第十一章無窮級數第三節任意項級數及其審斂一、交錯級數及其審斂法二、絕對收斂與條件收斂三、小結一、交錯級數及其審斂法其形式為定義1

如果級數的各項是正負交錯的，那么稱該級數為

交錯級數.其中或如：那么交錯級數收斂，且其和，其余項的絕對值．如果交錯級數滿足以下兩個條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以數列是單調增加的又所以數列是有界的如果交錯級數滿足以下兩個條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以級數收斂于和，且余項滿足收斂的兩個條件,也為交錯級數那么交錯級數收斂，且其和，其余項的絕對值．解：因為例1判定交錯級數的斂散性．且由萊布尼茨定理可知是收斂的，且其和，如果取前n項的和作為s的近似值，所產生的誤差．解：該級數為交錯級數，由于一般項極限例2判定級數的斂散性．不存在因此，可知發散．例3判定級數的斂散性．分析：作輔助函數，顯然當時，在為單調減函數求解：于是，有下式成立：（1）故在為單調減函數（2）由萊布尼茨定理可知收斂，且其和例3判定級數的斂散性．則注意：1、萊布尼茨判別法是判定級數收斂的充分而非必要條件；2、判定的方法（3）相應函數的單調性.（2）思考：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結果如何？（1）二、絕對收斂與條件收斂定義2

正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.任意項級數正項級數任意項級數的各項取絕對值問題:

如何研究任意項級數的斂散性問題？定義3絕對收斂：如果級數各項的絕對值所構成的正項級數收斂，則稱級數絕對收斂；條件收斂：如果級數收斂，而級數發散，則稱級數條件收斂．通過正項級數的斂散性判斷任意項級數的斂散性.定理2

如果級數絕對收斂，那么級數必定收斂．證：收斂顯然且又令收斂收斂解：（1）由，而收斂，例4判定級數的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）故級數收斂，且為絕對收斂．解：例4判定級數的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（2）由于而級數發散，故發散.又因為由萊布尼茨定理知級數（2）收斂.綜上，級數(2)條件收斂解：例4判定級數的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（3）由于而發散,因此發散.解：例4判定級數的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）所以有令則故在區間上為單增的函數,從而函數在區間上為單減的正值函數.由萊布尼茨定理可知級數是收斂的且是條件收斂．（3）證：由正項級數比值審斂法可知：定理3

如果任意項級數滿足條件（其中

可以為），則當時，級數收斂，且為絕對收斂；當時，級數發散．（1）當時，級數收斂，從而級數收斂且為絕對收斂；（2）當時，為遞增數列，從而，故有級數是發散的．解：（1）由于例5判定下列級數的斂散性．（1）（2）因此級數發散．所以此級數收斂，且為絕對收斂．例5判定下列級數的斂散性．（1）（2）解：