第五章三角函數(shù)5.2.1三角函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.2.已知角α終邊上一點(diǎn),會(huì)求角α的各三角函數(shù)值.3.能利用三角函數(shù)的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).4.通過(guò)對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.－32°1.初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的概念.在Rt△OMP中，∠OMP=90°，則

2.初中學(xué)習(xí)的30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值.α30°45°60°sinαcosαtanα

1溫故知新3.上節(jié)可學(xué)習(xí)的弧度制

正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)正角零角負(fù)角任意角的集合實(shí)數(shù)集R?在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)，已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù).溫故知新

如圖，在單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化.

如圖，

以角的頂點(diǎn)O(單位圓的圓心)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角的始邊(射線OA)為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).現(xiàn)設(shè)α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P為(x,y).射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP.yx(1,0)(x,y)新知探究單位圓：半徑r=1的圓

yx(1,0)(x,y)

知識(shí)點(diǎn)1

三角函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)1

三角函數(shù)的概念1.概念

前提如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與

相交于點(diǎn)P(x,y)

定義正弦函數(shù)把

叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα函數(shù)值y是角α的終邊與所在單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

余弦函數(shù)把

叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即

正切函數(shù)把

叫做α的正切,記作tanα,即

=tanα(x≠0即

α≠+kΠ（k∈Z))

三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)單位圓

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xx=cosα三角函數(shù)以角為自變量2.三角函數(shù)的解析式和定義域如下表所示

類型解析式定義域正弦函數(shù)y=sinx

余弦函數(shù)y=cosx

正切函數(shù)y=tanx

即角x的終邊不能在y軸上

RR注意這里的x，y不代表橫縱坐標(biāo)，代表自變量和函數(shù)值探究點(diǎn)一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值yx(x,y)

知識(shí)點(diǎn)1

三角函數(shù)的概念1.概念

如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，若角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(不與原點(diǎn)重合)不是單位圓上一點(diǎn),則

yx(x,y)三角函數(shù)的第二定義過(guò)關(guān)自診1.三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上的位置是否有關(guān)?提示

三角函數(shù)值是比值,它的大小與點(diǎn)P在角α終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).過(guò)關(guān)自診2.[北師大版教材習(xí)題]已知角β的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-3,-1),則sinβ=

,cosβ=

.

探究點(diǎn)一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【例1】

求解下列各題:(1)若角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P(x≠0),則sinα=

,cosα=

,tanα=

;

規(guī)律方法利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值的幾種情況(1)若已知角,則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求出各三角函數(shù)值.(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(x≠0)是單位圓上的點(diǎn),則sin

α=y,cos

α=x,(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(不與原點(diǎn)重合)不是單位圓上一點(diǎn),則先求

(4)若已知角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù),則需進(jìn)行分類討論.

(3)已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,則cosα-sinα=

.

解析

∵角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,設(shè)終邊上一點(diǎn)P(x,y),|OP|=r≠0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).不妨令x=-3,則y=-4,知識(shí)點(diǎn)2

三角函數(shù)值的符號(hào)sinα,cosα,tanα在各象限的符號(hào)如下:記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”思考：終邊在坐標(biāo)軸上的三角函數(shù)值呢？（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）＋－-1OxyOxyOxy00101-100不存在0不存在＋－－－＋＋－－＋＋名師點(diǎn)睛正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y的符號(hào),點(diǎn)P在x軸上方為正,下方為負(fù);余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的符號(hào),在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);正切函數(shù)值符號(hào)取決于點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)符號(hào),同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù).探究點(diǎn)二三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用【例2】

(1)若sinαtanα<0,且

<0,則角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號(hào),從而α為第二或第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α異號(hào),從而α為第三或第四象限角.綜上可知,α為第三象限角.故選C.(2)判斷下列各式的符號(hào):①sin105°cos230°;解

∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0,∴sin

105°cos

230°<0.規(guī)律方法判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略(1)基礎(chǔ):準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限;(2)關(guān)鍵:準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào);(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫單位,不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限的符號(hào).變式訓(xùn)練2[北師大版教材習(xí)題]在單位圓中,確定下列三角函數(shù)值的符號(hào):解

(1)因?yàn)?51°角的終邊在第二象限,所以sin

151°>0.(4)因?yàn)?71°角的終邊在第四象限,所以cos

271°>0.知識(shí)點(diǎn)3

誘導(dǎo)公式一(1)語(yǔ)言表示:終邊相同的角的

三角函數(shù)的值相等.

(2)式子表示:①sin(α+k·2π)=

,

②cos(α+k·2π)=

,

③tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

tan(α+k·π)=

,其中k∈Z.同一

sinαcosαtanαtanα角的同一三角函數(shù)值相同終邊相同終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)相同過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)一個(gè)三角函數(shù)值能找到無(wú)數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng).(

)(2)若兩個(gè)角α,β的正弦值相等,那么α=β.(

)√×2探究點(diǎn)三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例3】

求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);解

原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.規(guī)律方法誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用策略(1)誘導(dǎo)公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等;(2)利用它可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0~2π范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值,以便實(shí)現(xiàn)把角大化小,負(fù)化正.變式訓(xùn)練3求下列三角函數(shù)值:本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)三角函數(shù)的定義及求法.(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).(3)公式一:終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論.3.常見誤區(qū):(1)三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān),與終邊上的點(diǎn)無(wú)關(guān);成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345B123452.若角α的終邊過(guò)點(diǎn)(5,12),則cosα-sinα=(

)C123453.(多選題)若sinθcosθ>0,則θ是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因?yàn)閟in

θcos

θ>0,所以sin

θ<0,cos