Page拉格朗日中值定理在導數中的應用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的載體內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數解決函數基本問題2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義3能運用拉格朗日中值定理解題【命題預測】近幾年，以高等數學為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關導數的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現高觀點解題的好處，需學生靈活學習知識講解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導．則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數．顯然，當時，．考點一、拉格朗日中值定理的認知及簡單應用1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內容是：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，那么在區(qū)間內至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點”，根據這個定理，判斷函數在區(qū)間上的“拉格朗日中值點”的個數為.2．（2024高三上·全國·專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一個點，使得稱為函數在閉區(qū)間上的中值點，若關于函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為m，函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為n，則有（

）（參考數據：.）A．1 B．2 C．0 D．3．（2024高三上·全國·專題練習）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質證明：函數圖象上任意兩點的連線斜率不小于．1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數滿足如下條件．（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導則在開區(qū)間上至少存在一點ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”．2．（2024·河北衡水·三模）已知．(1)求的單調區(qū)間和最值；(2)定理：若函數在上可導，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：若，求證：．3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內容如下:如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，導數為，那么在開區(qū)間內至少存在一點，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.已知函數.(1)若，求函數在上的“拉格朗日中值點”；(2)若，求證:函數在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.考點二、拉格朗日中值定理在導數中的綜合應用設,求證:當時,對任意,有設,當時,若對任意的成立,求的取值范圍設,若對任意,都有,求的范圍1．（2024·天津·高考真題）設函數．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2024·山東濟寧·一模）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數，使得成立；(3)設，，數列的前項和為．證明：．3．（高三上·遼寧撫順·階段練習）已知函數.（1）求函數的最大值；（2）設,證明.1．（2022高三·全國·專題練習）已知函數．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，證明：對任意，，．2．（21-22高二下·廣東深圳·期中）已知函數，.(1)討論的單調性；(2)任取兩個正數，當時，求證：.3．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數(1)討論函數的單調性；(2)若有兩個極值點，證明：4．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知函數.(1)試判斷函數的單調性；(2)已知函數，若有且只有兩個極值點，且，證明：.5．（2022·全國·模擬預測）已知函數（其中為自然對數的底數）.(1)討論函數的單調性；(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.6．（2023·山東淄博·二模）已知函數，.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若，是函數的兩個極值點，且，求證：.7．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數，其中.(1)當時，求的極值；(2)當，時，證明：.8．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知函數，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調區(qū)間；(3)設是函數的兩個極值點，證明：．9．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數.(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若，，且有兩個極值點，分別為和，求的最大值.10．（2022高三·全國·專題練習）已知函數，的導函數是．對任意兩個不相等的正數、，證明：(1)當時，；(2)當時，．11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函數（為常數）(1)討論的單調性(2)若函數存在兩個極值點，且，求的范圍.12．（22-23高二下·河南洛陽·期末）已知函數（a為常數）．(1)若函數是增函數，求a的取值范圍；(2)設函數的兩個極值點分別為，（），求的范圍．13．（2023·湖南常德·一模）已知函數（）.(1)討論函數的單調性；(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.14．（21-22高二下·天津·期中）已知函數(1)若，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；(2)當時，討論f（x）的單調性；(3)設f（x）存在兩個極值點且，若求證：.15．（2023·天津河西·模擬預測）已知函數.(1)若函數為增函數，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.16．（2024·全國·模擬預測）已知函數，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調區(qū)間．(2)如圖，若函數的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質證明：函數圖像上任意兩點的連線斜率不大于．17．（2024·湖北襄陽·三模）柯西中值定理是數學的基本定理之一，在高等數學中有著廣泛的應用.定理內容為：設函數f(x)，g(x)滿足:①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內可導;③對，，則，使得.特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.(1)設函數滿足，其導函數在上單調遞增，證明：函數在上為增函數.(2)若且，不等式恒成立，求實數的取值范圍.18．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，其內容為：如果函數在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內的導數為，那么在區(qū)間內存在點，使得成立．設，其中為自然對數的底數，．易知，在實數集上有唯一零點，且．(1)證明：當時，；(2)從圖形上看，函數的零點就是函數的圖象與軸交點的橫坐標．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復以上過程，得的近似值序列．①當時，證明：；②根據①的結論，運用數學歸納法可以證得：為遞減數列，且．請以此為前提條件，證明：．19．（23-24高二下·重慶·期中）柯西中值定理是數學的基本定理之一，在高等數學中有著廣泛的應用．定理內容為：設函數，滿足①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內可導；③對，．則，使得．特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理．(1)設函數滿足，其導函數在上單調遞增，判斷函數在的單調性并證明；(2)若且，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)若，求證：．20．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數、，的圖象在處的切線與軸平行．(1)求，的關系式并求的單調減區(qū)間；(2)證明：對任意實數，關于的方程：在,恒有實數解；(3)結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數，且在區(qū)間內導數都存在，則在內至少存在一點，使得．如我們所學過的指、對數