3.5力的分解教學參考教案概念分析例題詳解自主探究“和尚正塔”的力學原理：

傳說我國明朝年間，蘇州的虎丘寺塔因年久失修，塔身傾斜，有倒塌的危險，如何修復此塔？有的建議用粗繩子把塔拉正，可一拉反而會倒：有的建議用大木柱撐住，但很不雅觀。一天，一個和尚路過此地，觀察斜塔后，自告奮勇地說：“不需人力和財力，我一個人可以把塔扶正。”在場人無不驚疑而取笑他，可和尚不管別人怎么議論，天天提著一個大包走進寺院，包里裝了一些一頭厚一頭薄的木楔（斜面），他把這些木楔一個個的從塔身傾斜的一側的磚縫里敲進去。不到一個月，塔身果然扶正了。

木楔為什么能產生這么大的力量呢？

如圖所示，設木楔是一個頂角為的等腰三角形，木楔敲入磚縫時產生的敲擊力為F，木楔將對塔身產生兩個分力，即楔對塔身的彈力N，由正弦定律得：

對木楔來說，頂角很小，從上面表達式可知N》F。

例如＝4°，F＝3000N，代入上式得N＝4.3×104N，這個力大約相當于能把43噸重的物體舉起來，足可以支撐塔身。可見，“和尚正塔”的傳說中，和尚利用木楔確可以把塔扶正。“逆風行舟”原理：如圖所示為小船的俯視圖，控制航向，使風從帆面MN的外側前方吹來，風吹在帆面上的力可以分解為沿帆面的阻力F1和垂直于帆面的力F2，F2又可以分解為沿航向和垂直于航向的力F′和F′′，F′′主要靠水對船體的橫向阻力相平衡，而沿航向的分力F′比船體的縱向阻力（包括F1沿航向的分力）大得多，故船可以沿航向向前航行。由上可知，帆船能側逆風前進。為了達到頂風的目的地，帆船必須不斷改變航向，走“之”字形，并不斷改變帆的方位，如圖所示。教材詳解1．力的分解求一個已知力的分力的過程，叫力的分解。力的分解是力的合成的逆運算。對于一個確定的物體所受到的力進行分解時，應根據實際效果進行有意義的分解。因此，力的分解的關鍵就是找出力的作用效果，就可以確定分力的方向，據此畫出力的平行四邊形，接著轉化為一個根據已知邊角關系求解的幾何問題。力的分解的一般步驟：①根據實際力的作用效果確定兩個分力的方向；②以已知力為平行四邊形的對角線和兩個分力的方向為鄰邊畫出平行四邊形；③根據平行四邊形或三角形確定分力的大小和方向。2．將一個力分解的四種情況。OFF2BA①已知兩個分力的方向，求兩個分力的大小。如圖所示，已知F和、OFF2BA②已知一個分力的大小和方向，求另一個分力的大小和方向。仍如圖所示，已知F、F1和，顯然此平行四邊形也被惟一確定了，即F2的大小和方向（角）也被惟一確定了。F1F1′F2′F2F③已知一個分力的方向和另一個分力的大小，即已知FF1F1′F2′F2F情況一：F＞F2＞Fsin，有兩解，如圖所示，如果F2≥F時只有一個解。情況二：F2＝Fsin有惟一解，如圖所示。情況三：F2＜Fsin時，無解，因為此時按所給的條件無法構成力的平行四邊形。FF1F2④已知兩個分力的大小，求兩分力的方向。如圖所示，當繞著F的作用線將圖轉過一定角度時，仍保持著F1FF1F23．矢量和標量①矢量：在物理學中，有大小、有方向，又遵循平行四邊形定則的物理量叫做矢量。我們學習過的矢量有：力、速度、加速度、位移等。②標量：在物理學中，只有大小，沒有方向的物理量叫做標量。我們學習過的標量有：質量，體積、路程等，標量的運算法則是代數運算。FF14．三角形定則三角形定則也是兩個共點力合成的一種幾何作圖法．作圖方法是：兩個共點力F1和F2合成時，可先按F1的大小和方向作圖（圖示有向線段AB），再以B端（F1的箭頭）為起點按F2的大小和方向作圖（圖示有向線段BC），連接由A指向C的有向線段AC（F1的箭尾指向F2的箭頭）即兩個共點力F1和F2的合力F（如圖所示）．這種共點力合成的作圖法稱為力的三角形定則．三角形定則與平行四邊形定則的實質是一樣的。這個三角形實際上就是平行四邊形的一半，它也包含了兩個分力和一個合力的大小和方向的所有信息。如果多個矢量合成時，還可以把它演化成多邊形定則（見第四節自主探究的“力的合成的多邊形法則”）。5．正交分解法在很多問題中，常把一個力分解為互相垂直的兩個分力，特別是物體受到多個力作用時，把物體受到的各個力都分解到互相垂直的兩個方向上去，然后求兩個方向上力的合力，這樣可把復雜問題簡化，尤其是在求多個力的合力時，用正交分解的方法，先將力分解再合成非常簡單。正交分解法不一定按力的實際效果來分解，而是根據需要，為簡化問題來分解。正交分解法是把力沿著兩個經懸點的互相垂直的方向作分解，其目的是便于運用普通代數運算公式來解決矢量的運算，“分”的目的有時是為了更方便的“合”，它是處理力的合成和分解的復雜問題的一種簡便方法，其步驟如下：①以共點力的作用點為原點作直角坐標系，標出x軸和y軸。坐標軸方向的選擇應根據實際情況確定，原則是使坐標軸與盡可能多的力重合，即是使向兩個軸投影分解的力盡可能的少。②將與坐標軸不重合的力分解成x軸方向和y軸方向的兩個分力。例如F1分解成F1x和F1y，如果與x軸的夾角為，則F1x＝F1cos，F1y＝F1sin。與坐標軸重合的力就不需要分解了。③求出x軸和y軸方向上的合力。與正方向相同的取正值，相反的取負值，然后利用代數運算求得，即Fx合＝F1x＋F2x＋…，Fy合＝F1y＋F2y＋…。如果是根據平衡條件或牛頓第二定律列方程，到這一步就可以列方程了。④利用矢量運算求合力。F合＝，tan＝，為F合與x軸的夾角。6．圖解法有時在研究分力的動態變化時，并不需要進行定量運算，只要根據力的分解的平行四邊形，觀察線段的長短變化，夾角的大小變化，就可以定性地分析力的大小和方向的變化了。這類問題的基本特征是：有一個力的大小和方向均不變，有一個分力的大小在變化而方向不變，還有另一個力大小和方向都在變。例如：如圖所示，重為G的物體放在傾角為的光滑斜面上，被豎直放置的光滑擋板擋住。若將擋板逆時針轉動逐漸放低，試分析球對擋板的壓力和對斜面的壓力如何變化。GG1G1′G1′′GG1G1′G1′′G2′′G2′G2在擋板放低的過程中，重力G的大小和方向都不變，垂直斜面的分力G1的方向不變，作出以G為對角線，一條鄰邊為G1方向的一系列平行四邊形，如圖所示。由圖可知，G1隨擋板的放低始終在減小，G2先減小再增大，當G1與G2方向垂直，即擋板水平放置時，G2取最小值，G2min＝Gsin。合作學習GG1G2例題1：如圖所示，小球重G＝100N，細繩與墻面間夾角GG1G2解析：把小球重力沿細繩方向和垂直墻面方向分解，作出力的平行四邊形．答案：根據力的平行四邊形，由幾何關系得G1＝＝N＝115.3NG2＝Gtg＝N＝57.7NF1F2F3F445°105°圖a例題2：在同一平面上的四個共點力F1、F2、F3、FF1F2F3F445°105°圖a解析：對于在同一平面上的兩個以上的共點力的合成，利用多邊形合成的作圖法把合力作出來是方便的，但容易引起較大的誤差。如果要按照多邊形合成的計算法把合力計算出來。又顯得很煩瑣，如果用正交分解法先分解后合成，計算過程就簡便得多。答案：在圖a中先建立如圖所示的坐標系（如圖b），然后求每一個力在x軸和y軸上的分力：xF1F2F3F445°105°y圖bxF1F2F3F445°105°y圖bF2x＝F2cos45°；F2y＝F2sin45°F3x＝F3cos150；F3y＝F3sin150°F4x＝0；F4y＝－F4再分別算出x軸和y軸方向的合力Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋F4x＝F1＋F2cos45°＋F3cos150°＝60＋40×－30≈62.3NFy＝F1y＋F2y＋F3y＋F4y＝F2sin45°＋F3sin150°－F4＝40×－30×－25≈18.3(N)于是總合力F＝＝65Ntg＝Fy/Fx＝18.3/62.3≈0.294；故≈16.4°ABCD例題3：建筑工人要將建筑材料送到高處，常在樓頂裝置一個定滑輪（圖中未畫出），用繩AB通過滑輪將建筑材料提到某一高處，為了防止建筑材料與墻壁相碰，站在地面上的工人還另外用繩CD拉住材料，使它與豎直墻面保持一定的距離L，如圖所示，若不計兩根繩的重力，在建筑材料提起的過程中，繩AB與CD的拉力F1和ABCDA．F1增大，F2增大B．F1增大，F2不變C．F1增大，F2減小D．F1減小，F2減小FF2F1F1′F2′解析：建筑材料對AB與CD的拉力和建筑材料的重力相等，F＝G。把拉力按其作用效果分解，在建筑材料提起的過程中的某一位置，把F進行分解得如圖所示的F1和F2，在重物上升時，AB繩和CD繩的夾角不斷增大，再次把F進行分解得如圖所示的F1′和FF2F1F1′F2′答案：A師生互動1．將一個力F分解為兩個不為零的力，下列哪種或哪些分解方法是不可能的?A．分力之一垂直于FB．兩個分力與F都在同一直線上C．一個分力的大小與F的大小相同D．一個分力與F相同2．以下說法正確的是A．2N的力能夠分解成6N和3N的兩個分力B．10N的力可以分解成5N和4N的兩個分力C．2N的力可以分解成6N和5N的兩個分力D．10N的力可以分解成10N和10N的兩個分力3．如圖所示，A、B、C三個質量相同的砝碼處于靜止狀態，不考慮一切摩擦．現將兩滑輪移開一點，使兩滑輪距離增大，則重新平衡后，C砝碼的高度A．仍不變B．升高一些C．降低一些D．都有可能OFOFA．先增大后減小B．先減小后增大C．直接增大D．一直減小5．已知力F的一個分力F1跟F成30角，大小未知。另一個分力F2的大小為F，方向未知。則F1的大小可能是A．FB．FC．FD．F6．把一個力分解為兩個力F1和F2。已知合力F＝40N，分力F1與合力F的夾角為30°．若F2取某一數值，可使F1有兩個大小不同的數值，則F2的取值范圍是___________。BAFCD7．壓榨機結構如右圖所示，B為固定鉸鏈，A為活動鉸鏈，若在A處作用一水平力F，輕質活塞C就以比F大得多的力壓D，若BC間距為2L，AC水平距離為h，C與左壁接觸處光滑，則BAFCD8．一人通過箱帶拉著一個旅行箱前進，拉力是12N，箱帶與水平面夾角是30°，則拉力的水平分力是多大？豎直分力是多大？9．給你一段棉線、一把刻度尺、一個質量已知的重物，試設計一種實驗方案，測出此段棉線能承受的最大拉力。課后習題解