學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.2一次函數和二次函數自主整理1。一次函數(1）定義:函數y=kx+b（k≠0)叫做一次函數，又叫線性函數；它的定義域為R，值域為R.(2)性質：①函數的改變量y2—y1與自變量的改變量x2-x1的比值等于常數k；k的大小表示直線與x軸的傾斜程度;②當k>0時，一次函數為增函數，當k<0時，一次函數為減函數；③當b=0時，一次函數為正比例函數，是奇函數；當b≠0時,一次函數既不是奇函數也不是偶函數;④直線y=kx+b（k≠0）與x軸的交點為（，0）,與y軸的交點為(0，b)。2.二次函數(1)定義:函數y=ax2+bx+c(a≠0）叫做二次函數，它的定義域為R。(2)性質:①函數的圖象是一條拋物線,它的頂點坐標為(,)，它的對稱軸為x=.②當a〉0時,拋物線開口向上，函數在x=處取得最小值,在區間（—∞,]上是減函數，在區間［，+∞）上是增函數。③當a<0時，拋物線開口向下，函數在x=處取得最大值，在區間[，+∞）上是減函數，在區間(-∞，］上是增函數.④當二次函數圖象的對稱軸與y軸重合即b=0時二次函數為偶函數，否則既不是奇函數也不是偶函數.⑤在y=ax2(a≠0)中,若a〉0，a越大，拋物線的開口越小，a越小，拋物線的開口越大;反之,若a<0,a越大，拋物線的開口越大，a越小，拋物線的開口越小.總之，y=ax2（a≠0)中，若｜a｜越大，拋物線的開口越小，|a|越小,拋物線的開口越大.（3）三種形式:①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0),其中a是開口方向與大小，c是y軸上的截距,而是對稱軸.②頂點式（配方式)：f(x)=a（x—h）2+k(a≠0）,其中(h，k）是拋物線的頂點坐標.h=,k=.③兩根式(因式分解）：f（x)=a（x-x1）(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標.3。待定系數法如果知道一個函數的一般形式,可先把所求函數寫為一般形式,其中系數待定，然后再根據題設條件求出這些待定系數，這種通過求待定系數來確定變量之間關系式的方法稱為待定系數法。高手筆記1。常數函數是較為特殊的函數，原因在于在函數解析式y=b中沒有出現自變量x。其實常數函數就是一個多對一的映射.注意:當a=0時,函數y=ax2=0是一個常數函數,其圖象即為x軸.2。式子x=a（a是一固定常數）雖然含有x，但不能稱其為函數，原因在于一個x對應無窮多個y，不符合函數的定義,應將其與y=b區別開來。3.二次函數是重要的基礎函數,必須作為重點內容來掌握。應從解析式、定義域、值域、圖象、單調性、奇偶性幾個方面的內容進行把握.4。解決二次函數的問題一定要牢牢樹立數形結合的思想，通過對函數圖象的分析尋找解決問題的思路和分類討論的依據。名師解惑1。如何認識與理解常數函數？剖析：要全面認識一個函數,主要從解析式、定義域、值域、單調性、奇偶性等五個方面來認識,對于常數函數：解析式：當k=0時,y=kx+b就變成了y=b，這就是常數函數的解析式,其中b是某一固定常數。這個解析式的特點在于沒有出現自變量x,這也是許多同學對常數函數感到難于理解的原因.定義域：自變量x可以取任意實數.解析式中沒有出現x，說明解析式對x沒有要求,可以取任意實數。值域：常數函數的值域為｛b}。常數函數只有一個函數值b,就是說不論自變量怎么取值，都對應同一個函數值b.圖象:因為不論自變量x取什么值都對應一個函數值b，所以函數圖象是平行于x軸的水平直線(特殊情況是x軸）。單調性:因為函數值是固定的常數b，沒有增減變化,函數圖象也是一條水平的直線，沒有起伏變化，所以常數函數在定義域上沒有單調性.奇偶性:定義域為R，并且f(—x)=f(x）=b,所以一定是偶函數.如果b=0則既是奇函數又是偶函數。2.如何由函數y=x2的圖象變化得到函數y=a·x2(a≠0）的圖象？又如何由函數y=ax2(a≠0）的圖象變化得到y=a（x+h)2+k（a≠0)的圖象？再如何由函數y=ax2（a≠0）的圖象得到函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象？剖析：（1）二次函數y=a·x2（a≠0)的圖象可由y=x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到，而橫坐標保持不變。（2）二次函數y=a(x+h）2+k（a≠0)可由y=ax2(a≠0）的圖象向左（或向右)平移｜h｜個單位，再向上（或下)平移|k|個單位得到.（3）要得到二次函數y=ax2+bx+c(a≠0）的圖象，先將其化為y=a（x+h）2+k(a≠0)的形式,再通過y=ax2（a≠0）的圖象上下左右平移得到.3.二次函數的性質常見有哪些綜合應用？剖析:（1）關于對稱軸問題:若二次函數f(x)滿足f(t+x)=f（t-x),則f（x)關于直線x=t對稱,這一性質對于一般函數也適用.(2）關于二次函數在閉區間上的最值的問題:當a>0時,f(x）在區間[p，q］上的最大值為M,最小值為m，令x0=（p+q)。若<p，則f（p)=m，f(q）=M；若p≤〈x0,則f（)=m,f（q）=M;若x0≤〈q,則f(p）=M，f()=m；若≥q，則f(p）=M，f（q）=m。(3)關于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布問題：①方程f（x）=0的兩根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0.②二次方程f(x）=0的兩根都大于r③二次方程f(x)=0在區間(p,q)內有兩根講練互動【例題1】方程ax—by+c=0(ab≠0)所對應的一次函數，當a、b滿足什么條件時函數為減函數？分析：首先將直線的方程化為一次函數y=kx+b的形式，然后根據k>0時函數為增函數，k〈0時函數為減函數，進而求得a、b所滿足的條件，即ab<0。解：把ax-by+c=0整理,得y=x+,要使得一次函數為減函數，則<0，即只要a、b異號就可以了。綠色通道處理一次函數問題常把解析式整理成標準形式,然后再求解.變式訓練1.直線mx+（m-2)y=3(m≠2,m≠0）所對應的一次函數,當函數為增函數時m滿足的條件是(）A。0<mB。m<2C.0<m〈2解析：把mx+（m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函數為增函數，則>0，即只要-m、m-2同號就可以了,所以易得0<m〈2.答案：C【例題2】已知二次函數f（x)=ax2+(2a—1）x+1在區間［,2］上的最大值為3，求實數a的值.分析：這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分a>0與a〈0兩大類五種情形討論，過程煩瑣不堪.若注意到f（x)的最值總是在閉區間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數值，再檢驗其真假,過程簡明。解：(1）令f（）=3,得a=.此時拋物線開口向下，對稱軸為x=-2，且-2[,2］，故a=不合題意。(2)令f（2）=3,得a=，此時拋物線開口向上，對稱軸為x=0,閉區間的右端點2距離對稱軸遠些,故a=符合題意.(3）若f()=3,得a=，此時拋物線開口向下,對稱軸為x=，閉區間為單調減區間，所以a=-符合題意。綜上，a=或a=.綠色通道本題利用特殊值檢驗法，先計算特殊點(閉區間的端點、拋物線的頂點）的函數值，再檢驗其真假，思路明了、過程簡潔，是解決逆向型閉區間二次函數最值問題的一種有效方法。變式訓練2.二次函數y=x2+2ax-3,x∈［1,2］,試求函數的最小值.分析：首先觀察到函數圖象過（0，—3），再考慮對稱軸的位置,由于對稱軸在不同的位置會出現不同的結果，所以需要分三種情況討論。解：y=x2+2ax-3=(x+a）2—a2—3，當—a∈（2，+∞），即a<—2時，此時函數在[1，2］上為減函數，故此時的最小值為f(2）=4a+1；當—a∈（—∞，1)，即a〉-1時,函數的最小值為f(1)=2a-2；當-a∈[1,2]，即—2≤a≤—1時,函數的最小值為f(-a）=—a2-3.【例題3】已知二次函數的圖象過(0,1）、（2,4）、(3，10）三點,求這個二次函數的解析式.分析:已知是二次函數,且知三個點的坐標,所以可以先設出二次函數的解析式,用待定系數法求得.解：根據題意設這個二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0),然后將圖象所經過的三個點的坐標分別帶入方程，聯立三個方程,得解得故f（x）=x2x+1。綠色通道使用待定系數法解題的基本步驟是第一步,設出含有待定系數的解析式;第二步，根據恒等的條件,列出含待定系數的方程或方程組；第三步，解方程或方程組解出待定系數,使問題得到解決。變式訓練3.若f（x)為一次函數,且滿足f［f(x)]=1+2x，則f（x）的解析式為______.解析：已知f（x）為一次函數，可以使用待定系數法。設f（x）=kx+b,則f［f（x）］=f（kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，利用對應系數相等即可求得k=,b=-1或k=2,b=-1。答案：f(x)=x-1或f（x）=x+—14.（2007黃岡第一次高三診斷試卷,17）已知二次函數f（x）滿足條件f（0)=1，及f(x+1）—f（x)=2x.（1)求f（x)的解析式;(2）求f（x）在[-1,1]上的最值。分析：本題求函數解析式的基本方法仍然是待定系數法,但確定待定系數的方法是根據代數式恒等對應項系數相等來確定的。求函數在給定區間上的最值時，要注意對稱軸的位置。解：(1）由f(0)=1，可設f(x)=ax2+bx+1。則由f（x+1）-f（x）=2x,可得2ax+a+b=2x。∴a=1,a+b=0，即b=-1。∴f（x）=x2-x+1。（2)∵f（x）=x2—x+1=(x）2+,又x∈［—1，1］，∴當x=時有最小值，x=—1時有最大值3。【例題4】二次函數f（x）=ax2+bx+c,a∈N＊,c≥1,a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有兩個小于1的不等正根,則a的最小值為(）A.2B。3C。4解析：由題意有由于方程有兩個小于1的不等正根，畫圖可知0〈〈1，即b2<4a2.∴4ac〈b2<4a2,即a（a-c)〉0。又a∈N*，且c≥1，∴a的最小值為2。答案：A綠色通道一般地，一元二次方程根的分布情況問題往往從三個角度加以考慮:Δ的符號,對稱軸是否在區間內，端點函數值的正負。變式訓練5.已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區間(-1，0）內,另一根在區間(1,2)內,求m的范圍。分析：二次方程根的問題實質上是討論二次函數的圖象與x軸交點與坐標原點的位置關系的問題,因此,理解交點及二次函數系數(a——開口方向，a、b—-對稱軸,c——圖象與y軸的交點)的幾何意義，掌握二次函數圖象的特點,是解決此類問題的關鍵。解：條件說明拋物線f（x）=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間（—1,0)和(1,2)內,畫出示意圖，得∴<m<.教材鏈接1.[探索與研究]設一次函數y=5x—3，取一系列的x值,使得每一個x值總是比前一個大2,然后計算對應的y值，這一系列的函數值之間有什么關系？對任意一個一次函數都有類似的性質嗎？答:對于一次函數y=5x—3,取一系列的x的值總是比前一個大2時，則有與之對應的每一個y的值總是比前一個大10；對任意一個一次函數y=kx+b(k〉0）,若取一系列的x的值總是比前一個大m時(m為正整數)，則有與之對應的每一個y的值總是比前一個大mk。2.［探索與研究］結合課件1207,對一次函數的性質進行探索。答：注意強調一次函數定義中的一次項系數k≠0這一條件，當k=0時,函數為y=b，它不再是一次函數,它的圖象是一條與x軸平行的直線,通常稱為常值函數。函數值的改變量y2—y1與自變量的改變量x2-x1的比值,稱作函數x1到x2之間的平均變化率,對一次函數來說它是一個常數，等于這條直線的斜率.一次函數y=kx+b（k≠0)的單調性與一次項系數的正負有關,當k〉0時,函數為增函數,當k〈0時，函數為減函數.理由如下：設x1、x2是任意兩個不相等的實數,且x1〈x2，則Δx=x2—x1>0，所以Δy=f(x2)-f(x1）=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2—x1)=kΔx.當k>0時，kΔx〉0，所以Δy〉0，所以f(x)在R上是增函數;當k〈0時,同理可證f（x）在R上是減函數.要準確地作出一次函數的圖象，只要找準圖象上的兩個點即可，這兩個點通常是找圖象與坐標軸的交點.3.［探索與研究］在同一坐標系中,作函數y=x2,y=（x+1）2，y=(x-1）2,y=x2+1,y=x2—1的圖象,研究它們的圖象之間的關系。答：列表:x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=(x+1)2…41014916…y=(x—1）2…16941014…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830—1038…在同一坐標系中畫出這五個圖，如圖2—2-1所示：圖2-2-1通過圖象,可知后四個圖象都可以由y=x2通過左右上下平移得到,y=（x+1)2由y=x2向左平移一個單位得到；y=（x-1）2由y=x2向右平移一個單位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一個單位得到，y=x2—1由y=x2向下平移一個單位得到。4.［探索與研究］二次函數y=ax2+bx