第一次質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合,則(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用兩個集合的交集的定義求得M∩N．【詳解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，則M∩N={x|-1≤x＜2}，故選B．【點睛】本題主要考查兩個集合交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．2.歐拉公式是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，若復(fù)數(shù)的共輒復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給定義求出，即可得到其共軛復(fù)數(shù).【詳解】依題意可得，所以.故選：D3.在中，三邊，，，則的值為（）A.19 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理求出，再由平面向量的數(shù)量積求解.【詳解】由余弦定理可得,所以.故選：D.4.已知函數(shù)與，則下列說法錯誤的是（）A.與存在相同的對稱軸B.與存在相同的對稱中心C.與的值域相同D.與在上有相同的單調(diào)性【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo)，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域性質(zhì)、單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于，令，得的對稱軸為，令，得的對稱軸為，顯然與有相同的對稱軸，A正確；對于，令，得的對稱中心為，令，得的對稱中心為，由得，顯然不存在整數(shù)使成立，故與沒有相同的對稱中心，B錯誤；對于C，與的值域顯然均為，C正確；對于D，當(dāng)時由上遞增，由在上遞減，由在上遞增，由在上遞減，與均在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：B5.若為偶函數(shù)，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由求出，代入，檢驗是否滿足題意.【詳解】的自變量需滿足，解得：或，若為偶函數(shù)，則，所以，解得：，所以，.所以為偶函數(shù)，滿足題意.故選：B.6.已知某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人.現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為（）A.0.42 B.0.46 C.0.58 D.0.62【答案】B【解析】【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件B為“選出的運動員能晉級”，為“選出的運動員是一級運動員”，為“選出的運動員是二級運動員”，為“選出的運動員是三級運動員”，則，，，又根據(jù)題意可得，，，由全概率公式可得：，任選一名運動員能夠晉級的概率為0.46.故選：B.7.已知橢圓和拋物線相交于、兩點，直線過拋物線的焦點，且，橢圓的離心率為．則拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為（）．A.； B.；C.； D.；【答案】B【解析】【詳解】由橢圓與拋物線的對稱性知，軸，且，故根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．所以橢圓過點，又因為橢圓離心率為，因此，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．8.已知直線是曲線的切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，求得，，得到，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.【詳解】設(shè)直線與曲線的切線點的橫坐標(biāo)為，由，可得，則，可得，所以，由，，則，令，可得，令，即，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時，，所以，即的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.若隨機變量，且，則B.若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1C.若隨機事件A，B滿足：，則事件A與B相互獨立D.已知y關(guān)于x的回歸直線方程為，則樣本點的殘差為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性、線性相關(guān)性的性質(zhì)，結(jié)合獨立事件的定義、殘差的公式逐一判斷即可.【詳解】因為，且，所以有，因此，所以選項A正確；根據(jù)線性相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，因此兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，所以選項B不正確；由，顯然，因此事件A與B相互獨立，所以選項C正確；在中，令，得，因此樣本點的殘差為，所以選項D正確，故選：ACD10.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.的圖象關(guān)于對稱C. D.【答案】AC【解析】分析】根據(jù)偶函數(shù)與奇函數(shù)得到對稱，并得到周期，結(jié)合以上信息即可得到.【詳解】為偶函數(shù)，關(guān)于對稱，根據(jù)圖像變換關(guān)于對稱，故A正確；為奇函數(shù)，關(guān)于中心對稱，根據(jù)圖像變換關(guān)于中心對稱，故B錯誤；由以上分析得的周期為，即，故C正確；關(guān)于中心對稱，，，關(guān)于對稱，，,，是周期為的函數(shù)，，，，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.點為曲線的對稱中心C.若過點可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是D.若存在極值點，且，其中，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，求導(dǎo)可得對x∈0,+∞恒成立，可求以的取值范圍判斷A；對于B，通過平移可得，令，可得?x為奇函數(shù)可判斷B；對于C，將代入得到的解析式，根據(jù)過某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法求解即可判斷C；對于D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，先分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時可得的表達(dá)式，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，若在0,+∞上單調(diào)遞增，則f′x≥0所以對x∈0,+∞所以對x∈0,+∞所以，所以的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由，可得，又，所以，令，又，所以?x關(guān)于原點對稱，所以點1,f1為曲線y=fx的對稱中心，故對于C，因為，，所以，所以，設(shè)切點為，則切線的斜率，化簡得，由條件可知該方程有三個實根，所以有三個實根，記，所以，令，解得或，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，因為過點可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項C正確；對于D，因為，所以，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，由，解得或，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因為存在極值點，所以，得，令，所以，因為，于是，又，所以化簡得：，因為，所以，于是，.所以，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查切線方程及函數(shù)對稱性，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對稱性解決D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足：，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列的定義判定數(shù)列為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，寫出通項公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式，從而得解.【詳解】∵，∴又∵，∴數(shù)列為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，即,∴,故答案為：.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.【詳解】令，對稱軸為，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，∴且，即且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先作出函數(shù)圖象，然后驗證時的情況，對于，先驗證的情況，對于，利用利用根的分布，結(jié)合函數(shù)的圖象列不等式求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：令，則方程有兩個不同實根，當(dāng)時，方程的根為，此時無實根，不符合題意，舍去；當(dāng)時，若方程有兩相等實根，則，解得或，當(dāng)時，方程的根，此時無根，不符合題意，舍去；當(dāng)時，方程的根，此時有兩個不同實根，符合題意；若方程有兩個不同實根，設(shè)為，所以，解得或同時有或或所以或或或解得.綜上或故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意寫出函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得其最值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論思想，可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，則由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．【小問2詳解】由題意可得．當(dāng)時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因為不等式恒成立，所以，解得．當(dāng)時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．16.在銳角中，三個內(nèi)角所對的邊分別為，若，（1）若，求的大小.（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理，化簡求得，結(jié)合，得到，即可求解；（2）由，得到，且，根據(jù)為銳角三角形，求得，結(jié)合正弦定理得，即可求解.【小問1詳解】解：由，可得，所以，即因為，可得，又因為，可得，所以或，所以或，當(dāng)時，因為，此時（舍去）；當(dāng)時，因為，此時，符合題意，綜上可得，的大小為.【小問2詳解】由（1）得，則或，當(dāng)時，，與矛盾；當(dāng)時，且，又因為為銳角三角形，可得，解得，由正弦定理得，所以的取值范圍為.17.如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點E是棱的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由條件可得平面，進(jìn)而得到，再結(jié)合，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為側(cè)面是矩形，所以，又因為側(cè)面?zhèn)让?，平面平面，所以平面，因為平面，所?菱形中，，所以是等邊三角形，又E是中點，所以，得，又，，平面，所以平面.【小問2詳解】解：由（1），如圖，以B為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，因此，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=x由，得，由，得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x由，得，由，得，令，得，.所以二面角的余弦值為.18.某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進(jìn)行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.【答案】（1），150（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計算即得；（2）理解題意，判斷，分別計算的所有可能指的概率，列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望即得；（3）根據(jù)條件概率的計算公式可求該概率.【小問1詳解】依題意得解得.所求平均數(shù)為.【小問2詳解】因汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機選擇4天，相當(dāng)于一個4重伯努利試驗，故，則，01234故.小問3詳解】設(shè)為“小明在首次抽獎抽出銀卡”，則，設(shè)為“小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡”，則，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應(yīng)用，屬于較難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件，確定伯努利概型并進(jìn)行計算，設(shè)出相應(yīng)的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計算.19.已知雙曲線，點在上．按如下方式構(gòu)造點（）；過點作斜率為的直線與的左支交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，記點的坐標(biāo)為．（1）求點的坐標(biāo)；（2）記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）為坐標(biāo)原點，分別為線段，的中點，記，的面積分別為，求的值．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由點可得的值，求出的方程后聯(lián)立雙曲線可得，即可得，再借助的方程后聯(lián)立雙曲線可得，即可得；（2）聯(lián)立與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合點代入可得，再利用等比數(shù)列定義與判定定理