《數學分析1》教學大綱課程名稱：數學分析（2）英文名稱：MathematicalAnalysis(2)課程編號：F035091031學分：6總學時/課內實踐學時：96/0課程性質：必修課程開課單位：數理科學與工程學院數學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介數學分析是信息與計算科學專業(yè)的一門專業(yè)基礎課程。是進一步學習復變函數、常微分方程、偏微分方程、概率論、實變函數、泛函分析等后續(xù)課程的基礎，是數學類專業(yè)碩士研究生必考的基礎課。本課程的主要內容有極限論、一元函數微積分、多元函數微積分、級數理論，極限思想貫穿本課程始終。課程的主要目的是通過三個學期對數學分析的系統學習與訓練，逐步提高學生的數學修養(yǎng)，掌握數學的基本思想和方法，具備一定的理論分析及論證能力，提高學生利用數學分析的基本思想和方法解決實際問題的能力。本課程以課堂講授為主，輔以自學和討論。考核方式為閉卷考試。在課堂講授中，應深入思考挖掘課程中蘊含的哲學及政治思想，將思政教育融匯于教學過程，引導學生樹立正確的人生觀、價值觀，培養(yǎng)學生的家國情懷。Mathematicalanalysisisaprofessionalbasiccourseininformationandcomputationalscience.Itisthebasisforfurtherlearningofcomplexvariablefunction,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,probabilitytheory,realvariablefunction,functionalanalysisandothersubsequentcourses.Itisthebasiccourserequiredformasterstudentsmajoringinmathematics.Themaincontentsofthiscourseincludelimittheory,unionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,andlimitthoughtthroughoutthiscourse.Themainpurposeofthecourseistograduallyimprovestudents'mathematicalcultivation,masterthebasicideasandmethodsofthebasicideasandmethodsofmathematics,havecertaintheoreticalanalysisanddemonstrationability,andimprovestudents'abilitytosolvepracticalproblemsthroughthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis.Thiscourseismainlyaboutclassroomteaching,supplementedbyself-studyanddiscussion.Theassessmentmethodisaclosed-bookexamination.Intheclassroomteaching,weshouldthinkdeeplyaboutandexplorethephilosophyandpoliticalthoughtscontainedinthecourse,integrateideologicalandpoliticaleducationintotheteachingprocess,guidestudentstoestablishacorrectoutlookonlifeandvalues,andcultivatestudents'feelingsofhomeandcountry.二、課程目標1.強化科學倫理教育，注重科學思維方法訓練和科學精神培養(yǎng)，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生科技報國的家國情懷和使命擔當。2.深刻理解極限思想，在極限思想的基礎上，掌握一元函數微積分、多元函數微積分、級數論，為后續(xù)課程的學習奠定良好的基礎。3.掌握數學分析的基本思想與方法，培養(yǎng)數學思維，提高學生運用數學思想和方法解決實際問題的能力。1.Strengthenscientificethicseducation,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andcultivatestudents'nationalfeelingsandmissionresponsibilityforservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Deepunderstandingoflimitthought,onthebasisoflimitthought,mastertheunionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,tolayagoodfoundationforthesubsequentcourselearning.3.Masterthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis,cultivatemathematicalthinking,andimprovestudents'abilitytousemathematicalideasandmethodstosolvepracticalproblems.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1：課程目標與畢業(yè)要求對應關系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數學基礎，掌握信息科學、計算科學和計算機科學的基本理論和基本知識課程目標2畢業(yè)要求2：能力要求通過系統的數學思維訓練，掌握數學科學的思想方法，具有扎實的數學基礎和較強的數學語言表達能力課程目標2課程目標3畢業(yè)要求3：素質要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責任感，具有良好的心理素質和積極的人生態(tài)度課程目標1四、課程教學安排課程共有8項教學內容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1不定積分-——102122定積分人生觀104143定積分的應用-——124164反常積分愛國情懷，探索精神104145數項級數-——124166函數列與函數項級數-——144187冪級數價值觀4268傅里葉級數合計722496教學安排1.不定積分教學要求：掌握原函數與不定積分的概念，熟記基本積分表，熟練掌握不定積分的運算。教學內容：原函數與不定積分的概念，基本積分表，換元積分法，分部積分法，有理函數的積分，可化為有理函數的積分。重點難點：不定積分的計算。2.定積分教學要求：掌握定積分的由來、概念、幾何意義、性質，熟練應用牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計算定積分，掌握定積分的可積條件、可積函數類，能夠運用可積的充要條件，判斷或證明函數的可積性，理解變限積分的性質并能熟練運用此性質求解相關問題。教學內容：定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，可積條件，定積分的性質，變限積分的性質，定積分的換元法與分部積分法。重點難點：定積分的概念、牛頓-萊布尼茲公式、變限積分與原函數、定積分的性質與計算；定積分的可積條件、可積函數類。思政元素：在求曲邊梯形的面積時，我們是把整個曲邊梯形劃分成若干小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形的面積求近似，再求和，求極限，從而得到整個曲邊梯形的面積。這個例子告訴我們，在實際生活中，要把人生中的大目標劃分成一個一個具體的、切實可行的小目標（化整為零），然后一步一步踏踏實實努力實現每一個小目標，這樣堅持下去，積少成多（積零為整），最終總會實現最初的大目標（取極限）。3.定積分的應用教學要求：會用定積分的思想處理幾何、物理中的某些實際問題。教學內容：定積分在幾何與物理上的應用。重點難點：微元法的基本思想，定積分在幾何與物理上的應用。4.反常積分教學要求：掌握兩類反常積分（無窮積分、瑕積分）斂散性的概念集性質，能熟練運用柯西判別法判斷非負函數反常積分的斂散性，能夠用阿貝爾判別法、狄立克雷判別法判斷一般函數反常積分的斂散性。教學內容：反常積分（無窮積分、瑕積分）斂散性的概念，無窮積分的性質與收斂判別，瑕積分的性質與收斂判別。重點難點：反常積分絕對收斂與條件收斂的判別，阿貝爾判別法，狄立克雷判別法。思政元素：通過把嫦娥三號、嫦娥四號、嫦娥五號這一系列月球探測器登月這一激動人心的大事引入課程內容，引導學生思考：火箭的發(fā)射速度要滿足什么條件，火箭才可以脫離地球引力？從而引出第二宇宙速度，引入無窮積分的概念。從中國航天的重要事件“嫦娥系列月球探測器登月”引入課程內容，激發(fā)學生學習的興趣，同時向同學們展示了中國航天科技的進步、自信、開放和強大，激發(fā)學生的愛國情懷，激勵學生的科學探索精神。5．數項級數教學要求：掌握數項級數斂散性的概念，掌握收斂級數的性質（包括絕對收斂與條件收斂的性質），熟練掌握正項級數的斂散性判別法、交錯級數的萊布尼茲判別法，掌握一般項級數的狄利克雷判別法、阿貝爾判別法，了解更序級數的性質。教學內容：級數的收斂性，正項級數，交錯級數，一般項級數。重點難點：級數斂散性的定義、性質、各種判別方法的綜合運用，利用狄利克雷、阿貝爾判別法判別一般項級數的斂散性。6.函數列與函數項級數教學要求：掌握函數列的收斂域、極限函數、一致收斂等概念，掌握函數項級數的收斂域、和函數、內閉一致收斂及一致收斂等概念，熟練掌握函數項級數一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法，掌握一致收斂函數列及函數項級數的性質。教學內容：函數列及函數項級數的收斂、一致收斂、內閉一致收斂，一致收斂函數列及函數項級數的性質、判別法。重點難點：函數列及函數項級數的收斂、一致收斂的概念、判別；一致收斂函數列及函數項級數的性質。7.冪級數教學要求：理解冪級數、函數的泰勒級數的概念，了解函數可展成泰勒級數的條件，掌握冪級數的性質，能利用冪級數的性質求某些冪級數的和函數，熟練掌握冪級數的收斂半徑與收斂域的求法，掌握冪級數展開式的應用。教學內容：Abel定理，冪級數的收斂半徑、收斂域，函數的冪級數展開，冪級數的性質及運算，求和函數。重點難點：冪級數的收斂半徑、收斂域，函數的冪級數展開，冪級數的性質及運算，求和函數。思政元素：在講述Abel定理時，介紹挪威數學家Abel（1802-1929）的生平，他短短27年的生命里，一直生活在貧窮、饑寒、病痛之中，但他沒有屈服于艱難的命運，他的數學才華在他13歲時就已凸顯，此后雖歷經磨難，卻畢生堅持對數學的熱誠，在追求真理的道路上孜孜不倦，堅定信念，創(chuàng)造出大量的開創(chuàng)性的數學成果。通過數學家經歷的了解，感受數學家們堅定的信念，學習數學家們不懼艱難困苦，為科學奉獻的精神。8.傅里葉級數教學要求：掌握三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念，了解傅里葉級數的收斂定理，能把周期函數展成傅里葉級數。教學內容：傅里葉級數的概念，傅里葉級數的收斂定理，周期函數的傅里葉級數展開。重點難點：傅里葉級數收斂定理的證明，周期函數的傅里葉級數展開。五、課內實踐教學內容及要求無六、課程考核與評價表4：成績評定方式表考核環(huán)節(jié)分值考核/評價細則平時成績40根據出勤，課堂表現,作業(yè)，小測驗等按40%計入總成績期末考試60閉卷