PAGE9.1.2分層隨機抽樣9.1.3獲得數據的途徑素養目標·定方向素養目標學法指導1．了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍.(數學抽象)2．了解分層隨機抽樣的必要性，駕馭各層樣本量比例安排的方法.(數據分析)3．結合詳細實例，駕馭分層隨機抽樣的樣本均值.(數學運算)4．知道獲得數據的基本途徑，包括：統計報表和年鑒、社會調查、試驗設計、普查和抽樣、互聯網等.(數據分析)1．對比簡潔隨機抽樣的特點，感受分層隨機抽樣中“層”的含義.2．通過詳細的案例，體會層次的差異性，并感受“層”與“層”之間的異同以及比例安排的必要性.3．在簡潔隨機抽樣的基礎上，深化對分層隨機抽樣樣本平均數的理解.必備學問·探新知學問點1分層隨機抽樣一般地，按__一個或多個__變量把總體劃分成若干個__子總體__，每個個體__屬于且僅屬于__一個子總體，在每個子總體中獨立地進行__簡潔隨機抽樣__，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為__總樣本__，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.(1)每一個子總體稱為層，在分層隨機抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的安排方式為__比例安排__.(2)假如總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，兩層的總體平均數分別為eq\o(X,\s\up6(－))，eq\o(Y,\s\up6(－))，總體平均數為eq\o(W,\s\up6(－))，樣本平均數為eq\o(w,\s\up6(－)).則eq\o(w,\s\up6(－))＝__eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))__.eq\o(W,\s\up6(－))＝__eq\f(M,M＋N)eq\o(X,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(Y,\s\up6(－))__.(3)在比例安排的分層隨機抽樣中，可以干脆用__樣本平均數eq\o(w,\s\up6(－))__估計__總體平均數eq\o(W,\s\up6(－))__.學問點2獲得數據的途徑獲得數據的基本途徑有__通過調查獲得數據__、__通過試驗獲得數據__、__通過視察獲得數據__、__通過查詢獲得數據__等.[學問解讀]1．分層隨機抽樣的實施步驟第一步，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體；其次步，在每個子總體中獨立地進行簡潔隨機抽樣；第三步，把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.2．分層隨機抽樣適用于總體中個體之間差異較大的情形3．在比例安排的分層抽樣中需留意兩點(1)抽樣比＝eq\f(樣本量,總樣本量).(2)可以干脆用樣本平均數估計總體平均數.4．分層隨機抽樣下總體平均數的估計在分層隨機抽樣中，假如層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數和樣本平均數分別為eq\o(X,\s\up6(－))＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\i\su(i＝1,M,X)i，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i.第2層的總體平均數和樣本平均數分別為eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.總體平均數和樣本平均數分別為eq\o(W,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,M,X)i＋\i\su(i＝1,N,Y)i,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,m,x)i＋\i\su(i＝1,n,y)i,m＋n).在比例安排的分層隨機抽樣中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\o(w,\s\up6(－)).因此，在比例安排的分層隨機抽樣中，我們可以干脆用樣本平均數eq\o(w,\s\up6(－))估計總體平均數eq\o(W,\s\up6(－)).關鍵實力·攻重難題型探究題型一對分層隨機抽樣概念的理解典例1(1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的看法，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適(D)A．抽簽法 B．隨機數C．簡潔隨機抽樣 D．分層隨機抽樣(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體被等可能抽取，必需進行(C)A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．全部層按同一抽樣比等可能抽樣D．全部層抽取的個體數量相同[分析]是否適合用分層隨機抽樣，首先推斷總體是否可以“分層”.[解析](1)總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣.(2)為了保證每個個體等可能的被抽取，分層隨機抽樣時必需在全部層都按同一抽樣比等可能抽取.[歸納提升]1．運用分層抽樣的前提分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體，而層內個體間差異較小.2．運用分層隨機抽樣應遵循的原則(1)將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；(2)分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽取，需遵循在各層中進行簡潔隨機抽樣，每層樣本量與每層個體數量的比等于抽樣比.【對點練習】?下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是(B)A．從10名同學中抽取3人參與座談會B．某社區有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間D．從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量[解析]A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡潔隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異但個數較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣.題型二分層隨機抽樣的應用典例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人.為了了解這個單位職工與身體狀態有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應當怎樣抽取？[解析]用分層隨機抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層.按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工.(2)確定每層抽取個體的個數.抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人).(3)在各層分別按簡潔隨機抽樣抽取樣本.(4)匯總每層抽樣，組成樣本.[歸納提升]分層隨機抽樣的步驟【對點練習】?某市的3個區共有中學學生20000人，且3個區的中學學生人數之比為2︰3︰5，現要從全部學生中抽取一個容量為200的樣本，調查該市中學學生的視力狀況，試寫出抽樣過程.[解析]①由于該市中學學生的視力有差異，按3個區分成三層，用分層隨機抽樣來抽取樣本.②確定每層抽取個體的個數，在3個區分別抽取的學生人數之比也是2︰3︰5，所以抽取的學生人數分別是200×eq\f(2,2＋3＋5)＝40；200×eq\f(3,2＋3＋5)＝60；200×eq\f(5,2＋3＋5)＝100．③在各層分別按隨機數法抽取樣本.④綜合每層抽樣，組成容量為200的樣本.題型三分類抽樣的相關計算典例3(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層隨機抽樣調查，假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43，則這四個社區駕駛員的總人數N為(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數之比為5︰3︰2，若用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取__20__個個體.(3)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數為8，則該樣本的平均數為__6__.[解析](1)因為甲社區有駕駛員96人，并且在甲社區抽取的駕駛員的人數為12人，所以四個社區抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總人數為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人).(2)∵A，B，C三層個體數之比為5︰3︰2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層隨機抽樣應從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個)個體.(3)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6．[歸納提升](1)進行分層隨機抽樣的相關計算時，常用到的兩個關系①eq\f(樣本量n,總體的個數N)＝eq\f(該層抽取的個體數,該層的個體數)；②總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.(2)樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【對點練習】?(1)某公司生產三種型號的轎車，產量分別是1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產品質量，現用分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取__6__輛、__30__輛、__10__輛.(2)在本例(2)中，若A，B，C三層的樣本的平均數分別為15,30,20，則樣本的平均數為__20.5__.[解析](1)三種型號的轎車共9200輛，抽取樣本量為46輛，則按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽樣，所以依次應抽取1200×eq\f(1,200)＝6(輛)，6000×eq\f(1,200)＝30(輛)，2000×eq\f(1,200)＝10(輛).(2)由題意可知樣本的平均數為eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5．易錯警示忽視抽樣的公允性致錯典例4某單位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，為了調查他們的身體狀況，需從中抽取一個樣本量為36的樣本，則下列抽樣方法適合的是__②__.①簡潔隨機抽樣；②干脆運用分層隨機抽樣；③先從老年人中剔除1人，再用分層隨機抽樣.[錯解]③[錯因分析]由于按eq\f(36,163)抽樣，無法得到整數解，因此先剔除1人，將抽樣比變為eq\f(36,162)＝eq\f(2,9).若從老年人中隨機地剔除1人，則老年人應抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，中年人應抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人應抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，從而組成樣本量為36的樣本.事實上，若用簡潔隨機抽樣法先從老年人中剔除1人，則老年人中每個人被抽到的機會明顯比中年人、青年人中每個人被抽到的機會小了，這不符合隨機抽樣的特征——每個個體入樣的機會都相等.[正解]因為總體由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層隨機抽樣.因為總人數為28＋54＋81＝163，樣本量為36，所以抽樣比為eq\f(36,163).因此，從老年人、中年人和青年人中應抽取的人數分別為eq\f(36,163)×28≈6，eq\f(36,163)×54≈12，eq\f(36,163)×81≈18．[誤區警示]分層隨機抽樣的一個很重要的特點是每個個體被抽到的機會是相等的.當依據比例計算出的值不是整數時，一般采納四舍五入的方法取值.若四舍五入后得到的樣本量與要求的不盡相同