四年級奧數舉一反三典型題檢測專題04圖形的計數試卷滿分：100分考試時間：100分鐘一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．（2分）圖中，有（）個三角形．A．13 B．15 C．14 D．16【思路引導】分類討論，由一個小三角形、兩個小三角形、三個小三角形構成【完整解答】解：由題意，由一個小三角形構成的，有6個；由兩個小三角形構成的，有3個；由三個小三角形構成的，有6個；大三角形1個，所以三角形的個數為6+3+6+1＝16個，故選：D。【考察注意點】本題考查組合圖形的計數，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是正確分類．2．（2分）平面上有四個點，任意三個點都不在﹣條直線上．以這四個點為端點連接六條線段，在所組成的圖形中用它們作頂點可以組成（）個三角形．A．3 B．4 C．6 D．8【思路引導】根據三角形的定義（由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形）填空．【完整解答】解：如下圖：假設平面上有四個點A、B、C、D，其中任意三個點都不在一條直線上，所以用它們作頂點可以組成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4個．故選：B?！究疾熳⒁恻c】本題考查了三角形的定義．注意，是不在同一直線上的三個點才可以連接成為三角形．3．（2分）有長度分別為1，2，3，…，10厘米的小木棍各一根，從中選出若干根小木棍尾相連，共可以圍成_____種不同邊長的正方形。（）A．3 B．5 C．6 D．7【思路引導】因為1+2+3+……+10＝55，所以邊長最長取54÷4≈13，據此分類討論即可?！就暾獯稹拷猓阂驗?+2+3+……+10＝55，所以邊長最長取54÷4≈13，當邊長為13時，13＝10+3＝9+4＝8+5＝7+6，符合題意；當邊長為12時，12＝10+2＝9+3＝8+4＝7+5，符合題意；當邊長為11時，11＝10+1＝9+2＝8+3＝7+4，符合題意；當邊長為10時，10＝10＝9+1＝8+2＝7+3，符合題意；當邊長為9時，9＝9＝8+1＝7+2＝6+3，符合題意；當邊長為8時，8＝8＝7+1＝6+2＝5+3，符合題意；當邊長為7時，7＝7＝6+1＝5+2＝4+3，符合題意；當邊長為6時，6＝6＝5+1＝4+2，不符合題意；邊長再減少均不符合題意；一共有7種邊長。故選：D?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了組合圖形的計數，根據木棍總長度，確定最長邊長是本題解題的關鍵。4．（2分）在如圖所示的8×8的國際象棋棋盤上，有許多邊長為整數的正方形．其中有的正方形的黑白方格數各占一半，這樣的正方形一共有（）個．A．120 B．140 C．102 D．84【思路引導】觀察圖象可知在2×2，4×4，6×6，8×8的正方形中黑白方格數各占一半，2×2的正方形個數為7×7＝49；4×4的正方形個數為5×5＝25；6×6的正方形個數為3×3＝9；8×8的正方形個數為1；【完整解答】解：由分析可知：49+25+9+1＝84（個）．答：黑白格數相同的正方形有84個．故選：D。【考察注意點】本題考查計數問題的應用，明確2×2，4×4，6×6，8×8的正方形中黑白方格數各占一半，是解題的關鍵．5．（2分）如圖，一張方格紙有15個小正方形，每個小正方形的面積都是1，那么圖中所有正方形面積之和為（）A．15 B．47 C．59 D．74【思路引導】分類進行統計，①面積是1的正方形有15個；②面積是4的正方形有8個；③面積是9的正方形有3個，據此即可解答．【完整解答】解：根據題干分析：面積為1平方厘米的正方形有：15個；面積為4平方厘米的正方形有：8個；面積為9的平方厘米的正方形有：3個；所有正方形面積之和是：15×1+8×4+9×3＝74．點評：故選D．【考察注意點】此題考查了學生對組合圖形的認識，在計數時要有規律的去進行，這樣才不會遺漏．6．（2分）已知如圖是一個軸對稱圖形．若將圖中某些黑色的圖形去掉，得到一些新的圖形，則其中軸對稱的新圖形共有（）個．A．9 B．8 C．7 D．6【思路引導】根據軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據此判斷即可．【完整解答】解：根據軸對稱圖形的意義可知，若將圖中某些黑色的圖形去掉，得到一些新的圖形，即把圖形里面的3部分的黑點去掉，共有7種情況，則其中軸對稱的新圖形共有7個．故選：C?！究疾熳⒁恻c】掌握軸對稱圖形的意義，判斷是不是軸對稱圖形的關鍵是找出對稱軸，看圖形沿對稱軸對折后兩部分能否完全重合．7．（2分）如圖，一張方格紙上放有20個棋子，以其中4個棋子為頂點可以組成的正方形個數為（）A．19 B．20 C．21 D．22【思路引導】設相鄰兩點的距離為1，分正方形的面積為1，2，5，8，13，進行討論，即可得出結論．【完整解答】解：設相鄰兩點的距離為1，則正方形面積為1的即黑色的正方形共有9個；面積為2的即紅色的正方形共有4個；面積為5的即藍色的正方形有2個；面積為8的即黃色的正方形有4個；面積為13的即紫色的正方形有2個；所以，共有9+4+2+4+2＝21個正方形．故選：C。【考察注意點】本題考查組合圖形的計數，考查分類討論的數學思想，正確分類討論是關鍵．8．（2分）如圖所示，在正六邊形中選定它的6個頂點和6條邊的中點，共計12個點以其中3個點為頂點的等腰三角形共有_____個。（）A．40 B．42 C．46 D．54【思路引導】12個點可以分為兩類，根據對稱性，分別找出每種點為頂點時的等腰三角形數量，再乘點的數量，其中等邊三角形被計算了三次，需要減去重復的部分即可。【完整解答】解：以六邊形頂點為等腰三角形頂點時，有5個等腰三角形，以六邊形邊的中點為等腰三角形頂點時，有4個等腰三角形，共有：（5+4）×6＝54（個）其中等邊三角形有4個，均被計算了三次，54﹣4×2＝46（個）所以，等腰三角形共有46個。故選：C?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了組合圖形的計數，注意不要忘記減掉被重復計算的等邊三角形。二．填空題（共11小題，滿分27分）9．（2分）如圖中共有8個三角形。【思路引導】根據組成三角形的圖形數量分別數出三角形的數量，求和即可?！就暾獯稹拷猓阂粋€圖形組成的三角形有3個，兩個圖形組成的三角形有4個，四個圖形組成的三角形有1個，3+4+1＝8（個）故答案為：8?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了組合圖形的計數，較為簡單，主要不要漏數多數。10．（2分）如圖圖形中共有14個梯形?！舅悸芬龑А繂蝹€的梯形有4個，兩部分組成的有5個，三部分組成的有2個，四部分組成的有2個，最大的有1個，然后相加即可。【完整解答】解：4+5+2+2+1＝14（個）答：圖形中共有14個梯形。故答案為：15。【考察注意點】組合圖形的計數實質上就是分類計數圖形，要按順序分類計數，防止遺漏。11．（2分）下面的圖形中共有3種由粗線圍成的大小不同的正方形．（邊長相同的視為同一種）【思路引導】2和1里只有1×1的正方形，0里有1×1的正方形，也有3×3的正方形，8里除了1×1、3×3的正方形，還可以找到2×2的正方形．【完整解答】解：圖形中可以找出1×1的正方形，也可以找出2×2的正方形，還可以找出3×3的正方形．故答案為：3．【考察注意點】此題中最長的邊為5，但不能找出4×4和5×5的正方形．12．（2分）如圖所示，圖中共有12個梯形?！舅悸芬龑А恳灾虚g的斜線段為分界線，左邊有6個梯形，右邊也有6個梯形，然后相加即可?！就暾獯稹拷猓焊鶕治隹傻茫?+6＝12（個）答：圖中共有12個梯形。故答案為：12。【考察注意點】分類枚舉是一種很重要的解決計數問題的方法，按一定的規則恰當分類是關鍵。做到既不重復，也不遺漏。13．（2分）如圖是由相同的小正方形組成的4×4方格網，以這些小正方形的頂點為端點可以連成的不同長度的線段共有14條．【思路引導】先沿邊長數不同長度的線段有4條，再數長度是某個長方形對角線的共10條．【完整解答】解：先沿邊長數不同長度的線段有4條，再數長度是某個長方形對角線的共10條，4+10＝14（條）故答案為：14．【考察注意點】因為要求不同長度的線段，所以應該去掉重復的．14．（2分）數一數，圖形中一共30個三角形．【思路引導】把圖中的三角形分5種情況計數即可．【完整解答】解：單個的三角形有3×4＝12個；兩個圖形拼成的三角形有2×4＝8個；三個圖形拼成的三角形有4個；4個圖形拼成的三角形有2個；七個圖形拼成的三角形有4個；12+8+4+2+4＝30（個）；答：圖形中一共30個三角形．故答案為：30．【考察注意點】組合圖形的計數實質上就是分類計數圖形，要按順序分類計數，防止遺漏．15．（3分）圖中，一共可以數出11個三角形．【思路引導】單個的三角形有6個，最大的三角形有4個，中間4個小三角形組成1個較大的三角形，然后相加即可．【完整解答】解：6+4+1＝11（個）故答案為：11．【考察注意點】組合圖形的計數實質上就是分類計數圖形，要按順序分類計數，防止遺漏．特別要注意多個基本圖形構成的三角形容易數錯．16．（3分）圖中，共有17個三角形。【思路引導】①單個三角形有：7個，②兩個圖形組成的有：3個，③三個圖形組成的有：3個，④四個圖形組成的有：4個，然后把個數相加即可。【完整解答】解：根據分析可得：7+3+3+4＝17（個）答：共有17個三角形。故答案為：17?！究疾熳⒁恻c】組合圖形的計數實質上就是分類計數圖形，要按順序分類計數，防止遺漏。特別要注意多個基本圖形構成的三角形容易數錯。17．（3分）我們知道，一個三角形把平面分成2部分，2個三角形最多把平面分成8個部分，3個三角形最多把平面分成20個部分。那么4個三角形，最多把平面分成38部分。【思路引導】運用公式，n個三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2個部分來求解?！就暾獯稹拷猓阂驗閚個三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2個部分，所以4個三角形，最多把平面分成3×42﹣3×4+2＝38（部分）。故答案為：38?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查三角形平分平面，掌握“n個三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2個部分”是解題的關鍵。18．（3分）“8”是一個吉祥的數字，深受中國人民喜歡．圖中，一共有5個正八邊形．【思路引導】中間圖形“8”，上下方各有2個正八邊形，最外面有一個正八邊形，然后相加即可．【完整解答】解：2+2+1＝5（個）故答案為：5．【考察注意點】分類計數是一種很重要的解決圖形計數問題的方法，按一定的規則恰當分類是關鍵．做到既不重復，也不遺漏．19．（3分）圖中有22個正方形．【思路引導】分類計數，邊長為1的單個的正方形有12個，邊長為2的單個的正方形有5個，斜著的正方形有5個，然后相加即可．【完整解答】解：12+5+5＝22（個）故答案為：.22【考察注意點】組合圖形的計數實質上就是分類計數圖形，要按順序分類計數，防止遺漏．三．解答題（共10小題，滿分57分）20．（5分）由7×7的正方形方格紙沿著方格的邊界剪出相等數量的2×2的正方形和的1×4的長方形．可以剪出這些圖形的最大數量共有多少個？【思路引導】在7×7的正方形方格紙沿著方格的邊界，剪出相等數量的2×2的正方形和1×4的長方形，剪出的無論是正方形還是長方形都由4個方格組成．兩類圖形面積相等．剪出的圖形的數量不多于個，即不大于12．所以2×2的正方形和1×4的長方形不多于6個．【完整解答】解：在7×7的正方形方格紙沿著方格的邊界，剪出相等數量的2×2的正方形和1×4的長方形，剪出的圖形的數量不多于＝12個，即不大于12．所以2×2的正方形和1×4的長方形不多于6個．下圖指出了一個剪出6個正方形和6個長方形的方法．【考察注意點】本題從面積相等考慮．21．（5分）數一數，圖中有多少個三角形？【思路引導】三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形，根據概念分類找出圖中三角形的個數即可．【完整解答】解：單個三角形組成的三角形有8個，2個三角形組成的三角形有4個，4個三角形組成的三角形有4個，8+4+4＝16（個）．答：圖中有16個三角形．【考察注意點】此題主要考查計數方法的應用，養成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規律的能力．22．（5分）數一數各圖中各有多少個三角形．【思路引導】根據圖形的構造特點，圖（1）（2）可分層計算，每層按“規則圖形計數”，然后計算總數即可；圖（3）可分類計算，先根據大三角形中的頂點到對邊的連線把大三角形分成2個同樣的小三角形；同理，其中的一個小三角形又分成2個同類的更小的三角形，共計4類，先數清每一類中的三角形的個數，之后數出這4類的總數，進而再加上與4類不同情況的4個即可．【完整解答】解：（1）4+3+2+1＝10（個）10×2＝20（個）（2）4+3+2+1＝10（個）10×4＝40（個）（3）4+3+2+1＝10（個）10×4+4＝44（個）答：圖（1）有20個、圖（2）有40個、圖（3）有44個三角形．【考察注意點】解答此題的關鍵是根據圖形的構造對其進行合理分類計算方可．23．（6分）如圖中，三角形的個數有多少？【思路引導】本題考查組合圖形的計數．【完整解答】解：一層的三角形有5+6+5＝16（個）兩層的三角形有2+1+1+2＝6（個）所以三角形的個數有16+6＝22（個）答：三角形的個數有22個．【考察注意點】本題考查圖形計數，難度較低．24．（6分）數一數，圖中有多少個三角形？【思路引導】本題考查組合圖形的計數．【完整解答】解：由1個三角形組成的有5個；由2個小部分組成的三角形有8個；由3個小部分組成的三角形有6個；由4個小部分組成的三角形有3個；由6個小部分組成的三角形有4個；由9個小部分組成的三角形有1個；共有5+8+6+3+4+1＝27（個）．【考察注意點】本題關鍵在于分類計數，做到不漏不重．25．（6分）從圖中任意選擇四個點，可組成多少個不同的正方形？（不同的點組成的正方形視為不同的正方形）【思路引導】分兩種情況計數：（1）正放的小正方形；（2）斜放的小正方形（沿對角線）．先數1×1的小正方形的個數有12個；再數以一個正方形的對角線為邊長的小正方形的個數有6個；再數2×2的小正方形的個數有6個；再數2個小正方形的對角線為邊長的小正方形的個數有2個；再數3×3的小正方形的個數有2個．相加即可求解．【完整解答】解：（1）正放的小正方形：1×1的小正方形的有：3×3＝9（個），2×2的小正方形的有：2×2＝4（個），3×3的小正方形的有1個；（2）斜放的小正方形（沿對角線），對稱排列，共有：（2+1）×2＝6（個）綜上所述，共有：9+4+1+6＝20（個）答：從圖中任意選擇四個點，可組成20個不同的正方形．【考察注意點】考查了組合圖形中正方形的計數，注意按一定的順序去數，做到不重復不遺漏．26．（6分）如圖，在5×5的棋盤上放了20枚棋子，現在取走其中的兩枚棋子，那么以剩下的棋子為頂點的正方形最少有11個．【思路引導】由題意，不去點的話共有21個正方形，要留下的正方形盡量少，先分析去掉哪個棋子，減少的正方形最多，分類討論，即可得出結論．【完整解答】解：由題意，不去點的話共有21個正方形，要留下的正方形盡量少，先分析去掉哪個棋子，減少的正方形最多．根據對稱性把棋子分成三類，分別以A，B，C為代表，如圖若去掉A，會少3個正方形，1個最小正方形和下面的兩個：若去掉B，會少5個正方形，2個最小正方形和下面的3個：若去掉C，會少5個正方形，3個最小正方形和下面的兩個：在以上分析的基礎上，發現去掉一個B類棋子和一個C類棋子時，至多可以減少10個正方形，還有11個正方形，構造發現，去掉下面C，D兩個棋子即可．【考察注意點】本題考查最大與最小，考查圖形問題，考查分類討論的數學思想，要留下的正方形盡量少，先分析去掉哪個棋子，減少的正方形最多是關鍵．27．（6分）如圖，是由9個點組成的點陣，那么以圖中4個點為頂點的正方形有6個；以圖中3個點為頂點的直角三角形有44個．【思路引導】先把這9個點連成一個大正方形，其中小正方形有4個，中間斜著的有1個正方形，再加上大正方形，一共有6個；先看正方形中，每個正方形中都能出現4個等腰直角三角形，一共有4×6＝24個，最大的正方形兩條對角線可以分成4個大等腰直角三角形，所以一共有24+4＝28個等腰直角三角形；再看長方形中，長方形一共有4個，兩個橫著的兩個豎著的：每個長方形中都能連出4個直角三角形，一共有4×4＝16個，據此再加起來即可解答問題．【完整解答】解：圖中有4個小正方形，加上斜著的1個和最大的1個，一共有6個正方形；（2）正方形中：每個正方形連接兩條對角線都可以組成4個等腰直角三角形，一共有6個正方形，所以一共有4×6＝24個等腰直角三角形；最大的正方形兩條對角線可以分成4個大等腰直角三角形，所以一共有24+4＝28個等腰直角三角形；長方形一共有4個，兩個橫著的兩個豎著的：每個長方形中都能連出4個直角三角形，一共有4×4＝16個，所以28+16＝44（個）答：以圖中4個點為頂點的正方形有6個；以圖中3個點為頂點的直角三角形有44個．故答案為：6；44．【考察注意點】此題考查了圖形的計數，要注意分類計數，做到不重不漏．28．（6分）數圖形，如圖是由20個小正方形拼成的圖形，其中共有多少個長方形？要求寫出關鍵的解題推理過程．【思路引導】本題計數要注