第五章三角函數章末重難點歸納總結考點一三角函數的定義【例1】（2023秋·江蘇鹽城·高一校聯考期末）已知角終邊經過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·廣西欽州·高一統考期末）（多選）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．2．（2023·上海）（多選）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（

）A． B．1 C．0 D．23．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學校考階段練習）（多選）設角終邊上的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．4（2022秋·浙江紹興·高一統考期末）（多選）已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，則下列取值有可能的是（

）A． B．C． D．考點二三角函數值的正負【例2-1】（2023春·云南怒江·高一校考期中）（多選）若，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【例2-2】（2023·廣東湛江）若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【一隅三反】1．（2022秋·山西·高一校聯考階段練習）（多選）已知是第三象限角，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一課時練習）（多選）在平面直角坐標系中，角頂點在原點，以正半軸為始邊，終邊經過點，則下列各式的值恒大于0的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·陜西渭南·高一校考期中）(多選)下列各三角函數值符號為負的有（

）A． B．C． D．考點三同角三角函數【例3-1】（2022春·高一課時練習）（多選）下列說法中正確的有（

）A．若，則B．已知角，若，則C．已知角，若，則D．對于任意角都有【例3-2】（2023春·貴州遵義·高一遵義二十一中校考階段練習）已知，則下列結果正確的是（

）A． B．C． D．【例3-3】（2023·天津）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·湖北）（多選）已知，且，則關于表述正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一假期作業）（多選）已知，則下列選項正確的是(

)A． B．C． D．3．（2023·全國·高一假期作業）（多選）已知,且和是方程的兩個實數根,則=（

）A． B． C． D．4．（2023春·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）（多選）已知，，則的可能取值為（

）A． B． C． D．考點四誘導公式及恒等變化【例4-1】（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學校考開學考試）已知是第四象限角，.(1)化簡；(2)若，求的值.【例4-2】（2023春·四川達州·高一四川省萬源中學校考階段練習）化簡的值為（

）A．1 B． C． D．2【例4-3】（2023秋·四川眉山）已知，則（

）A． B． C． D．【例4-4】（2023春·江蘇鎮江·高一統考階段練習）（多選）已知，，其中，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·四川成都）的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西商洛）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學校考期中）.4．（2023秋·江西撫州）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.5．（2023春·江蘇·高一校考開學考試）給出下列三個條件：①角的終邊經過點；②；③．請從這三個條件中任選一個，解答下列問題：(1)若為第四象限角，求的值；(2)求的值．考點五三角函數的性質【例5】（2023秋·廣西貴港）（多選）已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調遞減【一隅三反】1.（2023云南）（多選）的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖象關于直線對稱D．將的圖象向右平移個單位長度得到的函數圖象關于y軸對稱2．（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習）（多選）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數B．C．當時，在上有3個零點D．若在上單調遞增，則的最大值為53．（2024·黑龍江大慶·統考模擬預測）（多選）已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．C．在上單調遞增D．的圖象關于直線對稱考點六三家函數的綜合運用【例6】（2023秋·湖南常德）已知函數.(1)當時，求的最大值和最小值，以及相應的值；(2)若，，求的值.【一隅三反】1．（2023秋·山東煙臺）已知函數，．(1)若函數的圖象關于直線對稱，求的最小值；(2)若函數在上有零點，求實數的取值范圍．2．（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習）已知函數，將的圖象各點橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，然后再將所得函數圖象向左平移個單位后得到函數的圖象.(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有兩個解，求實數n的取值范圍；(3)實數m滿足對任意，都存在，使得成立，求m的取值范圍.3．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學校考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式及對稱中心；(2)若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數的圖象.求函數在上的值域.4．（2023春·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知函數(，).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數存在且唯一確定.條件①：；

條件②：為偶函數；條件③：的最大值為1；

條件④：圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數圖像上各點橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖像向左平移個單位，得到函數的圖像，若，求；(3)若是函數的一個零點，求的最小值.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．考點七扇形的弧長與面積【例7】（2023·江蘇）《九章算術》是中國古代第一部數學專著，成于公元一世紀左右，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經驗公式：弧田面積=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現有圓心角為，弦長為米的弧田，其實際面積與按照上述經驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（

）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．20【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（

）（參考數據：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m22．（2023·江蘇）在中國古代，折扇既實用也是文人雅士或家庭的裝飾品，其扇面形狀如圖實線部分所示.已知該扇面的圓心角為(弧度)，扇面的面積為16，，則扇面的周長(外圍實線部分)為A． B．12 C． D．83．（2022·全國·高三專題練習）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖，是書畫家唐寅（1470—1523）的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面所在扇形的圓心角為rad，此時扇面面積為cm2．

第五章三角函數章末重難點歸納總結考點一三角函數的定義【例1】（2023秋·江蘇鹽城·高一校聯考期末）已知角終邊經過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角終邊經過點，所以，所以，解得.故選：C【一隅三反】1．（2023春·廣西欽州·高一統考期末）（多選）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因為角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD2．（2023·上海）（多選）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】BC【解析】由題設，故，整理得，所以或.故選：BC3．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學校考階段練習）（多選）設角終邊上的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為角終邊上的點的坐標為，所以，故A錯誤C正確；，故B正確；，故D錯誤.故選：BC.4（2022秋·浙江紹興·高一統考期末）（多選）已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，則下列取值有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】當時，，則，，則，，故D正確；當時，，則，，則，，故BC正確；綜上，A錯誤，BCD可能正確.故選：BCD.考點二三角函數值的正負【例2-1】（2023春·云南怒江·高一校考期中）（多選）若，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】BC【解析】因為，則或，若，，此時的終邊位于第三象限，若，，此時的終邊位于第二象限，綜上可得的終邊位于第二象限或第三象限.故選：BC．【例2-2】（2023·廣東湛江）若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【解析】當是第一象限角時，，故一定不是第一象限角；當是第二象限角時，，即可以是第二象限角；當是第三象限角時，，即可以是第三象限角；當是第四象限角時，，即可以是第四象限角．故選：BCD.【一隅三反】1．（2022秋·山西·高一校聯考階段練習）（多選）已知是第三象限角，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】已知是第三象限角，∴.對于AB，由，角的終邊在一、二象限或y軸非負半軸上，成立，A正確；不一定成立，B錯誤；對于CD，由，角的終邊在第二象限或第四象限，不一定成立，C錯誤；成立，D正確.故選：AD．2．（2023秋·高一課時練習）（多選）在平面直角坐標系中，角頂點在原點，以正半軸為始邊，終邊經過點，則下列各式的值恒大于0的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由題意知角在第四象限，所以，，.選項A，；選項B，；選項C，；選項D，符號不確定.故選：AB.3．（2023春·陜西渭南·高一校考期中）(多選)下列各三角函數值符號為負的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】選項A，因為角是第一象限角，所以，故選項A不滿足題設條件；選項B，因為角是第二象限角，所以，故選項B滿足題設條件；選項C，因為，所以角是第二象限角，所以，故選項C不滿足題設條件；選項D，因為，故選項D滿足題設條件；故選：BD.考點三同角三角函數【例3-1】（2022春·高一課時練習）（多選）下列說法中正確的有（

）A．若，則B．已知角，若，則C．已知角，若，則D．對于任意角都有【答案】AC【解析】對A，因為，所以，正確；對B，，，的值為負數，不正確；對C，，在第一象限，則，正確；對D，當時，，不存在，故不正確.故選：AC.【例3-2】（2023春·貴州遵義·高一遵義二十一中校考階段練習）已知，則下列結果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：ABC.【例3-3】（2023·天津）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】將兩邊同時平方，整理得，所以，故D正確．又，所以，所以由，解得，故C正確，所以，，故A正確，B錯誤，故選：ACD．【一隅三反】1．（2023·湖北）（多選）已知，且，則關于表述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，且，所以，則，，，故選：AD2．（2023·全國·高一假期作業）（多選）已知，則下列選項正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABD【解析】兩邊平方，得，即，則，選項A正確；因為，所以，又因為，所以，因為，所以，選項B正確，因為，故D正確，C錯誤，故選：ABD．3．（2023·全國·高一假期作業）（多選）已知,且和是方程的兩個實數根,則=（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】解方程得或;分子分母同時除以得;當時,,當時,.故選：.4．（2023春·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）（多選）已知，，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由可得，即，即,,,當時，；當時，.故選：AB.考點四誘導公式及恒等變化【例4-1】（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學校考開學考試）已知是第四象限角，.(1)化簡；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）.（2），即，又是第四象限角，，.【例4-2】（2023春·四川達州·高一四川省萬源中學校考階段練習）化簡的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】故選：A.【例4-3】（2023秋·四川眉山）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，即，所以．故選：D【例4-4】（2023春·江蘇鎮江·高一統考階段練習）（多選）已知，，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】，∴，∴A正確；∴，∴B錯誤；，，∴，∴∴D正確；∴C正確.故選:ACD.【一隅三反】1．（2023秋·四川成都）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：，故選：2．（2023·陜西商洛）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，設，①，又②，所以聯立①②，解得，故．故選：D3．（2023春·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學校考期中）.【答案】【解析】，，所以.故答案為：.4．（2023秋·江西撫州）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1），由，得，所以；（2）由，得，則.5．（2023春·江蘇·高一校考開學考試）給出下列三個條件：①角的終邊經過點；②；③．請從這三個條件中任選一個，解答下列問題：(1)若為第四象限角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)-2(2)6【解析】（1）選①，方法一：角的終邊經過點，因為為第四象限角，故m＞0，點P到原點的距離為，所以，，故．方法二：角的終邊經過點，所以，所以，解得，又為第四象限角，所以，，故．選②，由得，所以，解得，又為第四象限角，所以，，故．選③，由得，因為，，所以，故，所以，解得，又為第四象限角，所以，，故．（2）方法一：由（1）得：，所以．方法二：（*），由（1）得：，所以為第二或第四象限角，①若為第二象限角，則，，所以，*式．②若為第四象限角，則，，所以，*式．考點五三角函數的性質【例5】（2023秋·廣西貴港）（多選）已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調遞減【答案】BCD【解析】因為直線是圖象的一條對稱軸，所以，．又，所以．A不正確．當時，，所以的圖象關于點對稱．B正確．因為，所以C正確．當時，，單調遞減．D正確．故選：BCD【一隅三反】1.（2023云南）（多選）的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖象關于直線對稱D．將的圖象向右平移個單位長度得到的函數圖象關于y軸對稱【答案】AC【解析】由函數的圖象，可得，所以，可得，所以，因為，所以，即，可得，即，因為，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得，此時函數的圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，所以D錯誤.故選：AC.2．（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習）（多選）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數B．C．當時，在上有3個零點D．若在上單調遞增，則的最大值為5【答案】BD【解析】∵，∴，且，∴，即為奇數，∴為偶函數，故A錯.由上得：為奇數，∴，故B對.由上得，當時，，，由圖象可知在上有5個零點，故C錯誤，

∵在上單調遞增，所以,解得：，又∵，∴的最大值為5，當時，滿足在上單調遞增，故D對.故選：BD.3．（2024·黑龍江大慶·統考模擬預測）（多選）已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．C．在上單調遞增D．的圖象關于直線對稱【答案】ABD【解析】由圖可知，則，故A正確.因為，所以，即.因為，所以，則B正確.令，解得，此時單調遞增；令，解得，此時單調遞減.由，得在上單調遞減，在上單調遞增，則C錯誤.因為，所以.令，，得，.當時，，則的圖象關于直線對稱，故D正確.故選：ABD.考點六三家函數的綜合運用【例6】（2023秋·湖南常德）已知函數.(1)當時，求的最大值和最小值，以及相應的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)，，時，.(2)【解析】（1）∵，∴，當即時，，此時當即時，，此時.（2）∵，∴，∵，∴，∴，【一隅三反】1．（2023秋·山東煙臺）已知函數，．(1)若函數的圖象關于直線對稱，求的最小值；(2)若函數在上有零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1），由，，解得，，即函數的對稱軸為，．∵的圖象關于直線對稱，∴當時，有最小值．（2）若函數在上有零點，即在上有解，即在上有解，當，，即，，由，解得，故實數的取值范圍是．2．（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習）已知函數，將的圖象各點橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，然后再將所得函數圖象向左平移個單位后得到函數的圖象.(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有兩個解，求實數n的取值范圍；(3)實數m滿足對任意，都存在，使得成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）已知函數，將的圖象各點橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，可得函數的圖象，再將所得函數圖象向左平移個單位后可得到函數.∴的解析式為.（2）方程在上有且只有兩個解，轉化為函數與函數在上有且只有兩個交點.在上的圖象如圖所示，

則在單調遞增且取值范圍是，在單調遞減且取值范圍是，由圖象可知，函數與函數有且只有兩個交點，所以，解得，即實數的取值范圍為.（3）由（1）知.實數m滿足對任意，都存在，使成立，所以對任意，恒成立，即對任意，恒成立，令，設，則，∵，且為增函數，∴，可得在上恒成立.令，，則的最大值，又因為的開口向上，，所以，所以，解得，綜述，m的取值范圍是.3．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學校考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式及對稱中心；(2)若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數的圖象.求函數在上的值域.【答案】(1)；，(2)【解析】（1）由的部分圖象可知，，可得，所以，，所以，由于，所以，所以函數的解析式為.，∴，故對稱中心為，.（2）若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，再把后者圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數的圖象.當時，，，所以.所以函數在區間上的值域為.4．（2023春·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知函數(，).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數存在且唯一確定.條件①：；

條件②：為偶函數；條件③：的最大值為1；

條件④：圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數圖像上各點橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖像向左平移個單位，得到函數的圖像，若，求；(3)若是函數的一個零點，求的最小值.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)選擇條件①④，；選擇條件③④：(2)(3)【解析】（1）因為，不是函數的最值，所以函數不是偶函數，故不能選擇條件②，選擇條件①④：因為函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以..因為，所以.故.選擇條件③④：因為函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以..因為函數的最大值為1，所以.故;選擇條件①③條件③能確定，條件①，得，且，不能確定的值，所以也不能確定函數的解析式.（2）由已知，，即，所以．（3）因為是函數的一個零點，由，可得，