(zhì)和結(jié)論．一般無論雙曲線還是橢圓，和焦三角形的有關(guān)的可以想到，焦三角形的的周長，余弦定理，定義的應(yīng)用，面積公式等【變式10-1】4.（2019下·福建南平·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2A．（1，2） B．（1，22）C．（1，22] D．（1，2]【答案】D【分析】根據(jù)條件和三角形的面積公式，求得a,c的關(guān)系式，從而得出離心率的取值范圍，得到答案．【詳解】設(shè)ΔPF1F2的內(nèi)切圓的半徑為因?yàn)镾ΔIPF1由雙曲線的定義可知PF所以a≥22c又由e=ca>1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得【變式10-1】5.（2019上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線x2a2-y2b2=1a>b>0右焦點(diǎn)F的直線交兩漸近線于A、A．233 B．3 C．4【答案】A【解析】設(shè)內(nèi)切圓圓心為M，則M在∠AOB平分線OF上，過點(diǎn)M分別作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形,則ba【詳解】因?yàn)閍>b>0，所以雙曲線的漸近線如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓圓心為M，則M在∠AOB平分線OF上，過點(diǎn)M分別作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得FA=b，又OF=c，所以O(shè)A=a，NA=MN=所以ba=tan故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑三角形內(nèi)切圓的半徑求法：①任意三角形：r=2SΔCΔ（其中CΔ為②直角三角形：r=a+b-c【例題11】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，A．3-1 B．3+1 C．2【答案】C【分析】利用離心率求得ba，然后由拋物線準(zhǔn)線方程和雙曲線漸近線方程聯(lián)立可得A、B坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可得p，再由面積公式S=【詳解】由e=2，可得ba所以雙曲線的漸近線方程為y=±由y=3xx=-p2得A(-∴S△AOB=1∴A(-1,-3)，B(-1,3)，則△AOB的三邊長分別為2，設(shè)△AOB的內(nèi)切圓半徑為r，由12(2+2+23故選：C．【變式11-1】1.（2017·江西撫州·統(tǒng)考一模）點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線x2-y23A．0,3 B．0,2 C．0,2【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)ΔPF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)A,B,C，根據(jù)圓的切線可知：|PB|=|PC|，|F1A|=|F1C|，|F2A|=|F2B|，又根據(jù)雙曲線定義|PF考慮P點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，直線PF1的斜率趨近于ba，此時(shí)PF1方程為y=ba(x+c)，此時(shí)圓心到直線的距離為【變式11-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法及相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例求解即可.【詳解】因?yàn)镕1P?F2所以AP+PF所以AP+因?yàn)椤鱌F1F因?yàn)镻F所以4c2=易知Rt△AOF2所以AF故選：C.【變式11-1】3.（2021·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x225+A．3 B．2 C．53 D．【答案】D【分析】由面積最大得M的位置，從而可求出三角形的三條邊，求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】因?yàn)闄E圓為x225+當(dāng)△MF點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF則MF1=MF因?yàn)镾△MF1

故選：D.【變式11-1】4.（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，離心率為33【答案】5【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到△ABF【詳解】△ABF2的周長為∵lAB:y=3x+c，∴F2設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓半徑為r，又∵S△ABF2=1故答案為：5【變式11-1】5.（2023上·廣東廣州·高三廣東廣雅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N（不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)，記直線AM，AN，l的斜率分別為k1，k2，k，滿足：k1+k2=-【答案】(1)x(2)0,【分析】（1）根據(jù)已知條件求得a,b，從而求得橢圓C的方程.（2）先判斷出直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)等面積公式求得△FMN的內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得r的取值范圍.【詳解】（1）由3x+2y-23=0令x=0，得y=令y=0，得x=2，則A2,0，所以a=2,b=所以橢圓C的方程為x2（2）由（1）得a=2,b=3，則c=a2設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1設(shè)直線l的方程為y=kx+mk≠0由y=kx+mx24+y則x1+xk1k1+k解得m=-2k或m=-k，當(dāng)m=-2k時(shí)，y=kx+m=kx-2k=kx-2當(dāng)m=-k時(shí)，y=kx-k=kx-1過定點(diǎn)F此時(shí)Δ=192綜上所述，直線l過右焦點(diǎn)F1所以△FMN的周長為4a=8.當(dāng)m=-k時(shí)，x1F-1,0到直線y=kx-1即kx-y-k=0所以S△FMN即r=18=1令t=4k2+3>3則r=3×=3由t>3可得0<1t<根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得r∈0,【點(diǎn)睛】求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求得a,b，本題中通過求直線AB的橫截距和縱截距來求得a,b.求解三角形內(nèi)切圓半徑有關(guān)的問題，可以利用三角形的面積公式，利用等面積法列方程來進(jìn)行求解.題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線）【例題12】（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【分析】記△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為C，△BF1F2的內(nèi)心D，邊AF1、AF2、F1F2上的切點(diǎn)分別為M、N、E，則C、E橫坐標(biāo)相等，根據(jù)外接圓的性質(zhì)及雙曲線的定義求得D,E的橫坐標(biāo)，可得CD⊥x軸，設(shè)直線的傾斜角為θ，∠OF2D=θ2，∠CF2O=90°﹣θ【詳解】解：記△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為C，邊AF1、AF2、F1F2上的切點(diǎn)分別為M、N、E，則C、E橫坐標(biāo)相等，則|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）=2a，得|MF1|﹣|NF2|=2a，即|F1E|﹣|F2E|=2a，記C的橫坐標(biāo)為x0，則E（x0，0），于是x0同理△BF1F2的內(nèi)心D的橫坐標(biāo)也為a，則有CD⊥x軸，設(shè)直線的傾斜角為θ，則∠OF2D=θ2，∠CF2O=90°﹣θ在△CEF2中，tan∠CF2O=tan（90°﹣θ2）=r在△DEF2中，tan∠DF2O=tanθ2由r1=2r2，可得2tanθ2=tan（90°﹣θ2）=1tan則直線的斜率為tanθ=2tanθ2故選：D.【變式12-1】1.（2016·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，|PF1|-|PF2|=2a，設(shè)三角形PF1F2的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A(x,0)，B、C分別為內(nèi)切圓與PF1、【詳解】解：點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得|PF若設(shè)三角形PF1F設(shè)B、C分別為內(nèi)切圓與PF1、則有：P=BF1所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a．由題意可得a=1，設(shè)P(m,n)，F(xiàn)1P與點(diǎn)F1關(guān)于直線y=-bxa對(duì)稱，可得n-0解得m=b2-即有Pb代入雙曲線的方程可得(b由a=1，c2解得b=2，c=5即有雙曲線的方程為x2故答案為：x2【變式12-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線C:A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2【答案】B【分析】利用圓的切線性質(zhì)和雙曲線定義，結(jié)合圖形可解.【詳解】∵雙曲線方程為y29-x設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1、PF2切于點(diǎn)A、B，與F1F2切于點(diǎn)C則|PA|=|PB|，F(xiàn)1B=又∵點(diǎn)P在雙曲線上支上，∴|PF2|-|PF1|=2a=6，即（|F2A|+|PA|）-(|F1B|+|PB|)=6，化簡(jiǎn)得|F2A|-|F1B|=6，即|F2C|-|F1C|=6，而|F1C|+|F2C|=2c=10，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，λ），由|F2C|-|F1C|=6可得(λ+5)-(5-λ)=6，解之得λ=3，得C的坐標(biāo)為（0，3）∵圓M與F1F2切于點(diǎn)C，∴CM⊥y軸，可得CM所在直線方程為y=3故選：B【變式12-1】3.（2020·山西·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A．x22C．x23【答案】D【分析】先根據(jù)I為△PF1F2的內(nèi)心，且S△P【詳解】解：因?yàn)镮為△PF1F2的內(nèi)心，設(shè)所以S△P因?yàn)镾△P所以S△P所以2F根據(jù)橢圓的定義得：2a=4c，即a=2c.對(duì)于A選項(xiàng)，a=2,c=1，不滿足對(duì)于B選項(xiàng)，a=3,c=2對(duì)于C選項(xiàng)，a=3,c=1，不滿足對(duì)于D選項(xiàng)，a=2,c=1，滿足a=2c，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，解題的核心是通過面積關(guān)系和橢圓的定義得到a=2c，考查分析解決問題的能力，是中檔題.【變式12-1】4.（2015·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1,F2為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)PA．x28C．x29【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)心及重心的性質(zhì)，可知點(diǎn)I距x軸的距離為33，再利用等面積法建立關(guān)于a與c的等式，再利用點(diǎn)P(2,【詳解】設(shè)點(diǎn)P距x軸的距離為3，因?yàn)镮G//F1F2，則點(diǎn)I距x軸的距離為33S△F1所以(a+c)33=所以橢圓方程為x2故選：A題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積【例題13】（2019·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P為橢圓x24+y23=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)A．13 B．12 C．2【答案】A【分析】首先連PI延長x軸于D，連IF1，IF2，利用角平分線定理得到【詳解】解：連PI延長x軸于D，連IF1，在△PF1D中有IDIP=故|ID故S△I故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和角平分線定理解決三角形面積比值，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于中檔題型，本題的難點(diǎn)是角平分線定理的應(yīng)用.【變式13-1】1.（2020上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，A．-35 B．-45【答案】C【解析】由已知可得PF【詳解】如圖，設(shè)ΔPF由SΔIPF2整理得PF所以PF1-PF故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線定義和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式13-1】2.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S【答案】B【分析】作出圖示，根據(jù)I,G的特點(diǎn)分別表示出S1，S2，即可判斷出【詳解】因?yàn)镸F1+MF因?yàn)镮是△MF1F所以MF1+MF又因?yàn)镚是△MF1F所以S2所以S1故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內(nèi)心和重心問題，對(duì)學(xué)生分析圖形中關(guān)系的能力要求較高，難度一般.【變式13-1】3.（2012·浙江·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)A．1+222 B．23-1【答案】D【詳解】試題分析：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a，|F1∴(ac考點(diǎn)：1．雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；2．圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【思路點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由|PF1|-|P【變式13-1】4.（2019下·河南洛陽·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線M:x2-y23=1的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上左支上動(dòng)點(diǎn)，則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G，若△GP【答案】1【分析】由圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義可求圓心G的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式S,S'及其比值，由此可得SS'【詳解】如圖設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，Q，由切線的性質(zhì)可得GQ⊥F1F2，由雙曲線的定義，PF1﹣PF2＝2a．由圓的切線性質(zhì)PM因?yàn)镕1Q+F2Q＝因?yàn)殡p曲線M:x2-y23=1的a＝1，b＝3，c＝2，可設(shè)G可得SS'=12故答案為：14題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程（6）焦點(diǎn)三角形內(nèi)心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)M為橢圓x2a2+y2b2=1證明：如圖1，設(shè)Mx?,?y?,?Px0又由MP=ac圖1圖2②設(shè)點(diǎn)I為雙曲線x2a2（1）當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，點(diǎn)I的軌跡方程為x=ay（2）當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，點(diǎn)I的軌跡方程為x=-ay證明：（1）當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，如圖2，設(shè)圓I與PF1?,?PF2?,?F1F2分別相切于點(diǎn)A?,?B?,?C，則有F1A=F設(shè)I的縱坐標(biāo)為y?,?∠PF綜上所述，點(diǎn)I的軌跡為x=ay（2）仿照（1）的證明可證得：當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，圓I總與x軸相切于點(diǎn)C-a?,?0【例題14】（2018上·浙江金華·高三校聯(lián)考期末）已知F1,F2為橢圓C:x24+y【答案】x【詳解】考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:x2a2+y解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，c=a2+直線IF1與IF2的斜率之積：kI而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為(x+y+z)r=因此有kI再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足e2其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2解法二：令P(acosθ,bsinS=1其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得r=bc?|另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：(c-xI)-(x2本題中：a=2,c=1，代入上式可得軌跡方程為：x2【變式14-1】1.（2019上·四川成都·高三成都七中校考期中）點(diǎn)M為橢圓x29+y25=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,【答案】x【分析】設(shè)△F1MF2的內(nèi)心為I，連接MI交x軸于點(diǎn)N，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到MINI=32，設(shè)I【詳解】如圖，設(shè)△F1MF2的內(nèi)心為I，連接MI交x在△MF1I中I根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到MINI同理可得MINI所以MINI=在橢圓x29所以MI設(shè)Ix,y,MMF1又F1N=x所有N4MI=x-x0,y-y0所以x0=-3得x24+5y所以△F1故答案為：x【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查焦半徑公式，內(nèi)角平分線定理的應(yīng)用，屬于難題.【變式14-1】2.（2022上·全國·高三階段練習(xí)）若雙曲線C：x24-y25=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左?A．雙曲線C的漸近線方程為xB．點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線的一部分C．若|PF1|=2|PFD．不存在點(diǎn)P，使得|PA|+|PF【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接寫出漸近線方程判定A；由圓的切線長定理和雙曲線的定義可求得I的橫坐標(biāo)，可判定B；由雙曲線的定義和余弦定理，利用等面積法求得I的縱坐標(biāo)，由正弦PF1和PF2求交點(diǎn)，求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，可得x,y，可判定C；若P'【詳解】由題意，雙曲線C:x24設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n，△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1、由雙曲線的定義可得：m-n=2a，即|F又|F1T|+|F2T|=2c，解得由I與T的橫坐標(biāo)相同，即I的橫坐標(biāo)為a=2，故I在定直線x=2上運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；由|PF1|=2|PF2∴cos∠PF1∴tan∠PF1設(shè)直線PF1:y=157設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，則S△P∴PI=(-2,-由PI=xPF1+yPF若P'與P關(guān)于y軸對(duì)稱，則|PA|=|P'A|且∴|PA|+|PF1|=|P'易知：(|PA|+|PF1|)min=5+4=9故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：D選項(xiàng)求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離最值，應(yīng)用雙曲線的定義及對(duì)稱性將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到兩定點(diǎn)之間的某條曲線上，結(jié)合兩定點(diǎn)間的線段最短求最小值．【變式14-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】x【分析】設(shè)P(x0,y0),?I(x,y)，利用性質(zhì)【詳解】如圖，設(shè)P(x0,y0),?I(x,y)，圓I與△PF1F2三邊相切于點(diǎn)題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值【例題15】（2018上·河北石家莊·高三辛集中學(xué)階段練習(xí)）已知M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是ΔMA．53 B．35 C．4【答案】A【分析】如圖，點(diǎn)M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作BM垂直直線F1F2于點(diǎn)B，過點(diǎn)I作IA垂直直線F1F又MF1+MF2=2a，故得：122c?MB=12r?2a+12r?2c，所以IAMB=ca+c，由橢圓方程x225【詳解】如圖，點(diǎn)M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作BM垂直直線F1F2于點(diǎn)B，過點(diǎn)I作IA垂直直線F1F又MF1+MF2=2a，故得：122c?MB=12r?2a+12r?2c，所以IAMB=ca+c，由橢圓方程x225【點(diǎn)睛】本題主要是利用三角形相似將所求的比值轉(zhuǎn)化成三角形相似比問題，即構(gòu)造兩個(gè)三角形相似來處理，對(duì)于內(nèi)切圓問題通常利用等面積法列方程．即：即：S△ABC=S△IBC+S△IAC+S△IAB（其中I是△ABC的內(nèi)切圓圓心）【變式15-1】1.（2017·湖北襄陽·襄陽四中校考一模）橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩焦點(diǎn)是F1、F2，M為橢圓上與F1、FA．a(chǎn)b B．a(chǎn)c C．b【答案】B【分析】連接IF1,I【詳解】連接IF1,I同理可得MIIN=M根據(jù)等比定理MIIN故選：B【變式15-1】2.（2016上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)M在橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)TA．a(chǎn)2-b2b B．【答案】C【詳解】試題分析：連接PF1、PF2，在△MF1P中，F(xiàn)1P是∠MF1考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、角平分線的性質(zhì)．【技巧點(diǎn)晴】本題考查的是橢圓的定義、角平分線的性質(zhì)定理、等比定理等的綜合知識(shí)，屬于難題；在解決涉及圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口；由于三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的比值關(guān)系來求解．【變式15-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．2-3 B．12 C．2【答案】A【分析】利用切線長定理進(jìn)行求解.【詳解】由題意，|MF1|+|MF2|=4，而F1設(shè)圓與MF1、MF2分別切于點(diǎn)A，B，連接IA，IB，根據(jù)切線長定理就有F1∴MIcosθ=MA故選：A．【變式15-1】4.（2019上·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)F1,F2為橢圓C:x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)．【答案】0【分析】因?yàn)棣F1F2的內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為2-3，所以可知道ΔMF1F2