第24章解直角三角形24.4解直角三角形基礎過關全練知識點1解直角三角形的基本內容1.(2022山西臨汾堯都期中)在Rt△ABC中，有下列情況，則直角三角形可解的是()A.已知BC=6，∠C=90° B.已知∠C=90°，∠A=60°，BC=5C.已知∠C=90°，∠A=∠B D.已知∠C=∠B=45°2.(2023四川眉山洪雅實驗中學月考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么下列結論正確的是()A.CD=AB·tanB B.CD=BC·sinB C.CD=AC·sinB D.CD=AD·cosA知識點2解直角三角形的基本類型與解法3.(2023陜西延安新區三中期末)如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，若AD=23，BC=10，∠B=30°，則tanC的值為()A.13 B.32 C.334.(2023吉林長春凈月期末)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=45，BC=8，D是AB的中點，求線段CD的長[變式1](2023河南開封十四中月考)如圖，已知△ABC中，AB=BC=15，tan∠ABC=34，求邊AC的長[變式2](2023吉林長春第一外國語學校月考)如圖，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的長.知識點3解直角三角形的應用5.(2023甘肅蘭州教育局第四片區期末)西周時期，丞相周公旦設計過一種通過測定日影長度來確定節氣的儀器，稱為圭表，如圖所示的是一個根據石家莊市的地理位置設計的圭表，其中，立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距離(即BC的長)為a.已知，冬至時石家莊市的正午日光入射角∠ABC約為28°，則立柱AC的高約為()A.asin28° B.acos28° C.atan28° D.a6.(2023陜西榆林府谷月考)某校九年級數學項目式學習主題是“測量物體高度”.小聰所在小組想測量古塔的高度，經研究得出一個測量方案如下：在點A處用距離地面高h米的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向前進a米到達點B，用同樣的測角器測出古塔頂端的仰角為45°，小聰所在小組計算出的古塔高度為()A.a·tan17°1+tan17°+?米 B.a·sin17°1?sin17°+?米7.(2023吉林長春八十七中月考)長泰大橋是長春市“兩橫三縱”快速路的關鍵節點工程，大橋建筑類型為斜拉式高架橋，其主塔高BD=96.9米，主塔處橋面距地面CD=7.9米，小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角為31°，則拉索AB的長約為米.(結果精確到0.1米，參考數據：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)

8.(2022吉林長春汽開區模擬)我國某驅逐艦在海上執行任務，剛返回到港口A，接到上級指令，發現在其北偏東30°方向上有一艘可疑船只C，與此同時在港口A北偏東60°方向，距離10km處的另一艘驅逐艦B也收到了相關指令，驅逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東30°方向上，則可疑船只C到港口A的距離為km.

9.山東煙臺蓬萊閣建筑群素有“人間仙境”之稱，是國家重點文物保護單位.某數學興趣小組為了測量蓬萊閣主樓高度，進行了如下操作：用一架無人機在樓基A處起飛，沿直線飛行34米到點B，在此處測得樓基A的俯角為60°，再將無人機沿水平方向向右飛行7米到點C，在此處測得樓頂D的俯角為30°，試求蓬萊閣主樓AD的高度.(精確到0.1米，2≈1.41，3≈1.73)10.(2023湖南衡陽南岳月考)如圖，四邊形ABCD是某水庫大壩的橫截面示意圖，壩高8米，背水坡的坡角為45°，現需要對大壩進行加固，使上底加寬2米，且加固后背水坡的坡度i=1∶2，求加固后壩底增加的寬度AF的長.11.(2023重慶一中期末)如圖，某天我國一艘海監船巡航到B港口正東方向的A處時，發現在A的北偏西60°方向，相距300海里的C處有一可疑船只正沿CB方向行駛，點C在B港口的北偏西30°方向上，海監船向B港口發出指令，執法船立即從B港口駛出，沿BC方向行駛，在D處成功攔截可疑船只，此時點D與點A的距離為1502海里.(1)求點A到直線CB的距離；(2)若執法船的速度是50海里/小時，則執法船從B出發經過多久攔截到可疑船只?(結果保留一位小數，參考數據：3≈1.732)能力提升全練12.(2022吉林長春中考)如圖所示的是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直于地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C.設∠ABC=α，下列關系式正確的是()A.sinα=ABBC B.sinα=BCAB C.sinα=ABAC D.sin13.(2022河南駐馬店汝南模擬)閱讀理解：為計算tan15°的三角函數值，我們可以構建Rt△ACB(如圖)，使得∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB使BD=AB，連結AD，可得到∠D=15°，設AC=1，所以AB=BD=2，BC=3，所以tan15°=ACCD=12+3=2?3(2+3)(2?3)=2-3.A.2+1 B.2-1 C.2 D.114.(2022寧夏中考)2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，如圖，某一時刻在觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°，降落傘底面A點處的仰角∠ADE=46°12'.已知半徑OA長14米，拉繩AB長50米，返回艙高度BC為2米，這時返回艙底部離地面的高度CE約為米.(精確到1米，參考數據：sin46°12'≈0.72，cos46°12'≈0.69，tan46°12'≈1.04)

15.(2023吉林長春東北師大附中期末)已知△ABC中，tanB=23，BC=6.過點A作BC邊上的高，垂足為點D，且滿足BD∶CD=2∶1，則△ABC的面積為.16.(2022貴州黔西南州中考)如圖，我國海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向，A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的距離約是nmile.(參考數據：2≈1.4，3≈1.7，結果保留整數)

17.(2022湖北襄陽中考)位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內革命戰爭時期為襄陽的解放事業獻身的革命烈士而興建的.某校數學興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度.(結果保留整數.參考數據：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)18.(2023吉林長春凈月期末)圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成的.當位于頂端的小掛鎖打開時，鋼條可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此時汽車可以進入車位；當車位鎖上鎖時，鋼條按圖1所示的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進入車位.圖2是其示意圖，經測量，AB=AC=50cm，∠ABC=47°.(參考數據：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)圖1 圖2(1)求車位鎖的底盒BC的長；(2)若一輛汽車的底盤高度為35cm，當車位鎖上鎖時，這輛汽車能否進入該車位?通過計算說明理由.19.(2022湖南株洲中考)如圖1所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處，再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖2所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i=1∶1，BN⊥l于N，且CN=2千米.(1)求∠ACB的度數；(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.圖1 圖220.(2022山西中考)隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產和生活，如代替人們在高空測量距離和角度.某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在AB，CD兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24m到達點F，測得點E處的俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F，O均在同一豎直平面內.請根據以上數據求樓AB與CD之間的距離AC的長(結果精確到1m.參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73).素養探究全練21.(2023重慶一中期末)去年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬.如圖，媽媽位于游客中心A正北方向的B處，其中AB=2km.明明位于游客中心A西北方向的C處.烈日當空，媽媽準備把包里的太陽帽給明明送去，于是媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進.15分鐘后，他們在游客中心A的北偏西37°方向的點D處相遇.(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離.(參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73，2≈1.41，結果保留兩位小數)22.(2022四川自貢中考)某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON以及鉛垂線OG重合(如圖①)，繞點O轉動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A、B共線(如圖②)，此時目標P的仰角∠POC=∠GON，請說明這兩個角相等的理由；圖① 圖②(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為測樹高，同學們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH；(3≈1.73，結果精確到0.1米)圖③(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH(如圖④)，同學們經過討論，決定先在水平地面上選取觀測點E、F(E、F、H在同一直線上)，分別測得點P的仰角α、β，再測得E、F間的距離為m米，點O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米.求PH(用α、β、m表示).圖④

第24章解直角三角形24.4解直角三角形答案全解全析基礎過關全練1.B∵選項C、D缺少邊的條件，選項A缺少銳角的條件，∴不能解直角三角形；選項B中，由∠A的正弦可求出AB的長，再根據直角三角形的性質可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC的長.2.B∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，tanB=CDBD，∴CD=BD·tanB，選項A錯誤；∵sinB=CDBC，∴CD=BC·sinB，選項B正確；在Rt△ADC中，sinA=CDAC，∴CDsinA，選項C錯誤；∵tanA=CDAD，∴CD=AD·tanA，選項D錯誤3.B∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AD=23，∠B=30°，∴BD=3AD=3×23=6，∵BC=10，∴CD=BC-BD=10-6=4，在Rt△ADC中，tanC=ADCD=2344.解析在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，sinA=BCAB=4∴AB=BCsinA=845=8×54=10，∵D是AB的中點，∴CD=12AB=5[變式1]解析如圖，過點A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，設AE=3k，則BE=4k，∴AB=5k=15，∴k=3，∴AE=9，BE∴CE=BC-BE=15-12=3，在Rt△AEC中，根據勾股定理得AC=AE2+CE[變式2]解析如圖，過點A作AD⊥BC，交CB的延長線于點D，則∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AD=DC，根據勾股定理得AD2+DC2=AC2，即2AD2=AC2=122，∴AD=DC=62，∵∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD∴BD=623=26，∴BC=DC-DB=62-25.C在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=28°，∴tan28°=ACBC，∴AC=BC·tan28°=atan286.D如圖，過點E作EH⊥CD于H，易知點F在EH上，則四邊形ADHE是矩形，∴DH=AE=h米，設CH=x米，在Rt△CHF中，∠CFH=∠FCH=45°，∴CH=FH=x米，在Rt△CHE中，tan∠CEH=CHEH，∴xx+a=tan17°，∴x=a·tan17°1?tan17°，∴CD=CH+DH=a·tan17°1?tan17°+?米，即古塔CD7.172.8解析由題意得BC=BD-CD=96.9-7.9=89(米)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=BCABsin31°≈0.515，∴AB≈BC0.515=890.515≈172.8(米)，即拉索AB的長約為172.8.20解析∵可疑船只C在港口A的北偏東30°方向，驅逐艦B在港口A的北偏東60°方向，∴∠CAB=60°-30°=30°，∵驅逐艦B在可疑船只C的南偏東30°方向上，∴∠ACB=30°+30°=60°，∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，∴sin∠ACB=ABAC，∴AC=ABsin∠ACB=10sin60°9.解析由題意可知，在Rt△ABE中，AB=34米，∠ABE=60°，∴BE=AB·cos60°=34×12=17(米)，AE=AB·sin60°=34×32=173(米).在Rt△CDE∠DCE=30°，CE=BE+CB=17+7=24(米)，∴DE=CE·tan30°=24×33=83(米)∴AD=AE-DE=173-83=93≈15.6(米)，即蓬萊閣主樓AD的高度約為15.6米.10.解析如圖，分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四邊形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DHtan45°=8tan45°=8(米)，在Rt△FGE中，i=1∶2=EG∶∴FG=2EG=16(米)，∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10(米)，即加固后壩底增加的寬度AF的長是10米.11.解析(1)過點A作AH⊥CB，交CB的延長線于點H，如圖.由題意得∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠C=180°-30°-120°=30°，∴AH=sinC×300=150(海里)，故點A到直線CB的距離是150海里.(2)在Rt△ADH中，AD=1502海里，AH=150海里，∴DH=AD2∵∠C=30°，∠CHA=90°，∴∠CAH=60°，∴∠BAH=30°，∵tan∠BAH=BHAH=tan30°=3∴BH150=33，∴BH=503海里，∴BD=DH-BH=(150-503(150-503)÷50=3-3≈1.3(小時)，故執法船從B出發大約經過1.3小時攔截到可疑船只.能力提升全練12.D在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由銳角三角函數的定義可知sinα=sin∠ABC=ACAB13.B如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長CB使BD=AB，連結AD，∴∠BAD=∠D=22.5°，設AC=BC=1，則AB=BD=2AC=2，∴CD=BC+BD=1+2，在Rt△ADC中，tan22.5°=ACCD=11+2=14.1614解析在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=AB2?O∴AF=OE=OB+BC+CE=50+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，設DE=CE=x米，則AF=(50+x)米，DF=(x-14)米，∵∠ADE=46°12'，∴tan46°12'=AFDF=50+xx?14≈1.041614，∴CE約為1614米.15.8或24解析圖形未知，涉及高時，易忘分類討論而致錯.本題分情況求解如下：(1)如圖1所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=83，∴S△ABC=12BC·AD=12(2)如圖2所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=8，∴S△ABC=12BC·AD=1綜上所述，△ABC的面積為8或24.圖1圖216.34解析如圖，過點C作CF⊥AB于F，設CF=xnmile.由題意得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在Rt△ACF中，∠CAF=30°，∴AF=3CF=3xnmile.在Rt△CFB中，∠FBC=60°，∴BF=33CF=33x∵AF+BF=AB，∴3x+33x=80，解得x=203≈34，即C島到航線AB的距離約為34nmile17.解析由題意得∠BAD=45°，∠DAC=61°，∴在Rt△ABD中，BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18m，∴BC=BD+CD∴烈士塔的高度約為28m.18.解析(1)如圖，過點A作AH⊥BC于點H，∵AB=AC，∴BH=HC=12BC，在Rt△ABH中，∠ABC=47°，AB=50cm，∴BH=AB·cosB=50×cos47°≈50×0.68=34(cm)，∴BC=2BH68cm.(2)不能.理由：在Rt△ABH中，AH=AB·sinB=50×sin47°≈50×0.73=36.5(cm)，∵36.5cm>35cm，∴當車位鎖上鎖時，這輛汽車不能進入該車位.19.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1，∴CN=BN，∴∠BCN=45°，∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=30°，AM=0.6千米，∴AC=2AM=1.2(千米)，在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45°，CN=2千米，∴BC=2CN=2(千米)，∴在此過程中該登山運動愛好者走過的路程為1.2+2=3.2(千米).20.解析如圖，延長AB，CD分別與直線OF交于點G，點H，則AG=CH=60m，GH=AC，∠A