學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精§1平面直角坐標系1。1平面直角坐標系與曲線方程1．通過回顧平面直角坐標系,體會借助坐標系研究曲線和方程的關系．2．了解曲線和方程的對應關系，了解兩條曲線交點的求法．3．能利用已知條件求出曲線方程．1．平面直角坐標系（1)在平面內兩條互相垂直的數軸構成了平面直角坐標系，如圖所示．在平面直角坐標系中，有序實數對與坐標平面內的點具有________關系,如圖，有序實數對(x，y)與點P相對應,這時(x，y)稱作點P的________，并記為P(x，y)，其中,x稱為點P的橫坐標，y稱為點P的縱坐標．（2）曲線可看做是滿足某些條件的點的____或____，由此我們可借助坐標系，研究曲線與方程間的關系．(1)建立平面直角坐標系的意義：平面圖形都是二維圖形，建立直角坐標系就能準確表示一個點所處的位置．(2)水平軸為x軸，垂直軸為y軸，x軸、y軸統稱為坐標軸．在x，y軸上，單位長度一般相同．【做一做1－1】已知點P(－1＋2m，－3－m）在第三象限，則m的取值范圍是__________．【做一做1－2】已知點A（－1，3)，B（3，1)，點C在坐標軸上，∠ACB＝90°，則滿足條件的點C的個數是（）．A．1B．2C．3D．42．曲線與方程在平面直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y）＝0的實數解建立了如下關系：(1)曲線C上的________都是方程f(x，y)＝0的解;（2)以方程f（x,y)＝0的________的點都在曲線C上．那么，方程f(x,y)＝0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y）＝0的曲線．【做一做2】已知B，C是兩個定點，|BC|＝6，且△ABC的周長為16,頂點A的軌跡方程是（)．A．eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,25)＝1（y≠0)B．eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，16)＝1(y≠0）C．eq\f（x2，16）＋eq\f（y2,25）＝1(x≠0）D．eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,16)＝1(x≠0）1．建立直角坐標系的作用剖析:坐標系是現代數學中的重要內容，它在數學發展的歷史上，起過劃時代的作用．坐標系的創建，在代數和幾何之間架起了一座橋梁．利用坐標系，我們可以方便地用代數的方法確定平面內一個點的位置,也可以方便地確定空間內一個點的位置．它使幾何概念得以用代數的方法來描述，幾何圖形可以通過代數形式來表達，這樣便可將抽象的代數方程用形象的幾何圖形表示出來，又可將先進的代數方法應用于幾何學的研究．2．建立適當的坐標系的一些規則剖析：(1)如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標原點;（2）如果圖形有對稱軸,可以選擇對稱軸為坐標軸；（3）使圖形上的特殊點盡可能地在坐標軸上．答案:1．（1)一一對應坐標(2)集合軌跡【做一做1－1】－3＜m＜eq\f(1，2）∵第三象限點的坐標特征是橫坐標與縱坐標均小于0,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1＋2m〈0,，－3－m<0,））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m〈\f(1，2)，，m>－3.））∴－3＜m＜eq\f（1，2）?！咀鲆蛔?－2】C若點C在x軸上，可設點C(x,0),由∠ACB＝90°，得｜AB|2＝｜AC｜2＋｜BC｜2，∴有（－1－3）2＋（3－1）2＝(x＋1）2＋32＋(x－3）2＋1，解得x1＝0，x2＝2。故點C的坐標為(0,0)或(2,0）．若點C在y軸上，可設點C為（0，y)，由∠ACB＝90°，得|AB｜2＝｜AC|2＋｜BC｜2,∴有（－1－3)2＋（3－1)2＝（0＋1)2＋（3－y)2＋(0－3）2＋（y－1)2，解之，得y1＝0，y2＝4.故點C的坐標為（0，0)或（0，4）．∴這樣的點C有（0,0）,(2，0),(0,4)共3個點．2．(1)點的坐標(2）解為坐標【做一做2】B∵△ABC的周長為16，｜BC｜＝6，∴｜AB|＋｜AC|＝10.以BC所在的直線為x軸，過BC的中點做BC的垂線為y軸,建立平面直角坐標系，則B(－3，0），C(3,0），設A（x，y）(y≠0)，則eq\r(x＋32＋y2）＋eq\r（x－32＋y2）＝10(y≠0)，化簡得頂點A的軌跡方程是eq\f(x2,25）＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．題型一利用坐標系解決代數問題【例1】已知一條長為6的線段兩端點A，B分別在x，y軸上滑動,點M在線段AB上，且AM:MB＝1:2，求動點M的軌跡方程．分析：利用平面直角坐標系，設出A，B，M三點的坐標，再利用定比分點公式表示出點M的坐標關系，即點M的軌跡方程．反思：利用點在平面直角坐標系中的關系，找到其關系式，并用代入法解出相關點的軌跡方程是常見題型．題型二利用坐標系解決幾何問題【例2】已知正△ABC的邊長為a，在平面上求一點P，使｜PA|2＋|PB｜2＋|PC|2最小，并求出此最小值．分析：此題是平面幾何最值問題，用平面幾何法不易解決，考慮用坐標法來解決．反思：(1)也可以以B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,計算也不復雜．(2)配方法是求最值的重要方法，應掌握好．題型三利用坐標系解決實際問題【例3】我海軍某部發現，一艘敵艦從離小島O正東方向80海里的B處．沿東西方向向O島駛來,指揮部立即命令在島嶼O正北方向40海里的A處的我軍艦沿直線前往攔截，以東西方向為x軸,南北方向為y軸,島嶼O為原點,建立平面直角坐標系并標出A，B兩點，若敵我兩艦行駛的速度相同,在上述坐標系中標出我軍艦最快攔住敵艦的位置,并求出該點的坐標．分析:先畫出坐標系，標出A，B的位置及坐標,根據相應的圖形結構求出攔住敵艦的位置并求出坐標．反思：利用坐標解決實際問題的關鍵是分析好題意，根據題意建立適當的平面直角坐標系或利用已有的坐標系建立相關點的關系式,從而解決實際問題．題型四易錯題型【例4】已知兩定點A,B,且｜AB｜＝4，動點M滿足：直線MA與MB斜率之積為常數－eq\f(3，4)，求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線．錯解:建立坐標系如圖，則A(－2,0），B(2，0），設M(x,y)，則kMA·kMB＝－eq\f(3，4)。代入坐標，得eq\f(y,x＋2）·eq\f（y，x－2)＝－eq\f（3，4),化簡得3x2＋4y2＝12,即eq\f(x2，4）＋eq\f(y2，3）＝1.錯因分析：(1)在解本題時沒有考慮到式子的意義,eq\f（y,x＋2），eq\f(y,x－2）中x＋2≠0,x－2≠0，即x≠±2，沒有去掉相應的兩個點．（2)沒有說明軌跡是什么曲線．反思：在利用平面直角坐標系求軌跡問題時，往往會遇到去點或去掉圖形的某一部分的情況，做這種題時要認真分析題目條件，求出準確的軌跡方程．答案：【例1】解:如圖,設A(xA,0)，B(0，yB），M（x，y)，∵|AB|＝6,∴eq\r（x\o\al(2,A)＋y\o\al（2，B))＝6，即xeq\o\al(2，A）＋yeq\o\al（2,B）＝36，①又∵AM∶MB＝1∶2,∴x＝eq\f(xA，1＋\f(1，2）），y＝eq\f(\f（1，2)yB,1＋\f(1,2))，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＝\f(3，2)x，，yB＝3y，））代入①得eq\f(9,4）x2＋9y2＝36,即x2＋4y2＝16。得動點M的軌跡方程為:x2＋4y2＝16。②【例2】解：以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系，如圖，則Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(3）,2）a))，Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a，2)，0））.設P(x,y），則｜PA｜2＋|PB|2＋|PC｜2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r（3)，2)a)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a，2）））2＋y2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（a，2)））2＋y2＝3x2＋3y2－eq\r（3）ay＋eq\f(5a2，4)＝3x2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f(\r(3),6)a））2＋a2≥a2,當且僅當x＝0，y＝eq\f(\r(3），6)a時,等號成立，∴所求最小值為a2，此時P點坐標為Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（\r(3），6)a)),它是正△ABC的中心．【例3】解：A，B兩點如圖所示，A（0，40），B（80，0),∴OA＝40（海里）,OB＝80(海里）．我軍艦直行到點C與敵艦相遇,設C（x，0）,∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x?！邤澄覂膳炈俣认嗤?，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝（80－x）2，解得x＝30。∴點C的坐標為（30,0)．【例4】正解：以AB所在直線為x軸，過AB中點且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，則A（－2，0），B（2,0），設M(x，y)，則kAM·kMB＝－eq\f（3,4），即eq\f（y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－eq\f（3，4)(x≠±2)，化簡得eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1（x≠±2）．∴點M的軌跡是除去點(±2，0）的橢圓．1已知平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別為(－1,2)，（3,0），（5，1)，則D的坐標是（）．A．(9，－1）B．（－3,1)C．（1,3）D．（2,2）2在△ABC中，B(－2,0）,C(2，0），△ABC的周長為10，則A點的軌跡方程是()．A．(y≠0）B．(y≠0）C．(x≠0）D．(x≠0)3已知△ABC的三邊a,b，c滿足b2＋c2＝5a2，BE,CF分別為邊AC,AB上的中線,則BE與CF的位置關系是__________．4選擇適當的平面直角坐標系，表示邊長為1的正六邊形的頂點．答案：1．C設D(x，y）,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1＋5＝3＋x，，2＋1＝0＋y，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1,,y＝3.））故D(1，3)．2．A∵△ABC的周長為10,∴｜AB｜＋｜AC|＋|BC｜＝10，其中|BC|＝4，即有|AB｜＋|AC｜＝6＞4，∴A點的軌跡為橢圓除去與x軸相交的兩點,且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴A點的軌跡方程為eq\f（x2,9）＋eq\f（y2,5)＝1（y≠0）．3．垂直如圖,以△ABC的頂點A為原點O，邊AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系,則A(0，0)，B（c，0），Feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（c,2），0））。設C（x，y），則Eeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x,2），\f（y,2）））,∴kBE＝－eq\f（y，2c－x）,kCF＝eq\f(2y，2x－c），由b2＋c2＝5a2，得|AC|2＋｜AB｜2＝5|BC|2，即x2＋y2＋c2＝5［(x－c）2＋y2]，整理得2y2＝(2x－c）(2c－x)，∴kBE·kCF＝eq\f（－2y2,2x－c2c－x）＝－1.∴BE與CF互相垂直．4．解：方法一：建立如圖(1）所示的平面直角坐標系，(1）則正六邊形的頂點分別為A（1,0），Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f(\r（3),2））),Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），\f（\r（3)，2)）），D（－1,0），Eeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2），－\f(\r(3）,2)）)，Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，－\f（\r（3),2））)。方法二：建立如圖(2）所示的平面直角坐標系，(2）則正六邊形的頂