第四章指數函數與對數函數4.1指數

問題1：初中我們就已經學習過平方根，立方根。同學們是否還記得它們是怎樣定義的嗎？問題2：一個數的平方根有幾個？立方根有幾個？一個數的平方根有2個，立方根有1個復習導入

新知探究

n次方根

新知探究

先乘n次方再開n次方看奇偶，先開n次方再乘n次方取本身名師點睛1.在n次方根的概念中,關鍵是數a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個數a的n次方根,就是求一個數x使得這個數的n次方等于a.2.n次方根實際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運算.過關自診

提示不是,當n為大于1的奇數時,a∈R;當n為大于1的偶數時,a≥0.6或-2x解析原式=|x+3|-(x-3),當x≥-3時,原式=6;當x<-3時,原式=-2x.探究點一根式的概念【例1】(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

3±2(2)已知x6=17,則x=

.

[-3,+∞)規律方法根式概念問題應關注的兩點(1)n的奇偶性決定了n次方根的個數;(2)n為奇數時,被開方數a的正負決定著n次方根的符號.變式訓練1已知a∈R,n∈N*,給出下列4個式子:A.1個

B.2個

C.3個

D.0個

A探究點二根式的化簡(求值)【例2】求下列各式的值:解原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當-3<x<1時,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當1≤x<3時,原式=(x-1)-(x+3)=-4.解由例題解析可知原式=|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.變式探究(1)該例中的,若x<-3呢?

追問1：觀察上述式子，你能發現什么嗎？

新知探究

分數指數冪

也可稱為有理指數冪問題4：若根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也可以表示為分數指數冪的形式？追問2：觀察上述式子，你能發現什么規律嗎？分子為被開方數的指數，分母為根指數新知探究

分數指數冪

也可稱為有理指數冪

對于任意正數a,b和實數r,s,指數冪均滿足下面的運算性質:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);負整數指數冪a-n=.新知探究

分數指數冪

也可稱為有理指數冪1.正數的正分數指數冪的意義:2.正數的負分數指數冪的意義:3.0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.（0不可作為分母）規定了分數指數冪的意義以后,冪ax中指數x的取值范圍就從整數拓展到了有理數.

沒有意義

名師點睛

2.正數的負分數指數冪總表示正數,而不是負數.3.我們可以類似得出:一般地,給定正數a,對任意無理數α,aα都是一個確定的實數.同理規定a-α=.這樣指數冪中指數的范圍就擴展到了全體實數.過關自診1.[人教B版教材例題]計算下列各式的值:過關自診

分數指數不能隨意約分，因為約分之后可能會改變根式有意義的條件3.[北師大版教材例題]把下列各式中的正數b寫成正分數指數冪的形式:(1)b5=20;(2)b4=25;(3)bn=3m(m,n∈N*);(4)b3n=π9m(m,n∈N*).探究點三分數指數冪的簡單計算【例3】計算:規律方法1.對于既含有分數指數冪,又含有根式的式子,一般把根式統一化成分數指數冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數不同,也應化成分數指數冪的形式.2.對于計算題的結果,不強求統一用什么形式來表示,但結果不能同時含有根式和分數指數冪,也不能既含有分母又含有負指數.變式訓練2計算:

探究點四條件求值【例4】[北師大版教材習題]已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值:規律方法解決條件求值問題的一般方法——整體法對于條件求值問題,一般先化簡代數式,再將字母取值代入求值.當字母的取值未知或不易求出時,可將所求代數式恰當地變形,構造出與已知條件相同的結構,從而通過“整體法”巧妙地求出代數式的值.解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.本節要點歸納1.知識清單:(1)n次方根.(2)正分數指數冪和負分數指數冪.(3)指數冪的運算性質.2.方法歸納:轉化法、整體代換.3.常見誤區:(1)0的任意負實數指數冪沒有意義;(2)在運用分數指數冪的運算性質化簡時,其結果不能同時含有根式和分數指數冪,也不能既含有分母又含有負指數.01成果驗收·課堂達標檢測123456C123456A.5-2a

B.2a-5

C.1

D.-1

C解析∵2<a<3,∴a-2>0,a-3<0,123456D1234564.計算-0.01-0.5+0.2-2-(2