四

漸開線與擺線1.借助教具或計算機軟件,觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡(漸開線),了解平擺線和漸開線的生成過程,并能推導出它們的參數方程.2.通過閱讀材料,了解其他擺線(外擺線、內擺線)的生成過程;了解擺線在實際應用中的實例.1.漸開線的產生過程把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切而逐漸展開,那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線,相應的定圓叫做漸開線的基圓.2.擺線的概念及產生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時,圓周上一個定點的軌跡,圓的擺線又叫旋輪線.【做一做1】

關于漸開線和擺線的敘述,正確的是(

)A.只有圓才有漸開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣,所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對于同一個圓,如果建立的平面直角坐標系的位置不同,那么畫出的漸開線的形狀就不同解析:不僅圓有漸開線,其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線;漸開線和擺線的實質是完全不一樣的,因此得出的圖形也不相同;對于同一個圓不論在什么位置建立平面直角坐標系,畫出圖形的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同.答案:C3.圓的漸開線和擺線的參數方程

【做一做2-1】

半徑為4的圓的漸開線的參數方程是

.

在圓的漸開線和擺線的參數方程中,參數φ的幾何意義剖析根據漸開線的定義和推導參數方程的過程,可知其中的字母r是指基圓的半徑,而參數φ是指繩子外端運動時繩子與基圓的切點B轉過的角度,如圖,其中的∠AOB即是角φ.顯然點M由參數φ唯一確定.在我們解決有關問題時可以適當利用其幾何意義,把點的坐標轉化為與三角函數有關的問題,使求解過程更加簡單.同樣,根據圓的擺線的定義和建立參數方程的過程,可知其中的字母r是指定圓的半徑,參數φ是指圓上定點相對于定直線與圓的切點所張開的角度.參數的幾何意義可以在解決問題中加以引用,簡化運算過程.題型一題型二題型三圓的漸開線的參數方程及應用【例1】

已知圓的直徑為2,其漸開線的標準參數方程對應的曲線上兩點A,B對應的參數分別分析:先寫出圓的漸開線的參數方程,再把點A,B對應的參數分別代入參數方程可得A,B兩點的坐標,然后使用兩點之間的距離公式可得點A,B之間的距離.解:根據題意可知圓的半徑是1,所以其對應漸開線的參數方程是題型一題型二題型三反思由圓的半徑準確寫出對應的漸開線的參數方程是解題的關鍵.題型一題型二題型三【變式訓練1】

有一標準的漸開線齒輪,齒輪的齒廓線對應的基圓直徑為32mm,求齒廓線對應的參數方程.解:因為基圓的直徑為32

mm,所以基圓的半徑為16

mm,因此齒廓線對應的參數方程為題型一題型二題型三圓的擺線的參數方程及應用【例2】

已知一個圓的擺線過一定點(2,0),請寫出該圓半徑最大時擺線的參數方程以及對應的漸開線的參數方程.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三易錯辨析易錯點:考慮不全面而致錯【例3】

已知一個圓的擺線過定點(1,0),請寫出該擺線的參數方程.錯解在擺線的參數方程中,令r(1-cos

φ)=0可得cos

φ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-s