學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一曲線與方程的概念問題曲線與方程的定義表明：曲線C的方程是F（x，y）＝0的充分必要條件是曲線C上所有點的坐標都是方程F(x，y）＝0的解，并且以方程F(x,y)＝0的實數解為坐標的點都在曲線C上，這是識別曲線和方程關系的基本依據．判斷點與曲線關系的方法（1)從點的坐標角度若點M(x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲線C上，則f（x0，y0）＝0；或若f(x0，y0）≠0，則點M(x0，y0）不在方程f（x，y)＝0表示的曲線C上．（2)從方程的解的角度若f（x0，y0）＝0，則點M（x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲線C上;或若點M(x0，y0）不在方程f（x,y)＝0表示的曲線C上，則f(x0，y0）≠0.【典型例題1】如果曲線C上所有點的坐標都是方程F(x，y）＝0的解，那么以下說法正確的是()A．以方程F（x，y）＝0的解為坐標的點都在曲線C上B．以方程F(x，y）＝0的解為坐標的點有些不在曲線C上C．不在曲線C上的點的坐標都不是方程F(x,y)＝0的解D．坐標不滿足方程F(x，y）＝0的點都不在曲線C上解析：由題意可知，曲線C上的所有點構成的集合是方程F（x,y)＝0的解構成的集合的子集,它包含兩種情形：①真子集；②相等．據以上可知，選項A，B，C都是不正確的，只有選項D是正確的．答案：D探究二曲線方程的求法解決求曲線方程問題通常按以下三大步驟進行：(1）建立恰當的坐標系：曲線方程的實質即為曲線上的任一點的橫、縱坐標的關系式，首先要建立恰當的直角坐標系(坐標系的建立，直接影響曲線方程的繁簡）．（2)利用題目條件，建立等量關系:根據曲線上的點適合的條件列出等式，是求方程的重要一環,常用到一些基本公式,如兩點間的距離公式等，仔細審題，用已知條件和曲線的特征，抓住與曲線上的任意點M有關的相關關系結合基本公式列出等式進行化簡．（3）挖掘題目隱含條件，避免“少解"與“多解”：在求曲線方程時，由于忽視了題目中的隱含條件，出現不符合題意的點,或在方程進行不等價變形的過程中容易丟掉、增加解，因此在求曲線方程后應根據條件將多余的點剔除，將遺漏的點補上．【典型例題2】已知平面上兩個定點A，B之間的距離為2a，點M到A,B兩點的距離之比為2∶1，求動點M的軌跡方程思路分析：因為已知條件中未給定坐標系,所以需“恰當"建立坐標系．考慮到對稱性,由|AB|＝2a，選A，B兩點所在的直線為x軸，AB中點為坐標原點，則A（－a，0),B(a，0），然后求解解：如圖所示,以兩定點A，B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系．由|AB|＝2a，可設A(－a,0)，B(a，0），M(x，y）因為|MA|∶|MB｜＝2∶1，所以eq\r（(x＋a）2＋y2）∶eq\r(（x－a)2＋y2）＝2∶1，所以eq\r(（x＋a)2＋y2)＝2eq\r((x－a)2＋y2）.化簡，得eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(x－eq\f（5，3）a））2＋y2＝eq\f(16，9)a2，所以所求動點M的軌跡方程為eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（x－eq\f(5,3）a)）2＋y2＝eq\f（16，9）a2.【典型例題3】長為3的線段AB的端點A，B分別在x軸、y軸上移動，動點C（x，y）滿足eq\o(AC，\s\up6(→))＝2eq\o（CB,\s\up6（→）)，求動點C的軌跡方程．思路分析：A，B分別在x軸、y軸上移動，可設A(x0,0)，B（0，y0),又動點C（x,y)滿足eq\o(AC，\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6（→）)，代入即可得軌跡方程．解：因為長為3的線段AB的端點A,B分別在x軸、y軸上移動，故可設A(x0,0)，B(0,y0)．又因為動點C(x,y)滿足eq\o(AC，\s\up6（→）)＝2eq\o(CB,\s\up6(→）)，所以(x－x0，y)＝2（0－x，y0－y)，即（x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，所以eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x，,y＝2y0－2y）)eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1（x0＝3x，,y0＝eq\f(3,2)y.)）又因為｜AB|＝3，即＝9，所以（3x）2＋eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(eq\f（3，2)y))2＝9。整理得動點C的軌跡方程為x2＋eq\f（y2，4)＝1。方法總結求曲線方程常見方法的注意點（1）定義法:若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如直線、圓等），可用定義直接探求．（2）相關點代入法：根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程，有時也稱代入法．其基本思想是，如果所求軌跡中的動點隨著另一動點的運動而運動，另一動點又在某一條已知的曲線C：f（x，y）＝0上運動，那么利用軌跡中的動點坐標(x,y)表示已知曲線上的動點(x1，y1）,再將它代入已知曲線C的方程f（x，y）＝0即可求得動點軌跡方程．（3)待定系數法:根據題意正確設出曲線方程，明確待定系數,尋找待定系數的方程時一定要充分挖掘題中條件,特別注意隱含條件．探究三求曲線的交點問題已知曲線C1和曲線C2的方程分別為F（x，y)＝0，G(x，y)＝0，則點P(x0,y0）是曲線C1，C2的交點點P的坐標(x0,y0）滿足方程組eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(F（x，y)＝0，,G(x，y）＝0，）)且方程組有幾組不同的實數解,兩條曲線就有幾個不同的交點;方程組沒有實數解，兩條曲線就沒有交點．【典型例題4】試討論圓x2＋（y－1）2＝4與直線y＝k(x－2)＋4(k為參數）交點的個數．思路分析：只需把直線方程與圓方程聯立，求方程組解的個數即可．解：由eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（y＝k(x－2）＋4，,x2＋（y－1）2＝4，））得(1＋k2）x2＋2k(3－2k)x＋（3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4（1＋k2）[（3－2k）2－4]＝4(12k－5)．當Δ＞0,即k＞eq\f（5，12）時,直線與圓有兩個不同的交點；當Δ＝0,即k＝eq\f(5，12)時，直線與圓有一個交點；當Δ＜0，即k＜eq\f(5,12）時，直線與圓沒有交點．探究四易錯辨析易錯點忽視驗證造成增解【典型例題5】求以A(－2,0）,B(2，0)為直徑端點的圓內接三角形的頂點C的軌跡方程．錯解：設點C的坐標為(x，y)．△ABC為圓內接三角形且以AB為直徑．∴AC⊥BC，則kAC·kBC＝－1。∵kAC＝eq\f(y－0,x＋2),kBC＝eq\f（y－0,x－2)，∴eq\f（y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－1。化簡,有x2＋y2－4＝0。即點C的軌跡方程為x2＋y2－4＝0.錯因分析：(1）在表述kAC，kBC時沒有注意斜率不存在的情況．(2)沒有驗證以方程的解為坐標的點是否都在曲線上．正解：設C的坐標為(x,y)．∵△ABC為圓的內接三角形，且圓以線段AB為直徑，∴eq\o(AC，\s\up6（→））⊥eq\o(BC,\s\up6(→）)，即eq\o(AC，\s\