第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省湛江市雷州市高三（上）月考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|12<2x<32}，A.(?2,1) B.(?1,2) C.? D.(?2,5)2.命題“?x∈(?∞,1)，x3+2x?1<0”的否定是(

)A.?x∈[1,+∞)，x3+2x?1≥0 B.?x∈(?∞,1)，x3+2x?1≥0

C.?x∈[1,+∞)，x33.已知直線l過點(m,3)和(3,2)，且在x軸上的截距是1，則實數m等于(

)A.1 B.2 C.3 D.44.函數f(x)=lg(x+1)?1xA.0 B.1 C.2 D.35.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M為BC中點，點NA.?12a?23b+16.函數結構是值得關注的對象.為了研究y=xx(x>0)的結構，兩邊取對數，可得lny=lnxx，即

lny=xlnx，兩邊取指數，得eA.1 B.e C.e?1e7.常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為T(單位：天)，鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為T1，T2.開始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發現乙的質量為甲的質量的14，則T1，A.?2+512T1=512T2 B.8.在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，b>a.將?ACD沿著AC翻折，使D點在平面ABC上的投影E恰好在直線AB上，則此時二面角B?AC?D的余弦值為(

)A.a2b2 B.ab C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數)，則下列說法正確的是A.f(b)=?3 B.f(?3)=13

C.f(x)在(?∞,0)上是單調減函數 D.函數f(x)僅有一個零點10.已知e是自然對數的底數，e≈2.71828?，函數f(x)=a(1e)|x|+b的圖象經過原點，且無限接近直線A.a=e B.f(x)的值域為[0,e)

C.f(x)在區間(0,+∞)上單調遞減 D.f(11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E，F分別為棱AB，ADA.無論λ取何值，三棱錐C?EFG的體積始終為1

B.若λ=24，則EG?BD1=2+2

C.點D1到平面EFG的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數f(x)=a?b2x?b(b>0)13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若2a814.設x?y+1=0，求d=x2+y四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情。經研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是θ1℃，室溫是θ0℃，那么tmin后茶水的溫度θ(單位：℃)，可由公式θ(t)=θ0+(θ1?θ0t(012345θ(℃)85.0079.1974.7571.1968.1965.00(1)請你利用表中的一組數據t=5，θ=65.00，求k的值，并求出此時θ(t)的解析式(計算結果四舍五入精確到0.01)?;(2)在25℃室溫環境下，王大爺用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水溫度降至55℃時再飲用，根據(1)的結果，王大爺要等待多長時間?(計算結果四舍五入精確到1分鐘)．

參考數據：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然對數的底數，16.(本小題15分)

已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=3，Sn=an+n2?1．

(1)17.(本小題15分)

三棱臺ABC?A1B1C1中，AB=2A1B1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=3，BC=2，BB1=1，AE=2EB，A1C18.(本小題17分)已知直線l1:mx?y+m=0，l2:x+my?m(m+1)=0，l3:(m+1)x?y+(m+1)=0，記(1)當m=2時，求原點關于直線l1(2)求證：不論m為何值，ΔABC總有一個頂點為定點；(3)求ΔABC面積的取值范圍.?(可直接利用對勾函數的單調性)19.(本小題17分)

已知函數f(x)=ln(1+eax)?bx是偶函數，e是自然對數的底數，e≈2.71828?

(1)求a2+b2?2a+1的最小值；

(2)當b=1時，

(i)令g(x)=f(1?x)+f(1+x)，x∈[?1,1]，求g(x)的值域；

(ii)記i=1na參考答案1.D

2.D

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.BD

11.AB

12.1213.44

14.29315.解：(1)∵θ=θ0+(θ1?θ0)e?kt，

且當θ1=60℃，θ0=25℃，

t=5min時，θ=65℃，

∴65=25+(85?25)e?5k，∴e?5k=23，

∴k=?15ln216.解：(1)因為Sn=an+n2?1，

所以當n≥2時，Sn?1=an?1+(n?1)2?1，

兩式相減得：an=an?an?1+2n?1，即an?1=2n?1，

所以an=2n+1，且17.(Ⅰ)證明：因為AB=2A1B1，

所以由三棱臺的性質知，AC=2A1C1，且AC/?/A1C1，

所以△ACD∽△C1A1D，

所以ADDC1=ACA1C1=2，即AD=2DC1，

因為AE=2EB，

所以DE//C1B，

又DE?平面A1BC1，C1B?平面A1BC1，

所以DE/?/平面A1BC1．

(Ⅱ)解：因為平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC?平面ABC，

所以BC⊥平面AA1B1B，

因為BB1?平面AA1B1B，所以BC⊥BB1，

又AC⊥BB1，BC∩AC=C，BC、AC?平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因為AB?平面ABC，所以BB1⊥AB，

故AB，BC，BB1兩兩垂直，

以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

18.解：(1)當m=2時，直線l1

的方程為：2x?y+2=0，且斜率k1=2，

設原點關于直線l1

的對稱點為

(x0,y0)，則由斜率與中點坐標公式列方程得：y0x0=?122×x02?y02+2=0,

解得：x0=?85y0=45，故所求點的坐標為(?85,45)．

(2)∵直線l1:mx?y+m=0?m(x+1)?y=0，恒過點(?1,0)．

l3:(m+1)x?y+(m+1)=0?(m+1)(x+1)?y=0，恒過點(?1,0)．

故ΔABC總有一個頂點為定點(?1,0)．

(3)由條件可得l1與l2垂直，所以角C為直角，

所以S=12AC·BC，

|BC|等于點B到l1的距離，

由l2,l3的方程聯立可得19.解：(1)函數f(x)的定義域為R，∵f(x)是偶函數，

∴f(x)=f(?x)，即ln(1+eax)?bx=ln(1+e?ax)+bx，

即：2bx=ln(1+eax)?ln(1+e?ax)=ax上式對任意x∈R恒成立，這等價于2b=a，

a2+b2?2a+1=4b2+b2?4b+1=5b2?4b+1=5(b?25)2+15≥15，等號成立當且僅當b=25，a=45，

∴a2+b2?2a+1的最小值為55．

(2)(ⅰ)由(1)可得：a=2，由于g(x)=f(1?x)+f(1+x)，x∈[?1,1]為偶函數，

故只需考慮x∈[0,1]時，g(x)的值域，

g(x)=f(1?x)+f(1+x)

=ln(1+e2(1?x))?(1?x)+ln(1+e2(1+x))?(1+x)

=ln[(1+e2(1?x))(1+e2(1+x))]?2

=ln[1+e4+e2(e2x+e?2x)]?2，

令φ(x)=e2x+e?2x，x∈[0,1]，φ′(x)=2(e2x?e?2x)，顯然φ′(x)為增函數，

∴φ′(x)≥φ′(0)=0，

∴φ(x)在[0,1]上單調遞增，

∴g(x)在[0,1]上單調遞增，

∵g(0)=ln(e4+2e2+1)?2=2ln(e2+1)?2，g(1)=ln2(e4+1)?2，

∴g(x)的值域為[2ln(e2+1)?2,[ln2(e4+1)]?2]．

(ⅱ)對于常數c，令g(x)=f(c?x)+f(c+x)，g(x)為偶函數，

下面先證明一個結論：g(x)在[0,+∞)上單調遞增，

證明：g(x)=ln(1+e2(c?x))?(c?x)+ln(1+e2(c+x))?(c+x)

=ln[1+e4c+e2c(e2x+e?2x)]?2c．

由(2)可得：y=e2x+e?2x為偶函數，在[0,+∞)上