2023屆甘肅省蘭州新區舟曲中學高三第一次聯考數學試題（文理）試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．2．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或3．執行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．4．函數（），當時，的值域為，則的范圍為（）A． B． C． D．5．某個小區住戶共200戶，為調查小區居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為()A．10 B．50 C．60 D．1406．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．7．設數列的各項均為正數，前項和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．638．已知函數（），若函數有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．10．若復數滿足，則()A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．驗證碼就是將一串隨機產生的數字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網站驗證，驗證成功后才能使用某項功能.很多網站利用驗證碼技術來防止惡意登錄，以提升網絡安全.在抗疫期間，某居民小區電子出入證的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的五個數字隨機組成.將中間數字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數字是7的概率為__________.14．已知為雙曲線：的左焦點，直線經過點，若點，關于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．15．若四棱錐的側面內有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.16．已知橢圓Г：，F1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f（x）ax﹣lnx（a∈R）.（1）若a＝2時，求函數f（x）的單調區間；（2）設g（x）＝f（x）1，若函數g（x）在上有兩個零點，求實數a的取值范圍.18．（12分）已知（1）當時，判斷函數的極值點的個數；（2）記，若存在實數，使直線與函數的圖象交于不同的兩點，求證：．19．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.21．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內，求的面積.22．（10分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數方程為（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數的性質求出其最大值為,進而得出結論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結合了概率?二次函數等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.2．C【解析】

先根據弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當直線的方程為，聯立，解得和，所以；同理，當直線的方程為.，綜上，或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.3．A【解析】

列出每一步算法循環，可得出輸出結果的值.【詳解】滿足，執行第一次循環，，；成立，執行第二次循環，，；成立，執行第三次循環，，；成立，執行第四次循環，，；成立，執行第五次循環，，；成立，執行第六次循環，，；成立，執行第七次循環，，；成立，執行第八次循環，，；不成立，跳出循環體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.4．B【解析】

首先由，可得的范圍，結合函數的值域和正弦函數的圖像，可求的關于實數的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因為，所以，若值域為，所以只需，∴.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的值域，熟悉正弦函數的單調性和特殊角的三角函數值是解題的關鍵，側重考查數學抽象和數學運算的核心素養.5．C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區內用水量超過15立方米的住戶戶數為，故選C6．B【解析】

取的中點，連接、，推導出，設設球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設球心為，和的中心分別為、.由球的性質可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結構，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7．D【解析】

根據，得到，即，由等比數列的定義知數列是等比數列，然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，又因為，所以，.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8．A【解析】

分段求解函數零點，數形結合，分類討論即可求得結果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當時與有兩個交點，故只需當時，與有一個交點即可.若當時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數零點的個數求參數范圍，屬中檔題.9．B【解析】

根據函數單調性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數的單調性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數,故，錯誤；對D,因為在為減函數，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質以及指數函數的單調性，屬基礎題．10．C【解析】

化簡得到，，再計算復數模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數模，意在考查學生的計算能力.11．C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12．D【解析】

結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數以及中間數字是的事件數，根據古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據“鐘型驗證碼”中間數字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數字可能是.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.所以該驗證碼的中間數字是7的概率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查分類加法計數原理、分類乘法計數原理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.14．【解析】

由點，關于直線對稱，得到直線的斜率，再根據直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據中點在直線上，即可求出結果，屬于常考題型.15．【解析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數值，屬于中檔題.16．【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）（2）（3，2e]【解析】

（1）當a＝2時，求出，求解，即可得出結論；（2）函數在上有兩個零點等價于a＝2x在上有兩解，構造函數，，利用導數，可分析求得實數a的取值范圍.【詳解】（1）當a＝2時，定義域為，則，令，解得x1，或x1（舍去），所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，（2）設，函數g（x）在上有兩個零點等價于在上有兩解令，，則，令，，顯然，在區間上單調遞增，又，所以當時，有，即，當時，有，即，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，時，取得極小值，也是最小值，即，由方程在上有兩解及，可得實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、等價轉化思想以及數形結合思想，考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.18．（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數可得,即可求證.【詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數沒有極值點.（2）由題,,若存在實數,使直線與函數的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數求函數的極值點,考查利用導函數解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.如圖所示：則，，，.∴，，.設為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標系是解題關鍵，屬于中檔題.20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.21．（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯立