高職實用數(shù)學(xué)第2章導(dǎo)數(shù)與微分1函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

2反函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（當(dāng)分母不為零時）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且有以下法則：函數(shù)的求導(dǎo)法則

1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則（1）（3），（其中C為常數(shù)）．（4）（2）下面給出法則（2）的證明，其余的留給讀者自證．所以證設(shè)，有

法則（1）、（2）可以推廣到有限個函數(shù)的和或積的情形，如令，得即例1

設(shè)，求．解

例2設(shè)，求．解．例3設(shè)，求．解

例4設(shè)，求．解

即類似地有

例5設(shè)，求．解

即類似地有

2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有不為零的導(dǎo)數(shù)，在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也存在，并且有，或此定理的結(jié)論也可寫成或則其反函數(shù)所以，在上式中令即得結(jié)論．證因為當(dāng)時，有，又有

利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以求出反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．,

時，.例6

證明當(dāng)證因為()的反函數(shù)函數(shù)是所以根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)公式得，同樣可求出其它反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：一般的，對任意的實數(shù)在2.1.3的例2中，我們證明了．．例7

證明當(dāng)時，證因為與互為反函數(shù)函數(shù)，于是特別，令即得．，有求導(dǎo)公式．，有例7證明對任意的實數(shù)證

例8證明證

定理3設(shè)在x

處可導(dǎo)，而函數(shù)在對應(yīng)的處可導(dǎo)，則在x處可導(dǎo)，且有2.3復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或．

,.2.3.1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．證給自變量以增量,相應(yīng)地函數(shù)也有增量和Δy，下面僅在的情況下給出證明（可能為零，結(jié)論也是對的，但證明比較復(fù)雜）．我們有因為可導(dǎo)，所以當(dāng)時，有．于是，在上式中令

，得．

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)．

解可看作是由復(fù)合而成，因此，求.．例1

設(shè)解

是由和復(fù)合而成的，有例2

設(shè)，求．

例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）解（1）（2）（3）（4）（3）（4）例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）．解（1）；（2）1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.3.2初等函數(shù)的求導(dǎo)法則（5）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若可導(dǎo)2.求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則：（2）（1）（3）（4）則例5

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（2）（3）（1）解（1）（2）（3）因為所以．曲線在的切線斜率是多少？解所以，在處曲線的切線斜率為解

方法1函數(shù)可以寫成所以例11求

將函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，即．兩邊對求導(dǎo)，注意左端的是的