高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總

(含答案解析)

1.如圖，在三棱錐A-88中，平面A3。J_平面BCD,AB=AD,。為8。的中點.

(1)證明：OA1CD；

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AO上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小為45。，求

三棱錐力-8CO的體積.

【答案】(1)證明見解析;(2愁.

6

【解析】

【分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.

【詳解】

(1)因為=。是5。中點，所以0AJ_8。，

因為。4u平面平面平面BCD,

且平面ABDc平面所以O(shè)A_L平面BCD.

因為CZ)u平面BCD,所以。4_LC￡>.

(2)［方法一］:通性通法一坐標(biāo)法

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點，。4為z軸，0。為)，軸，垂直0。且過。的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

則。(且L。),。(0,1,0),8(0,-1,0),設(shè)A(0,0,m),E(0d),

2233

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總(含答案解析)

設(shè)。=(x,y,z)為平面EBC的法向量,

EBn=0

則由，可求得平面EBC的一個法向量為萬=(-75,1,--).

ECn=0tn

又平面BCD的一個法向量為。4=(0,0皿),

與,解得m=1.

x』x2xlx旦且,

又點C到平面的距離為】」，所以匕_的=匕_八相

3226

所以三棱錐A-BCD的體積為正.

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作EG_L8O,垂足為點G.

作G/_L8C,垂足為點F,連結(jié)E尸，則。4〃EG.

因為04_1_平面8cO,所以EG_L平面8cO,

DEAG為二面角￡一3。一。的平面角.

因為NEFG=45。，所以EG=PG.

由己知得OB=8=1,故OB=OC=\.

又NOBC=/OCB=30。,所以BC=V5.

24222

因為60=*,68=—,依=+8=—,E6=一,04=1,

33333

5Xx25Xx2xXxlxl

^-BCD=14BCD^=1ABOC^=14-y-)xl=^.

，JD乙乙U

試卷第2頁，共58頁

[方法三卜三面角公式

考慮三面角5—EQC,記為a,4EBC為0,ZDBC=30°,

記二面角石-BC-O為凡據(jù)題意，得6=45。.

對夕使用三面角的余弦公式，可得cos夕=cosa?cos30。，

化簡可得cos/=#cosa.①

使用三面角的正弦公式，可得sin/?=當(dāng)，化簡可得sin/?=^sina.②

sin。

a

將①②兩式平方后相加，可得^cos2a+2sin2a=1,

由此得sin2a=-cos?a,從而可得tana=±」.

42

A

4

根據(jù)三角形相似知，點G為0。的三等分點，即可得8G=5，

結(jié)合。的正切值，

可得EG=],OA=1從而可得三棱錐A-BCD的體積為由.

36

【整體點評】

(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)

化，適合于復(fù)雜圖形的處理：

方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的

認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.

方法三:三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、

迅速.

2.如圖,四邊形A8CQ為矩形，且人。=2,"=1,幺_1平面48。，以=1,E為砒?的中點.

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(1)求證:PE_LOE；

(2)求三棱錐C—POE的體積；

(3)探究在以上是否存在點G,使得EG||平面PC。，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)之；(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)連結(jié)AE,由幾何體的空間結(jié)構(gòu)可證得DEL平面P4E,利用線面垂直的定義可知OEJLPE.

1

-匕=

(2)由(1)知ADCE為腰長為1的等腰直角三角形，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化頂點可得分「麻6-

(3)在PA上存在中點G,使得EG〃平面PC。.取PA的中點G,"，連結(jié)EG,GH,CH.易證得四邊形EGHC是平

行四邊形，所以EG//C”,結(jié)合線面平行的判斷定理可知EG//平面PCD.

【詳解】

(1)連結(jié)AEJ.'E為8C的中點,EC=CD=1,

???ADCE為等腰直角三角形，

則NOEC=45°,同理可得乙4E8=45°,，ZAED=90\--DE±AE,

又。4_L平面，且DEu平面A88,%_L0E,

又;AEcQ4=A,；?力石_L平面R4E,又尸石u平面PAE,，DELPE.

(2)由(1)知ADCE為腰長為1的等腰直角三角形,

???Sy=3X1x1=；，而E4是三棱錐尸-08的高,

,%C-r血L/tfr-Lo/^cC,t=-35ADC￡^3=-2X-X6L=-

試卷第4頁，共58頁

(3)在R4上存在中點G,使得EG〃平面P8.理由如下：

取PAP0的中點G,”，連結(jié)EG,GH,CH.

???G,”是PAPD的中點，???GH//AD,^GH=^AD,

又因為E為BC的中點，且四邊形ABCD為矩形，所以EC//AD,且EC=；ADy

所以EC/GH,且EC二G”,所以四邊形EG”C是平行四邊形，所以EGHCH,

又￡G<Z平面PCQCA/u平面PCD,所以七G//平面PCD.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判斷定理，線面垂直的判斷定理，棱錐的體積公式，立體幾何中探索問題的處理方法等

知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

3.如圖，在三棱錐P—A8C中，AB=BC=2&,PA=PB=PC=AC=4t。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點”在棱BC上，且二面角M-E4-C為30°,求尸C與平面RAM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)立.

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得尸。垂直AC再通過計算，根據(jù)勾股定理得尸。垂直O(jiān)B,最后根據(jù)線面垂直判定

定理得結(jié)論；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面布加一個法向量，利用向量數(shù)量積求

出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向

量PC與平面以M法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.

【詳解】

(1)因為AP=CP=AC=4,。為4c的中點，所以O(shè)P_L4C,且OP=2G.

連結(jié)08.

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因為48=8C=EAC,

2

所以AABC為等腰直角三角形，

^OB1AC,OB=-AC=2

2

由。尸+。序=PB2知PO_LOB.

由。尸_L。氏O尸J.AC知p。1平面ABC.

（2）如青，以0為坐標(biāo)原點，礪的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

由已知得0(0,0,0),5(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2.0),P(0,0,2石)，/=(0,2,2百)

取平面PAC的法向量08=(2,0,0).

IHJU

設(shè)A/(a,2-?,0)(0vaW2),則AM=3,4—4,0).

設(shè)平面PAM的法向量為為=(x，N，z).

4——-R2y+26z=0

ar+(4-a)y=0

可取2萬=(63-4),64,-4)

所以cos（而而=23（：4）.由已知得cos〈麗小〉=走.

2小3（。-4月+3/+/2

2石|。-4|64

所以%二二?解得〃=Y（舍去），?

2y/3（a-4y+3a~+a~23

又定=（0,2,-26）,所以cos〈定了〉=

所以PC與平面Q4M所成角的正弦值為?

試卷第6頁，共58頁

【點睛】

利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求

坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)：第三，破“求法向量關(guān)“，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)

4.如圖，在三棱錐S-A8C中，平面S8C1平面ABC,SB=SC=AB=AC=無，8c=2,若。為的中點.

(1)證明：SO_L平面ABC；

(2)求異面直線AB和SC所成角；

(3)設(shè)線段SO上有一點當(dāng)AM與平面S48所成角的正弦值為叵時，求OM的長.

15

【答案】(1)證明見解析；(2)^(3)；.

【解析】

【分析】

(I)先證明平面S6C_L平面A6C,再證明SO_L平面A8C；(2)分別以。8,OA,0C為入軸，＞軸，z軸的

非負(fù)半粗，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線48和SC所成角；(3)設(shè)M(0,0j),(ze[0,l]),利用

向量法得到尊=，解方程即得I的值和的長.

15GJW'；1”+J,

【詳解】

(1)°：SB=SC,BO=OC,

：.SO1BC,

???平面SBCJ?平面ABC,

平面SBCI平面ABC=8C,

SOu平面SBC,

:.SO_L平面ABC.

(2),:SB=SC=AB=AC=yli,8c=2,

:,BSICS,BA1CA,

如圖，分別以。3,OA,OC為x軸，y軸，z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

*/A(0,l,0),3(1,0,0),5(0,0,1),C(-l,0,0),

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1X11UU

???AB=(l,T,0),5C=(-l,0,-l),

(3)設(shè)m=(〃,"c)為平面SB4的法向量，

muUU

VAB=(l,-l,0),SB=(l,0,-l),

{a-b=0一、

???〈八，即mz=(U,l),

[a-c=0

設(shè)M(0,0"),(re[0,1]),

uuu

???AM=(0,-lj),

設(shè)AM與平面SAB所成角為8,

1U-UUlTi

I/ITUUlTyI收

Vsin0=|cos(m,AM戶口?明],

.同二IT

??丁?療"+產(chǎn)，

6+6/=15(/-21+1),

3/2-10/4-3=0,

(-1)=0,

t=3(舍)，/=—>

???OM的長為;.

【點睛】

本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成的角和線面角的計算，意在考查學(xué)生對這些知

識的理解掌握水平和分析推理計算能力.

試卷第8頁，共58頁

5.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

（1）證明：2。，平面48。；

（2）若點〃在棱8c上，且VC=2M8,求點C到平面"0W的距離.

【解析】

【詳解】

分析：（I）連接08,欲證P0_L平面A5C,只需證明（2）過點C作CH_LQM,垂足

為M,只需論證⑦的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.

詳解：（1）因為4P=CP=AC=4,。為AC的中點，所以O(shè)P_LAC,且0P=2G.

連結(jié)08.因為AB=BC="AC,所以AAW?為等腰直角三角形，且08_L4C,0B=\AC=2.

22

由O尸+OB?=尸出知，OPA.OB.

由OPLOB,OP_LA。知POJ?平面ABC.

8

（2）作CH_LOM,垂足為凡又由（1）可得OPJ_C〃，所以CHJ?平面POM.

故CH的長為點C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知。C」AC=2,CM上BC=晅,NACB=45°.

233

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所以。M二空,CHJCMC'SCB二至

3OM5

所以點C到平面POM的距離為拽.

5

點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是

能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.

6.如圖，直四棱柱ABCD-A/B/。。/的底面是菱形，A4/=4,AB=2fZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BBh

A/。的中點.

（1）證明：MN〃平面C7OE；

（2）求點C到平面C7DE的距離.

【答案】（1）見解析；

⑵亞.

17

【解析】

【分析】

（1）利用三角形中位線和可證得ME"VZ）,證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得MV//OE,

根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)題意求得三棱錐G-8E的體積，再求出ACQE的面積，利用％3=匕“屎求得點C到平面CQE的

距離，得到結(jié)果.

【詳解】

（1）連接ME,BQ

試卷第10頁，共58頁

■/M,￡分別為84，8C中點二.ME為M4C的中位線

又N為A。中點，且:.ND"B?且ND=：BC

?.MEHND四邊形MNDE為平行四邊形

:.MN//DE,又腦V<Z平面CQE,￡>Eu平面CQE

MN//平面CQE

(2)在菱形ABC。中，E為BC中點、,所以DELBC,

根據(jù)題意有。E=石，C]E=J萬，

因為棱柱為直棱柱，所以有O￡_L平面5CG4,

所以。EJ.EG,所以=；x6xji7,

設(shè)點C到平面c,DE的距離為“，

根據(jù)題意有％_8E=Z.GDE，則有:X；XX/5XJT7X"=；XBX1XJ5X4,

初俎，44717

V1717

所以點C到平面GOE的距離為辭.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程

中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是

文科生常考的內(nèi)容.

7.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面A5CD,

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總(含答案解析)

AB=BC=-AD.ABAD=ZABC=90°,E是P。的中點.

2

(1)證明：直線CE//平面以8；

(2)點”在棱PC上，且直線與底面/IgCD所成角為45。，求二面角加-仞-￡＞的余弦值.

5

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)取附的中點F,連結(jié)E產(chǎn)，BF,由題意證得CE〃防，利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)

論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量：m=(0,-76,2),7=(0,0,1),然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)

論可求得二面角M-的余弦值為畫.

5

試題解析：(1)取中點尸，連結(jié)竹，BF.

因為E為P。的中點，所以￡尸〃4),政=34。,由NBA￡)=N45C=90。得6C//AZ),^BC=-AD

所以呼gBC.四邊形BC砂為平行四邊形，CEHBF.

又B廠u平面PAB,。石仁平面故CE〃平面尸

(2)

由己知得84_LAD,以A為坐標(biāo)原點，通的方向為x軸正方向，|而|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz,則

試卷第12頁，共58頁

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,L0),尸(0,1,6)，

PC=(1,0,-6),而=(1,0,0)則

BM=(x-Ly?z),PM=k，y-i,z-6)

因為BM與底面ABCD所成的角為45。，而3=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以

IcosCBM,1=sin45°,/一!=~~

I\/IJ(xf-+y2+z22

即(x-1)斗y2-z2=0

又M在棱PC上，設(shè)PM=4定，則

X=A,>'=1,Z=G—y/3A,

x=l+"

x=l----

22

由①，②得，y=l(舍去'y=i

76V6

z=----z=——

22

2亞M

所以M1-，從而漏1=1-冬1,

22

設(shè)/n=（Xo，yo，Zo）是平面ABM的法向量，則

加項=0即（2-應(yīng)）x0+2y°+濕0=0

w-AB=0xo=O

所以可取而=（0,-76,2）.于是cos

因此二面角M-AB-D的余弦值為巫

5

點睛：（D求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)

算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計算.

mn

（2）設(shè)m,n分別為平面a,4的法向量，則二面角夕與＜m,n＞互補(bǔ)或相等，故有|cos6|=|cosvm,口＞|=同同.求

解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

8.如圖，在四棱錐夕一力4。。中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90.

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總（含答案解析）

（1）證明：平面％3_L平面附。；

⑵若*PD=AB=DC,44尸。=90,求二面角4-尸3-。的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

3

【解析】

【詳解】

（1）由已知N8A尸=NCD尸=90°,得ABLAP,CD1PD.

由于AB/CD,故ABJ_PO,從而ABJ_平面以O(shè).

又A8u平面以3,所以平面以B_L平面以￡）.

（2）在平面尸4。內(nèi)作PF_LA￡>,垂足為產(chǎn)，

由（1）可知，43_1_平面~4力，故44_1,2尸，可得PF_L平面ABCD

以尸為坐標(biāo)原點，同的方向為x軸正方向，|麗|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系r-型.

由（1）及已知可得A1#,。,。，P0,0,

八，

2

試卷第14頁，共58頁

所以無=卜*,1,-孝）函=（應(yīng),0,0）,PA=與,。,一冬,麗=（0,1,0）.

設(shè)。=（x,y,z）是平面PC8的法向最，則

小*Q即卜冬+，一冬=。，

儲"I&=0,

可取M=（0,-1,一夜）.

設(shè)仇=a%z）是平面EA8的法向量，則

嚴(yán)誓：即］冬-冬=6可取而=（1,0,1）.

/w-AB=0,八

Iy=0.

則皿依加崩［“亭

所以二面角的余弦值為-立.

3

【名師點睛】

高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；

②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；

③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，長方體468-A/B/C/。/的底面4BCO是正方形，點E在棱A4/上，BEA.EC/.

DB

A

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總（含答案解析）

（1）證明：BE工平面EB/C/；

（2）若AE二AR求二面角8-EC-G的正弦值.

【答案】（1）證明見解析：（2）B

2

【解析】

【分析】

（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道gq_L側(cè)面利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出旦￡8,這樣可以

利用線面垂直的判定定理，證明出BE1平面E4G；

（2）以點8坐標(biāo)原點，以配，麗，西分別為樂”軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形A8C。的邊長為。，48=6,

求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用BE_LEG，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面即C、平面ECG的法向量，利用

空間向量的數(shù)量積公式求出二面角B-EC-G的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角

4-EC-G的正弦值.

【詳解】

證明（1）因為ABCO-AMGR是長方體，所以用GL側(cè)面4/乃A,而8￡u平面人圈84,所以BE_LBg

又BE_LEC】，B￡cECt=C）,MG,EC〕u平面EB?,因此BE_L平面EBg；

（2）以點8坐標(biāo)原點，以配，麗，國分別為x，y，z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

8(0,0,0),C(a,0,0),C,3,0,b),E(0,,

因為BE_LEG，所以而?西=0=(0,a,2)(a,-a,2)=on-a2+2=onb=2a,

224

所以E(0,a,a),EC=(a,-a,-a),CCi=(0,0,2a),BE=(0,a,a),

設(shè)〃i-（A],y,Z[）是平面BEC的法向量,

試卷第16頁，共58頁

mBE=0,ay+az=0,

所以tt=>/n=(0J,-l),

mEC=0.axx-ayi-azi=0.

設(shè)1=a，y2，Z2)是平面ECG的法向量,

nCC=0.(2az,=0,

所以’__='=>w=(1,1,0),

n-EC=0.ax2-ay2-az2=0.

mn\_

二面角E-EC-G的余弦值的絕對值為

2,

所以二面角8-EC-G的正弦值為

2

【點睛】

本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函

數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10.如圖，四棱錐尸一ABC。的底面是矩形，尸。_L底面ABC。，M為8C的中點，且PB_LAM.

(1)證羽：平面平面P5Z)；

(2)若尸。=Z)C=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)旦.

3

【解析】

【分析】

(1)由POJ?底面A5CO可得叨_LAW,又產(chǎn)B1AM,由線面垂直的判定定理可得AM_L平面尸班＞,再根據(jù)面

面垂直的判定定理即可證出平面加/_L平面23。：

(2)由11)可知，AM±BD,由平面知識可知，ADABFABM,由相似比可求出AO,再根據(jù)四棱錐P-A8CD

的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)伏I為PDI底面人。。。,4ML平面480

所以

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總（含答案解析）

又PBCPD=P,

所以AM_L平面尸皮），

而AMu平面HUf,

所以平面RIM_L平面PBD.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知

T□__ADAB

于是△ABZAWM小，故=

ABBM

因為BM=g8C,A￡>=8C,48=l,所以即BC=a.

故四棱隹P-A3a）的體積V=［ABBCPZ）=克.

33

［方法二］:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知AM_LQ6,所以砥

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)8C=2a（a>。）.

因為DC=1,所以40,0),5(1,0),￡)(0,2。),M(l,a).

..a-02。-0z->21

rkx=ax（2a）2al

^AM^BD=I-—r-U^-xU—-Ir-=-=--

所以a=也，即D4=也.下同方法一.

2

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一肛2,

試卷第18頁，共58頁

設(shè)|QA|二f,所以0(0,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),A0,0,0),即,1,0).

所以PB=(M,-l),而+如0).

所以而麗=，?(_］)+1x1十0x(-1)=_與十］=0.

所以1=拉，即|。4|=夜.下同方法一.

［方法四］:空間向量法

由尸8_LAW,得麗.麗7=0.

所以(而+DX+而).而=0.

^PDAM+DAAM+ABAM=().

又尸。_L底面48CO,A"在平面48CO內(nèi)，

因此P￡>_LAM,所以蘇?麗7=0.

所以國.赤+荏.謝-0，

由于四邊形ABCO是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，

得」|網(wǎng)+|研二0,gp--|BC|2+l=0.

22

所以|反|=應(yīng)，即8。=五.下同方法一.

【整體點評】

(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個邊長，為最常用的通性通法，為

最優(yōu)解；

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總(含答案解析)

11.如圖，已知三棱柱A3C-A/8/G的底面是正三角形，側(cè)面B5/&C是矩形，M,N分別為BC,8/G的中點,

尸為AM上一點，過以。和P的平面交48于E,交AC于E

(1)證明：AA///MN,且平面4AMALL尸；

(2)設(shè)。為A4BC的中心，若40〃平面E8/C凡且40=48,求直線8/與平面4/MV所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

10

【解析】

【分析】

(1)由歷,N分別為BC,8G的中點，MN//CQ,根據(jù)條件可得明〃8與，可證MN//A4,,要證平面￡8心產(chǎn)_L

平面AAMN,只需證明防平面AAMN即可；

(2)連接NP,先求證四邊形OM%是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得EP,在4G截取反。=9，由(1)BC工

平面A4MN,可得NQPN為用E與平面A4MN所成角，即可求得答案.

【詳解】

(1)”,N分別為8C,8c的中點，

又AAJ1BB、,

MN//AA,,

在△他C中，M為BC中點,則BCJ.4V/,

又?.?側(cè)面B8CC為矩形，

/.BC1BB、,

試卷第20頁，共58頁

MNIBC,

rtlMNr-AM=M,u平面AAMN,

.t./C_L平面AAMN,

又?；BC〃BC,且MG<z平面ABC,BCu平面ABC,

B］G〃平面ABC,

又「MRu平面E/G尸,且平面E81G尸c平面ABC=￡F

:.B\G"EF,

EF//BC,

又8C_L平面AAMN,

???斯,平面4人的，

?.?M(=平面七8。7，

平面￡5&尸j_平面AAMN.

(2)［方法一］:幾何法

如圖，過。作4G的平行線分別交A4，AG于點居，耳，聯(lián)結(jié)AE1,4O,A6，NP,

由于AO〃平面EBCF，平面EB6尸，AOngK=O,

AOu平面人耳耳，耳耳<=平面4耳匕，所以平面川與耳〃平面EBg產(chǎn).

又因平面AE|Zn平面=平面EBC/c平面4A48=七四，所以七國〃入罵.

因為8C_LAN,B?i人MN,ANRMN=N,所以用￡_1面叫圾.

又因4P〃片G，所以&￡_L面AA,NM,

所以AS】與平面AANM所成的角為NE|AO.

22

令A(yù)B=2,貝UNB1=1,由于。為△44G的中心，故OELMNBLM，

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2

在R^A￡O中，AO=AB=2tOEi=-,

由勾股定理得4居=/AO、OE；=平.

所以sin/￡AO=±=-^-.

由于〃A&,直線&E與平面AAMN所成角的正弦值也為畫.

10

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

因為AO〃平面由。聲，平面E/G81n平面4MM4,=NP,所以AO〃NP.

因為ON//AP,所以四邊形O4PN為平行四邊形.

由（I）知斯_L平面AMNA，則石尸為平面4MNA的垂線.

所以與E在平面AMNA的射影為NP.

從而用上與NP所成角的正弦值即為所求.

在梯形EFC由中，設(shè)E尸=1,過E作EG_LqG，垂足為G,則0N=KG=3.

1_Vio

在直角三角形B/G中,

sinZB]EG=而―記

［方法三］:向量法

UUU1

由（I）知，用GJ_平面A4MN,則8c為平面AAMN的法向量.

因為AO〃平面EMC/,AOq平面AAMN,且平面AA"Nc平面EgC/=/W,

所以AO/IPN.

由（I）知4A〃MN,AA=MN,即四邊形4PN。為平行四邊形，則AO=NP=A3.

因為。為正&\耳弓的中心，故AP=ON=gAA/.

由面面平行的性質(zhì)得日防二;8C，所以四邊形為等腰梯形.

由P,N為等腰梯形兩底的中點，得PN_L8G，則兩?甌=0,函=而+而+甌=

師+*網(wǎng)=麗一乒.

M

設(shè)直線片石與平面所成角為凡AB=a則目皿=

AAMNf"To"?

所以直線用E與平面AAMN所成角的正弦值?.

10

試卷第22頁，共58頁

［方法四卜基底法

不妨設(shè)4。=4?=4c=2,則在直角AAA。中，懼二手.

以向量麗，麗，而為基底，

從而（羽，通）=日，=p（AB,AC）=y.

西=應(yīng)+麗+隔=#+麗，BC=AC-AB，

則同卜亭，西|=2.

所以函.而=（］而+麗）（/一而）=［而.衣_|麗2=_g.

由（I）知8C_L平面AAMN,所以向量而為平面AAMN的法向量.

設(shè)直線用正與平面AAMN所成角夕，則sin6=kOs（璃，元）卜氤器=嚕.

故直線4石與平面AAMN所成角的正弦值為sin。=巫.

10

【整體點評】

（2）方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵：

方法二：等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；

方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；

方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直

線的方向向量.

12.如圖，長方體48coM/8/C/Q的底面A8C。是正方形，點E在棱44/上，BELECi.

（1）證明：BE工平面EB心八

（2）若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-8BGC的體積.

【答案】（1）見詳解；（2）18

【解析】

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總(含答案解析)

【分析】

(1)先由長方體得，4G工平面例四B,得到用G，BE,再由BE_LEG，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證

明結(jié)論成立；

(2)先設(shè)長方體側(cè)棱長為2a,根據(jù)題中條件求出4=3；再取中點尸，連結(jié)律，證明所_L平面8800,

根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)因為在長方體48co—AqGA中，平面儀與8；

BEu平面例與8,所以BO1工BE,

又BE上EQBgcEC”,且EGu平面E4G，用6<=平面EBg,

所以BE1平面用6；

(2)設(shè)長方體側(cè)棱長為2a,則AE=AE=",

由(1)可得印_L8E；所以明2+8爐二網(wǎng)2,即28爐=叫2,

又鉆=3,所以24"+24/=8崗2,即2〃2+18=4。2,解得a=3；

取中點尸，連結(jié)E尸，因為AE=AE,ROEF//AB：

所以EF工平面BB￡C,

所以四棱錐E-BBCC的體積為/_明Gc=；S矩形明Gc?所=g?BC?陰衣=；x3x6x3=18.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即可，屬

于基礎(chǔ)題型.

13.如圖，在長方體人8CO—A4CQ中，點￡尸分別在棱。。,8片上，且2DE=ED「BF=2FB].

試卷第24頁，共58頁

（1）證明：點G在平面AE廠內(nèi);

（2）若A3=2,AD=\,M=3,求二面角A-EF-A的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

7

【解析】

【分析】

（1）方法一:連接GE、C.F,證明出四邊形AEC/為平行四邊形，進(jìn)而可證得點G在平面AE尸內(nèi)；

（2）方法一：以點C1為坐標(biāo)原點，c。、cc所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-.pz,

利用空間向量法可計算出二面角4一七/-A的余弦值，進(jìn)而可求得二面角A-石尸-4的正弦值.

【詳解】

（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實的推論

在棱CG上取點G,使得CG=；CG,連接DG、FG、CRC.F,如圖1所示.

在長方體ABC。—ABC"中，BFHCG,BF=CG,所以四邊形8CG尸為平行四邊形，則8C///G,8C二尸G,而

BC=AD,BCHAD.所以AD//FG,AD=FG,所以四邊形D4R7為平行四邊形,即有A/〃￡>G,同理可證四邊

高中數(shù)學(xué)《點線面的位置關(guān)系》高考專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練典型30題匯總(含答案解析)

形OEC。為平行四邊形，/.GE//OG,.?(￡〃從尸，因此點G在平面AEF內(nèi).

［方法二］:空間向量共線定理

圖2

以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

設(shè)GA=4。冏=b,C}C=3c,則&(0,0,0),二(40,2。7(0力?,4。力,3。),

所以亭=(a,0,2c),麗=3,0,2r).故乎=麗.所以A尸〃。盧，點G在平面AE產(chǎn)內(nèi).

［方法三］:平面向量基本定理

同方法二建系，并得G(0,0,0),E(a,0,2c)/(0,b,c),A3,b,3c),

所以G￡=(a,0,2c),G尸=(0,b,c),GA=(a,b,3c).

故不=印+市.所以點G在平面AE尸內(nèi).

［方法四］:

根據(jù)題意，如圖3,設(shè)A0=a，44=2b，AA=3c.

在平面4片曲內(nèi)，因為BF=2g,所以媯尸乃=

試卷第26頁，共58頁

延長AF交AM于G,

AFu平面AEF,

平面AB。。.

GGAF,GGA4，

所以G6平面AEF,Ge平面4圈CQ①.

延長AE交AA于“，同理"w平面AEF,"e平面A^G2②.

由①@得，平面AMD平面AAGA=G”.

連接GH,GC「77G,根據(jù)相似三角形知識可得GM=b,D、H=2a.

在R〃GB|G中，C]G=（小+從.

同理，在中，C冏=2，？+二.

圖4

如圖4,在放AAG”中，GH=yJa2+b2-

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所以GH=GG+G”，即G,C，"三點共線.

因為GHu平面AEF,所以Gu平面AE產(chǎn)，得證.

［方法五］:

如圖5,連接。￡硝”。片，則四邊形。為平行四邊形，設(shè)。片與放相