不等式（組）中的分類討論思想知識(shí)方法精講1．解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號(hào)方向，其他都不會(huì)改變不等號(hào)方向．注意：符號(hào)“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號(hào)與等號(hào)合寫形式．2．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．3．一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對(duì)結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．4.分類討論思想每個(gè)HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共1小題）1．（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）解不等式時(shí)，我們可以將其化為不等式組或得到的解集為或，利用該題的方法和結(jié)論，則不等式的解集為A． B． C． D．或【考點(diǎn)】解一元一次不等式組【分析】根據(jù)已知不等式得出不等式組，求出不等式組大的解集即可．【解答】解：，原不等式化為：或，解得：或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）2．（2021春?涪城區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是，則的取值范圍為或．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為，可以確定整數(shù)解為，，或，，，，，0，1，2，再根據(jù)解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數(shù)解的和是，不等式組的整數(shù)解為，，或，，，，，0，1，2，或；故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號(hào)的選擇應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，切實(shí)選擇正確．3．（2021春?郫都區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是15，則的取值范圍是或．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為15，可以確定整數(shù)解為6，5，4這四個(gè)數(shù)，再根據(jù)解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數(shù)解的和是15，，，5，4，因此不等式組的整數(shù)解為①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，，，，或；故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號(hào)的選擇應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，切實(shí)選擇正確．4．（2020?拱墅區(qū)一模）已知關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為7，則的取值范圍是或．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】先求出求出不等式組的解集，再根據(jù)已知得出關(guān)于的不等式組，求出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為7，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)整數(shù)解一定是3和4，，，當(dāng)時(shí)，整數(shù)解是，，0，1，2，3和4，，，的取值范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，能得出關(guān)于的不等式組是解此題的關(guān)鍵．5．（2021秋?讓胡路區(qū)期末）若關(guān)于的不等式組，恰有2個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解；解一元一次不等式組【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解有2個(gè)，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．6．（2020秋?芙蓉區(qū)月考）已知關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為，的取值范圍是或．【考點(diǎn)】：一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】解不等式組得出，根據(jù)不等式的所有整數(shù)解的和為知不等式組的整數(shù)解為、、或、、，，0，1，據(jù)此可得或，解之即可得出答案．【解答】解：解不等式，得：，，不等式組的解集為，不等式的所有整數(shù)解的和為，不等式組的整數(shù)解為、、或、、，，0，1，則或，解得或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式組的能力，并根據(jù)不等式組的整數(shù)解情況得出關(guān)于的不等式組．7．若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是，則的取值范圍是或．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解的和為，知不等式組的整數(shù)解為、或、、、、0、1、2，據(jù)此求解可得．【解答】解：解不等式，得：，不等式組的整數(shù)解的和為，不等式組的整數(shù)解為、或、、、、0、1、2，則或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．8．若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是18，則的取值范圍是或．【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為18，可以確定整數(shù)解為6，5，4，3這四個(gè)數(shù)，再根據(jù)解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數(shù)解的和是18，，5，4，3，因此不等式組的整數(shù)解為①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，，或；故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號(hào)的選擇應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，切實(shí)選擇正確．三．解答題（共12小題）9．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料：根據(jù)絕對(duì)值的定義，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，那么，如果數(shù)軸上兩點(diǎn)、表示的數(shù)為，時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為．根據(jù)上述材料，解決下列問題：如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)、表示的數(shù)分別是，、兩點(diǎn)的距離用表示），點(diǎn)是數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，表示數(shù)．（1）12個(gè)單位長度；（2）若，求的值；（寫過程）（3）若關(guān)于的方程無解，則的取值范圍是．【考點(diǎn)】絕對(duì)值；數(shù)軸【分析】（1）用兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的差的絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分三種情況討論，，，；（3）分四種情況討論，，，，，【解答】解：（1），所以，故答案為：12；（2）分三種情況：當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，此方程無解，當(dāng)時(shí)；，，解得：，答：的值為或12；（3）分四種情況：當(dāng)時(shí)，，，解得：，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，解得：，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，解得：，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，解得：，，解得：，綜上所述：時(shí)方程有解，所以：時(shí)方程無解，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸和絕對(duì)值的意義，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．10．（2021秋?平谷區(qū)校級(jí)期中）若分式值為正，求的取值范圍．關(guān)于這道題，某同學(xué)根據(jù)分式即除法，根據(jù)除法處理符號(hào)的原則，同號(hào)相除得正，得，求得．根據(jù)這位同學(xué)的做法，若，求的取值范圍．若，求的取值范圍．若，求的取值范圍．【考點(diǎn)】解一元一次不等式；分式的乘除法；分式有意義的條件【分析】根據(jù)所給例題，結(jié)合分式的性質(zhì)進(jìn)行解題即可．【解答】解：，，解得；，，，解得；，或，解得或；故答案為：；；或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式的解法，理解題意，利用分式的性質(zhì)，并能根據(jù)情況分類討論解不等式是解題的關(guān)鍵．11．（2021春?薛城區(qū)期末）例：解不等式解：由實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則：“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”得①，或②，解不等式組①得，，解不等式組②得，，所以原不等式的解集為或．閱讀例題，嘗試解決下列問題：（1）平行運(yùn)用：解不等式；（2）類比運(yùn)用：若分式的值為負(fù)數(shù)，求的取值范圍．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；分式的值；解一元一次不等式組【分析】（1）根據(jù)題目所給信息，進(jìn)行計(jì)算，，當(dāng)或時(shí)即可得出答案；（2）根據(jù)兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，可得或解不等式組即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，，，不等式的解集為或；（2）由實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則：“兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)”，得，或，解不等式組①得，，解不等式組②得，無解，所以若分式值為負(fù)數(shù)，則應(yīng)滿足，所以原不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的值及解一元一次不等式組，正確理解題目所給的信息進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021春?西城區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：解分式不等式．解根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：①或②解不等式組①得無解，解不等式組②得，所以原不等式的解集是．請(qǐng)仿照上述方法解下面的分式不等式：（1）；（2）．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為①或②，再分別求解即可；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為①或②，再分別求解即可．【解答】解：（1）原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②，解不等式組①得，所以該不等式組的解集為．解不等式組②得，所以該不等式組的解集為．所以原不等式的解集為或．（2）原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②，解不等式組①得，所以該不等式組的解集為．解不等式組②得，所以該不等式組無解．所以原不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，并熟練掌握解一元一次不等式組的步驟和依據(jù)．13．（2021春?三元區(qū)校級(jí)月考）先閱讀理解下面的例題，再按要求完成后面的問題：例：解不等式．解：由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”得：①或②，解不等式組①，得：；解不等式組②，得：．所以的解集為或．根據(jù)上述方法解答下列問題：（1）解一元二次不等式；（2）解不等式．【考點(diǎn)】有理數(shù)的乘法；解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】（1）利用因式分解法得到，則原不等式可轉(zhuǎn)化為①或②，然后解兩個(gè)不等式組即可；（2）利用分式的性質(zhì)，把原不等式可轉(zhuǎn)化為①或②，然后解兩個(gè)不等式組即可．【解答】解：（1），原不等式可轉(zhuǎn)化為①或②，解不等式組①，，解不等式組②，，即一元二次不等式的解集為或；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為①或②，解不等式組①，，解不等式組②無解，即分式不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式組的解法，利用了轉(zhuǎn)化的思想，這種轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)為：兩數(shù)相乘（除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則．14．（2021?商河縣校級(jí)模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式的解集．解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；解一元一次不等式組【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)不等式組①或②，分別求解；（2）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)不等式①或②，分別求解；【解答】解：（1）可得：①或②，解不等式①得：無解；解不等式組②得：；不等式的解集為：；（2）可得：①或②，解不等式①得：；解不等式組②得：；不等式的解集為：或；【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次不等式的解法；能夠?qū)⒍淮尾坏仁睫D(zhuǎn)化為一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?龍鳳區(qū)期中）先閱讀理解，再解答問題．解不等式：解：把不等式進(jìn)行整理，得，即．則有（1），或（2）．解不等式組（1），得；解不等式組（2），得其無解．所以原不等式的解集為．請(qǐng)根據(jù)以上解不等式的方法解不等式：．【考點(diǎn)解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】利用題中的解法，把原不等式化為．再利用有理數(shù)的性質(zhì)得到，或，然后解兩個(gè)不等式組即可．【解答】解：原不等式進(jìn)行整理，得，即．則有（1），或（2），解不等式組（1），得，解不等式組（2），得，所以原不等式的解集為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．16．（2021春?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)是不等于3的常數(shù)，解不等式組并依據(jù)的取值情況寫出其解集．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組【分析】先分別解兩個(gè)不等式得到和，然后通過討論與3的大小確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，因?yàn)閷?shí)數(shù)是不等于3的常數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．17．（2021春?西秀區(qū)期末）閱讀理解題：閱讀：解不等式解：根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，原不等式可以轉(zhuǎn)化為：或解不等式組得：解不等式組得：所以原不等式的解集為：或問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，解不等式．【考點(diǎn)】解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】根據(jù)閱讀材料可得：當(dāng)和異號(hào)時(shí)不等式成立，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為不等式問題求解．【解答】解：解不等式組，不等式組無解；解不等式組，解得．總之，不等式的解集是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解題規(guī)律是：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．18．（2021春?武城縣期末）感知：解不等式．根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，得不等式組①，或不等式組②．解不等式組①，得；解不等式組②，得，所以原不等式的解集為或．探究：解不等式．應(yīng)用：不等式的解集是．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組【分析】（1）先把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，然后通過解不等式組來求分式不等式；（2）先把不等式轉(zhuǎn)化為不等