學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精預習導航課程目標學習脈絡1．了解圓內接四邊形的概念，掌握圓內接四邊形的性質定理及其應用．2．理解圓內接四邊形的判定定理及其推論，并能解決有關問題．3．了解反證法在證明問題中的應用。1．性質定理1文字語言圓的內接四邊形的對角互補符號語言若四邊形ABCD內接于圓O,則有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°圖形語言作用證明兩個角互補2．性質定理2文字語言圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角符號語言四邊形ABCD內接于⊙O,E為AB延長線上一點，則有∠CBE＝∠ADC圖形語言作用證明兩個角相等總結(1）利用這兩個性質定理,可以借助圓變換角的位置,得到角的相等關系或互補關系,再進行其他的計算或證明．（2）利用這兩個定理可以得出一些重要結論，如內接于圓的平行四邊形是矩形；內接于圓的菱形是正方形；內接于圓的梯形是等腰梯形等．3．圓內接四邊形判定定理文字語言如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓符號語言在四邊形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么A，B，C，D四點共圓圖形語言作用證明四點共圓4．推論文字語言如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓符號語言在四邊形ABCD中，延長AB到E,若∠CBE＝∠ADC，則A,B，C，D四點共圓圖形語言作用證明四點共圓歸納總結性質定理1和判定定理互為逆定理，性質定理2和判定定理的推論互為逆定理．思考1圓內接四邊形判定定理的證明思路是什么？提示：要證明四邊形ABCD內接于圓，就是要證明A，B,C,D四點在同一個圓上．根據我們的經驗，若能證明這四個點到一個定點的距離相等即可．但是這個定點一時還找不出來．不過,對于不在同一條直線上的三點來說，總可以確定一個圓．因此我們可以先經過A，B，C，D中的任意三個點,譬如A，B，C三點作一個圓，再證明第四個點D也在這個圓上就可以了．但是直接證明點D在圓上很困難，所以我們采用反證法證明,也就是假設點D不在圓上，經過推理論證，得出錯誤的結論，這就說明點D不在圓上是錯誤的，因此點D只能在圓上．由于點D不在圓上時，可能出現點D在圓外和點D在圓內兩種情況，所以應分別加以證明，下面先討論點D在圓內的情況．假設點D在圓內，若作出對角線BD，設BD和圓交于點D′.連接AD′,CD′，則ABCD′為圓內接四邊形(如圖）,則∠ABC＋∠AD′C＝180°。另一方面，因為∠ADB，∠BDC分別是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C<∠BDC,于是有∠AD′C〈∠ADC。因為已知∠ABC＋∠ADC＝180°,所以∠ABC＋∠AD′C<180°，這與圓內接四邊形的性質定理矛盾．因此可證點D不能在圓內．用類似的方法也可以證明點D不能在圓外．因此點D在圓上，即四邊形ABCD內接于圓．思考2判定四點共圓的方法有哪些?提示：(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓．(2）如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓．（3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．（4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個三角形的四個頂點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等)．溫馨提示反證法是一種間接證法,它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后從這個假設出發，經過正確的推理,導出矛盾，從而否定假設，達到肯定原命題正確的一種方法．用反證法證明一個命題的步驟為:(1）反設，(2)歸謬，(3）結論．反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表達形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n－1）個；至多有一個/至少有兩個等．歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程