考點07函數與數學模型（2種題型）

【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四.刷常考

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.填空題（共1小題）

a^x-lx<0

1.（2022?上海）若函數/（x）=1x+ax>0,為奇函數，求參數。的值為.

0x=0

二.解答題（共6小題）

2.（2023?上海）為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數"S=，，其中凡為建筑物暴露在空氣中的

V0

面模（單位：平方米），%為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個圓柱體建筑的底面三徑為R，高度為〃，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑體的

“體形系數”S；（結果用含R、”的代數式表示）

T2

（2）定義建筑物的“形狀因子”為尸上一，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義7為總建

A

筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設〃為某宿舍樓的層數，層高為3米，

則可以推導出該宿舍樓的“體形系數”為s=J率+卷.當/=18,rnioooo時，試求當該宿舍樓的層數〃為

多少時，“體形系數”5最小.

3.（2021?上海）已知一企業今年第一季度的營業額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為

0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

（1）求今年起的前20個季度的總營業額；

（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業額的18%?

4.(2020?上海)在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間，車輛密度是該

路段一定

時間內通過的車輛數除以該路段的長度，現定義交通流量為%為道路密度，g為車輛密度，交通流量v=

80.

f(x)=t100-135*(y)x,0<x<40

-k(x-40)+85,40《x480

(I：1若交通流量6>95,求道路密度x的取值范圍；

(2)已知道路密度x=8O時，測得交通流量v=50,求車輛密度9的最大值.

5.(2018?上海)某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中

的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當S中x%(OVxVIOO)的成員自駕時，自駕群體的人均通勒時間

為

'30,0<x<30

fQ)=\1800“/(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受工影響，恒為40分

2x4匕-90，30<<100

xx

鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：

(1)當X在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族S的人均通勤時間g（x）的表達式；討論g（x）的單調性，并說明其實際意義.

6.（2020?上海）有一條長為120米的步行道CM,A是垃圾投放點5,若以。為原點，為x軸正半軸建立直角

坐標系，設點8G,0）,現要建設另一座垃圾投放點32。，0）,函數/（x）表示與3點距離最近的垃圾投放點

的距離.

（1）若1=60,求啟（10）、Ro（SO）、%o（95）的值，并寫出啟（x）的函數解析式：

（2）若可以通過力（x）與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：垃圾投放點32建

在何處才能比建在中點時更加便利？

7.（2019?上海）改革開放40年，我國衛生事業取得巨大成就，衛生總費用增長了數十倍.衛生總費用包括個人現

在支出、社會支出、政府支出，如表為2012年-2015年我國衛生費用中個人現金支出、社會支出和政府支出的

費用（單位；億元）和在衛生總費用中的占比.

年份衛生總費個人現金衛生支出社會衛生支出政府衛生支出

用（億絕對數（億占衛生總費用絕對數（億占衛生總費用絕對數（億占衛生總費用

元）元）比重（%）元）比重（%）元）比重（%）

201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99

201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14

201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96

201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45

(數據來源于國家統計年鑒)

(1〕指出2012年到2015年之間我國衛生總費用中個人現金支出占比和社會支出占比的變化趨勢：

(2)設，=1表示1978年，第〃年衛生總費用與年份/之間擬合函數/(f)=3會痣？咤/研究函數/(/)

]?巳6.4421)-。all3ut

的單調性，并預測我國衛生總費用首次超過12萬億的年份.

Q二、考點清單

一.函數最值的應用

函數的最值顧名思義就是指函數在某段區間內的最大值和最小值.在口常生活中我們常常會遇到如何使成本最

低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉化為求函數的最值問題.另外，最值可分為最大值

和最小值.

這種題的關鍵是把現實的問題轉化為數學上的問題，具體的說是轉化為函數最值問題，這里面需要同學們要具

有轉化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現，所以務必引起重視.這里我們以具

體的例題來講解.

例：城關中學要建造一個長方形游泳池，其容積為480（）立方米，深為3米，如果建造池底的單價是建造池壁單價

的1.5倍，怎樣設計水池才能使總造價最低？設池壁造價為每平方米，〃元，則最低造價為多少？

解：設水池底面的長為x米，寬為4800+3X米，總造價為卜則

乂4800szi「……4800、,1600.

y=xX——X1.5m+3X2（x-t-r—）如一2400〃?+6（XH------）（6分）

3x3xx

求導可得，=6m（l-^）

X

令y'=6m（l羋2）=0,可得K=40…（11分）

X

，函數在（0,40）上單調遞增，在（40,+8）上單調遞減

???當池底長為40米,寬為池米時，總造價最低為2880加元.

這是工程上一個很常見的成本最低的句題，也很有代表性，在這個立體當中，我們要做的第一步是構建數學模型，

把求成本最低的問題轉化為求函數的最小值，這個題在構建模型的時候最關鍵的是要找到造價與底面長的美系，從

而又把造價問題轉化為關于底面長的一個函數，這也是我們常用的方法.第二步構建函數，然后運用數學方法求解，

這個是重點，求解的一般方法為基本不等式和求導判定單調性.

【高考預測】

應用題緊貼實際，很能體現學以致用，是出題老師很喜歡的一種題型，解答這種題需要考生先苦練基本功，會求一

般函數的最值；然后也具備基本的建模能力，在文字當中找到它們的內在邏輯關系，最后以函數的形式表達出來.

二.分段函數的應用

分段函數顧名思義指的是一個函數在不同的定義域內的函數表達式不一樣，有些甚至不是連續的.這個在現實

當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分

段函數.

【具體應用】

正如前面多言，分段函數與我們的實際聯系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應用題的形式出現.下面我們通

過例題來分析一下分段函數的解法.

例：市玫府為招商引資，決定對外資企業第一年產品免稅.某外資廠該年A型產品出廠價為每件60元，年銷售量

為11.8萬件.第二年，當地政府開始對該商品征收稅率為〃％（OV/Y10（）,即銷售100元要征收p元）的稅收，于

是該產品的出廠價上升為每件需七元，預計年銷售量將減少p萬件.

（I）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成〃的函數，并指出這個函數的定義域；

（II）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率〃％的范圍是多少？

（III）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則〃應為多少？

解：（I）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-〃）萬件，

年銷售收入為幽匕（11.8-p）萬元，

100-p

政府對該商品征收的稅收），=黑半〃%（萬元）

故所求函數為丁=就一（11.8-p）p

由及p>0得定義域為0<〃VU.8…（4分）

（//）由>216得_8°一（11.8-〃）p216

100-p

化簡得p2-I2p+2OWO,即（p-2）（p-10）W0,解得2WpWlO.

故當稅率在［0.02,0.1］內時，稅收不少于16萬元.…（9分）

（///）第二年，當稅收不少于16萬元時，

廠家的銷售收入為g（〃）=例”（11.8-p）（2W.W10）

100-p

Tg（P）茶？L（1L8-P）=8OO在［2,10］是減函數

100-p100-p

?'?g（〃），nax=g（2）=800（萬元）

故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大.

這個典型的例題當中，我們發現分段函數首先還是要有函數的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無

關.我們重點看看分段函數要注意的地方.第一，要明確函數的定義域和其相對的函數表達式；第二注意求的是整

個一大段的定義域內的值域還是分段函數某段內部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數的討論.

【考查預測】

修煉自己的內功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答.

三.根據實際問題選擇函數類型

1.實阮問題的函數刻畫

在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，許多聯系可以用函數刻畫.用函數的觀點看實際問題,是學習函數的

重要內容.

2.用函數模型解決實際問題

（1）我據擬合：

通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近

我們熟悉的哪一種函數圖象，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式,

再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規律，這種方法稱為數據擬合.

（2）常用到的五種函數模型：

①直線模型：?次函數模型），=履+〃（^0）,圖象增長特點是直線式上升（x的系數心>0）,通過圖象可以直觀地認

識它，特例是正比例函數模型廠如1>0）.

②反比例函數模型：（&>0）型，增長特點是），隨x的增大而減小.

x

③指數函數模型：）=4?"+。（》>0,且人H1,〃六0）,其增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越

快（底數5>1,〃>0）,常形象地稱為指數爆炸.

④對數函數模型，即>=福。gd+〃（。>0,〃?W0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大越來越慢

（底數4>1,〃1>0）.

⑤幕函數模型，即>=〃"+｝（g0）型，其中最常見的是二次函數模型：y=ad+公+C（。工0）,其特點是隨著自變

量的增大，函數值先減小后增大（?>0）.

在以上幾種函數模型的選擇與建立時，要注意函數圖象的直觀運用，分析圖象特點,分析變量x的范困，同時還要

與實際問題結合，如取整等.

3.函數建模

（1）定義：用數學思想、方法、迪解決實際問題的過程，叫作數學建模.

（2）過程：如下圖所示.

（實骯情境）

ZZEZ

（提出問題）

不

合

乎

實

際

回用結果〕

【典型例題分析】

典例I：某公司為了實現1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，

按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額），（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過

5萬元,同時獎金數額不超過利潤的25%,其中模型能符合公司的要求的是（參考數據：LOO3600弋6,57*1.945,

1"10202.302）（）

A.廠。皿艮廠"C.廠/+9"廠（

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當工日10,1000］時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；

③yWx?25%,然后一一驗證即可.

解答：辭：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：

當.隹［10,1000］時，

①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③yWK?25%=1x,

A中，函數），=0.025x,易知滿足①，但當￡>200時，），>5不滿足公司要求：

B中，函數丁=1.003工，易知滿足①，但當￡>60（）時，）>5不滿足公司要求；

C+，函數y=/+log7x,易知滿足①，當工=1000時，y取最大值/+log71000=4-37V5,且/+log7xW』x恒成立，

4

故滿足公司要求；

。中，函數易知滿足①，當％=400時，y>5不滿足公司要求；

故選。

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查方案的優化設計，解題的關鍵是一一驗證.

典例2：某服裝生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，服

裝的年銷量x萬件與年促銷1萬元之間滿足關系式3-1=上&為常數），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能

t+1

是1萬件.已知2015年生產服裝的設備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產1萬件服裝需再投入32萬元的

生產費用，若將每件服裝的售價定為：”每件生產成本的15（）%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：

（1）2015年的利潤y（萬元）關于促銷費/（萬元）的函數；

（2）該企業2015年的促銷費投入多少萬元M,企業的年利潤最人？

（注：利潤=銷售收入■生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

分析：口）通過工表示&年利潤），，井化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費/萬元的函數.

（2）根據已知代入（2）的函數，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年

利潤最大.

解答：解：（1）由題意：3?1=上.

t+1

且當/=0時，x=\.

所以4=2,所以3-x=N—,…（1分）

t+1

生產成本為32x+3,每件售價_1（咨至）琮?，…（2分）

所以，尸［2（警衛）臉］X-（物+3）-t-（3分）

^iL+50?<^>50）；―（2分）

22t+12

（2）因為且-當且僅當里即f=7時取等號，…（4分）

t+12kQt+12

所以)W50-8=42,…(1分)

答：促銷費投入7萬元時，企業的年利潤最大.…(I分)

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題

的能力，強調對知識的理解和熟練運用，考查轉化思想的應用.

【解題方法點撥】

用函數模型解決實際問題的常見類型及解法：

(1)解函數關系已知的應用題

①確定函數關系式y=/(x)中的參數，求出具體的函數解析式y=/(x)；②討論x與y的對應關系，針對具體的函

數去討論與題目有關的問題；③給出實際問題的解，即根據在函數關系的討論中所獲得的理論參數值給出答案.

(2)解函數關系未知的應用題

①閱讀理解題意

看一看可以用什么樣的函數模型，初步擬定函數類型：

②抽象函數模型

在理解問題的基礎上，把實際問題抽象為函數模型；

③研究函數模型的性質

根據函數模型，結合題目的要求，討論函數模型的有關性質，獲得函數模型的解；

④得出問題的結論

根據函數模型的解，結合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解.

四.帶絕對值的函數

I.當函數體中包含絕對值，就需要對絕對值內的部分的正負情況進行討論，因此含絕對值的函數本質上是分段函

數，往往需要先去絕對值再結合函數圖象進行研究.

2.①形如)，=/(％)|的函數，由于［f(x)|=,“f(x,)、,【二,因此研究此類函數往往結合函數圖象，可以看

-f(x),f(x)<0

成由的圖象在九軸上方部分不變，下方部分關于X軸對稱得到，例如y=*-1|的圖象如下圖：

?f（.x）=a\x-m\+b\x-n\t（m<n）的圖象是以ACm,f（m））,B（n,/（〃））為折點的折線.

當〃+。>0時，兩端向上無限延伸，故存在最小值，最小值為加〃｛/（機），/（〃））；

當〃+〃<（）時，兩端向下無限延伸,故存在最大值,最大值為（/n）,f（n）｝；

當〃+〃=0時，兩端無限延伸且平行x軸，故既有最大值又有最小值，最大值為f（n）｝：最小值為〃血｛/

而方法

一.分段函數的應用（共11小題）

1.（2023?楊浦區校級三模）設y=f（X）是定義在R上且周期為2的函數，當xe[-1,1）時，

x+a,T<x<0

=<

f（K）|_2__x?其中“cR，若￡（費）=￡得）‘則=---------------------.

5

3

—,x）0

2.（2023?崇明區二模）若函數y=<eX的圖像上點A與點B、點C與點。分別關于原點對稱，除此之

ax*12,3x<0

外，不存在函數圖像上的其它兩點關于原點對稱，則實數。的取值范圍是

sin兀x,x€[0,2]

3.（2023?嘉定區校級三模）已知函數f（x）=、，若滿足f（〃）=f（b）=f（c）

J.o§2Q23(xl1),K€(2,

（4、/?、C互不相等），則〃+/?+（:的取值范圍是（）

A.：3,2023.5)B.(3,2024)C.[3,2024)D.[3,2025)

Ilog3x|0<x<3

4.(2023?寶山區校級模擬)已知函數/(%)=\兀，若存在實數川，X2,X3,M滿足/(用)

sin(~7~x)3《x415

6

=f(X2)=f(X3)=f(X4),其中XIVrVx3〈X4,則XlxmX4取值范圍是()

A.(60,96)B.(45,72)C.(30,48)D.(15,24)

乂一1+]x>0

5.（2023?虹口區校級三模）已知函數f（x）=_____'，點M、N是函數/（x）圖像上不同的兩個點，則

1+x2,x<0

tan/MON為坐標原點）的取值范圍是

x+2,x<a

6.（2023?松江區模擬）己知函數f（x）=《，若對任意實數〃，總存在實數加，使得/（xo）=b,

x2-x-l,x）a

則實數。的取值范圍是

1-|x-1|x￡[0,2]

7.（2023?松江區校級模擬）已知函數fG）=,

實數A的取值范圍是,

3x2x40

8.（2023?普陀區校級三模）己知函數f（x）='，若/（XI）=/（X2）（X1^X2）,則K1+X2的最大值

e2x,x>0

'+1,點P,。是曲線。上任意兩個不同點，若N

9.（2023?楊浦區校級二模）已知曲線C：y=

,x>0

POQW①則稱P,Q兩點心有靈犀，若P,Q始終心有靈犀，貝！。的最小值。o的正切值tanOo=.

x-<o

10.（2023?黃浦區校級模擬）已知函數f（x）={Xx,若對任意的打日2,+8）,都存在短日-2,-1],

Ix-aIx>0

使得/（xi）?/（*）則實數a的取值范圍為.

'Ix+a|+|x-2|,x〉0

11.（2023?徐匯區校級模擬）已知a€R,函數/CO=|?1一’的最小值為2〃，則由滿足條件的

x-ax+ya+1，x<0

a的值組成的集合是.

二.根據實際問題選擇函數類型（共14小題）

12.（2023?嘉定區校級三模）一般的數學建模包含如下活動過程：①建立模型；②實際情境；③提出問題；④求解

模型；⑤實際結果；⑥檢驗結果，請寫出正確的序號順序.

13.（2023?長寧區二模）某小學開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍成一個2平方米的矩形植物和植園，矩形的一

條邊為圍墻，如圖，則至少需要米柵欄.

14.（2023?閔行區校級二模）某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企'也要限期整改、設企業的污

水排放量VV與時間/的關系為用-f（b）-f（a）的大小評價在口,可這段時間內企業污水治理能力

的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示.則下列正確的命題是（）

污

水

達

標

排

放

戶

業弱

乙企

力比

理能

水治

的污

企業

，甲

間內

這段時

m，⑵

A.在

弱

企業

比乙

能力

治理

污水

業的

甲企

刻，

12時

B.在

標

不達

排放都

的污水

兩企業

甲、乙

刻，

13時

C.在

強

力最

理能

水治

的污

，⑵

在m

中，

時間

這三段

［⑵⑶

⑵，

，［小

,川

在［0

企業

D.甲

點人

點，

任意一

CB上

線段

P為

2.點

AC=