上海市行知中學2020學年第一學期期中高二年級數學學科試卷11.12考試時間：120分鐘滿分：150分一、填空題（本題滿分54分，1-6每題4分，7-12每題5分）1.和的等比中項等于_________.2.行列式中，的代數余子式的值是_________.3.已知向量，，則與向量相等的位置向量的坐標為_________.4.過點，且與向量垂直的直線方程是_________.（用一般式表示）5.關于、的二元線性方程組的增廣矩陣經過變換，最后得到的矩陣為，則_________.6.已知變量、滿足約束條件，則的最小值為_________.7.已知直線，過點的直線與直線夾角為，則直線的直線方程是_________.8.不等式表示的平面區域面積是_________.9.已知點，點，直線：與線段有一個公共點，則實數的取值范圍是_________.10.已知點，點、分別是軸和直線上的兩個動點，則的最小值等于_________.11.如圖，等邊是半徑為的圓的內接三角形，是邊的中點，是圓外一點，且，當繞圓心旋轉時，則的取值范圍為_________.12.設數列的前項和為，，（），（,）．且、均為等差數列，則_________.二、選擇題（本題滿分20分，共4小題，每小題5分）13.用數學歸納法證明：的過程，從“到”左端需增加的代數式為………（）A.B.C.D.14.已知，則與的夾角為（）A.B.C.D.15.已知是實數等比數列前項和，則在數列中（）A.必有一項為零B.可能有無窮多項為零C.至多一項為零D.任何一項均不為零P（第16題圖）16.如圖,四邊形是正方形，延長至，使得.若動點從點出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中，下列判斷P（第16題圖）正確的是……………（）（A）滿足的點必為的中點.（B）滿足的點有且只有一個.（C）的最大值為3.（D）的最小值不存在.三、解答題（本大題滿分76分，共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號的規定區域內寫出必要的步驟.）17.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）已知，，，且滿足.（1）求實數的值；（2）求與垂直的單位向量的坐標.18.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）已知直線.（1）若直線過點，試寫出直線的一個方向向量；（2）若實數，求直線的傾斜角的取值范圍.19.(本題滿分14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分)2019年某公司投資8千萬元啟動休閑旅游項目.規劃從2020年起，在今后的若千年內，每年繼續投資2千萬元用于此項目.2019年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎上增長50%，記2019年為第1年，為第1年至此后第()年的累計利潤(注:含第年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位:千萬元)，且當為正值時，認為該項目贏利.（1）試求;（2）根據預測，該項目將從哪年開始并持續贏利?請說明理由，20.（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）數列，，數列前項和為.，.（1）求數列的通項公式；（2）若（為非零實數），求；（3）若對任意的，都存在，使得成立，求實數的最大值.21.（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）設為不等于的正常數，各項均為正，首項為，且前項和為，已知對任意的正整數，當時，恒成立.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是首項為，公差為的等差數列，存在一列數：恰好使得且，求數列的通項公式；（3）當時，設，問數列中是否存在不同的三項恰好成等差數列?若存在，求出所有這樣的三項，若不存在，請說明理由上海市行知中學2020學年第一學期期中高二年級數學學科試卷11.12考試時間：120分鐘滿分：150分一、填空題（本題滿分54分，1-6每題4分，7-12每題5分）1.和的等比中項等于_________.【答案】2.行列式中，的代數余子式的值是_________.【解析】6的代數余子式為.3.已知向量，，則與向量相等的位置向量的坐標為_________.【答案】4.過點，且與向量垂直的直線方程是_________.（用一般式表示）【解析】所求直線方程為，即.5.關于、的二元線性方程組的增廣矩陣經過變換，最后得到的矩陣為，則_________.【答案】6.已知變量、滿足約束條件，則的最小值為_________.【解析】作出可行域，如圖，最優解為，. 7.已知直線，過點的直線與直線夾角為，則直線的直線方程是_________.【答案】或.8.不等式表示的平面區域面積是_________.【解析】不等式表示的平面區域為圖中的菱形區域，.9.已知點，點，直線：與線段有一個公共點，則實數的取值范圍是_________.【解析】代入得即或10.已知點，點、分別是軸和直線上的兩個動點，則的最小值等于_________.【解析】作點關于軸的對稱點，則，最小值即為到直線的距離，，所以的最小值為.11.如圖，等邊是半徑為的圓的內接三角形，是邊的中點，是圓外一點，且，當繞圓心旋轉時，則的取值范圍為_________.【解析】法一：不妨以為原點，方向為軸正方形建系，因為，所以，因為，設，所以.法二：向量分解，觀察到，，又因為，所以12.設數列的前項和為，，（），（,）．且、均為等差數列，則_________.【解析】因為，，所以①，因為分別構成等差數列，所以②，③，④，由②+③，得，而是等差數列，所以必為常數，所以，或，由①得，即，因為，所以，因為，所以，即或（舍去），所以，所以，同理，由③+④得，，所以或，因為，而，所以，即或（舍去），所以，所以，所以，所以.二、選擇題（本題滿分20分，共4小題，每小題5分）13.用數學歸納法證明：的過程，從“到”左端需增加的代數式為………（D）A.B.C.D.【解析】增加的代數式是，故選D.14.已知，則與的夾角為（C）A.B.C.D.【答案】C15.已知是實數等比數列前項和，則在數列中（B）A.必有一項為零B.可能有無窮多項為零C.至多一項為零D.任何一項均不為零【解析】當公比時，，即存在無窮多項為0，故選B.P（第16題圖）16.如圖,四邊形是正方形，延長至，使得.若動點從點出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中，下列判斷P（第16題圖）正確的是……………（C）（A）滿足的點必為的中點.（B）滿足的點有且只有一個.（C）的最大值為3.（D）的最小值不存在.【解析】如圖建系，設正方形的邊長為1，則，所以，當時，，此時點和重合，不是的中點，故A錯誤；當時，，此時點和重合，滿足，當時，，此時點為中點，滿足，故點不唯一，故B錯誤；當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，綜上，，故C正確，D錯誤，故選C.三、解答題（本大題滿分76分，共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號的規定區域內寫出必要的步驟.）17.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）已知，，，且滿足.（1）求實數的值；（2）求與垂直的單位向量的坐標.【解析】（1），，因為，所以，解得；（2）與垂直的向量為和，故所求單位向量為和.18.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）已知直線.（1）若直線過點，試寫出直線的一個方向向量；（2）若實數，求直線的傾斜角的取值范圍.【解析】（1）把代入直線的方程，得，解得，此時直線的方程為，故直線的一個方向向量為；（2）因為，所以直線的斜率所以傾斜角.19.(本題滿分14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分)2019年某公司投資8千萬元啟動休閑旅游項目.規劃從2020年起，在今后的若千年內，每年繼續投資2千萬元用于此項目.2019年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎上增長50%，記2019年為第1年，為第1年至此后第()年的累計利潤(注:含第年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位:千萬元)，且當為正值時，認為該項目贏利.（1）試求;（2）根據預測，該項目將從哪年開始并持續贏利?請說明理由，【解析】（1）由題意得第1年至此后第年的累計投入為（千萬元），第1年至此后第年的累計凈收入為（千萬元），所以（千萬元）；（2）令，當時，，所以時，單調遞減，當時，，所以時，單調遞增，又，所以該項目從第8年起開始并持續盈利.20.（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）數列，，數列前項和為.，.（1）求數列的通項公式；（2）若（為非零實數），求；（3）若對任意的，都存在，使得成立，求實數的最大值.【解析】（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以，所以；（2），記，當時，，此時不存在，當時，，當時，，當時，，當時，不存在；（3）由題意得對有解，因為，所以當時，，當時，，所以，所以對恒成立，即對恒成立，因為，所以，所以，所以實數的最大值是.21.（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）設為不等于的正常數，各項均為正，首項為，且前項和為，已知對任意的正整數，當時，恒成立.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是首項為，公差為的等差數列，存在一列數：恰好使得且，求數列的通項公式；（3）當時，設，問數列中是否存在不同的三項恰好成等差數列?若存在，求出所有這樣的三項，若不存在，請說明理由【解析】（1）因為當時，恒成立，所以當時，令，得，即，又，適合，所以；（2）因為數列是首項為1，公差為3的等差數列，所以，所以，所以，因為，所以，解得，所以；（3）當時，，因為，所以數列是遞減數列，假設數列中存在三項成等差數列，其中，則，即，當時，，若，則（數列是遞減數列），矛盾，所以，所以，因為數列是遞減數列，，而，故只能，解得，此時，故存在成等差數列.【注】填空12選自2020屆閔行一模21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數列滿足，（），（）．（1）當時，寫出所有可能的值；（2）當時，若且對任意恒成立，求數列的通項公式；（3）記數列的前項和為，若、分別構成等差數列，求．【解析】（1）當時，，即是以為首項、為公差的等差數列，所以……2分可得：，，所以，，所以或或或.……………4分（2）當時，，即是首項為、公差為的等差數列.所以，所以，,因為且，所以，…6分所以,所以,………8分所以.………10分（3）由已知得…………………=1\*GB3①若、分別構成等差數列，則…=2\