河南省洛陽強基聯盟2024?2025學年高二上學期10月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標系中，點關于軸對稱點的坐標為（

）A． B．C． D．3．《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，E為的重心，若，，，則（

）A． B．C． D．4．設，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（

）A．1 B． C．或 D．25．已知為平面內一點，若平面的法向量為，則點到平面的距離為（

）A．2 B． C． D．16．已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．7．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（

）A． B．C． D．8．在正三棱柱中，，，，為棱上的動點，為線段上的動點，且，則線段長度的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．10．如圖，四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點，則（

）

A．B．異面直線，所成角為C．點到直線的距離為D．的面積是11．在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結論正確的為（

）A．若點在平面內，則 B．若，則C．當時，三棱錐的體積為 D．當時，長度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．設向量，，若，則.13．在空間直角坐標系中，點的坐標分別是，，，，若四點共面，則.14．如圖，在三棱錐中，點G為底面的重心，點M是線段上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱，，于點D，E，F，若，，，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間向量.(1)求；(2)判斷與以及與的位置關系.16．已知正四面體的棱長為2，點G是的重心，點M是線段的中點.(1)用，，表示，并求出；(2)求.17．如圖，在長方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點.(1)證明：，，，四點共面；(2)若點在棱，且平面，求的長度.18．如圖，四棱柱的底面為矩形，為中點，平面平面．(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．19．在三棱臺中，平面，，D，E分別為CA，CB的中點.(1)證明：平面；(2)已知，F為線段AB上的動點（包括端點）.①求三棱臺的體積；②求與平面所成角的正弦值的最大值.

參考答案1．【答案】B【詳解】.故選：B.2．【答案】C【分析】根據空間直角坐標中點的對稱規則判斷即可.【詳解】點關于軸對稱點的坐標為.故選C．3．【答案】B【分析】連接AE并延長交CD于點F，則F為CD的中點，利用向量的加減運算可得答案【詳解】連接AE并延長交CD于點F，因為E為的重心，則F為CD的中點，且，所以.故選B．4．【答案】C【分析】借助向量夾角公式求解即可.【詳解】因為法向量，所成的角與兩平面所成的角相等或互補，所以，得．故選C．5．【答案】B【分析】計算，直接利用點到平面的距離公式計算得到答案.【詳解】因為，面的法向量為，則點到平面的距離為.故選B.6．【答案】D【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計算可得.【詳解】因為，，，所以，，則，，，所以，又因為，所以，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選D.7．【答案】D【分析】根據投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選D.8．【答案】D【分析】根據正三棱柱建立空間直角坐標系，設動點坐標，結合線線關系求線段的表達式，利用函數求最值即可.【詳解】因為正三棱柱中，有，所以為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，則，因為是棱上一動點，設，且，因為，且，所以，于是令，所以，，又函數在上為增函數，所以當時，，即線段長度的最小值為.故選D.9．【答案】AB【分析】由空間中基底的概念以及共面定理逐項分析即可.【詳解】設，所以，無解，所以是不共面的向量，能構成空間的一個基底，故A正確；設，則，所以，無解，所以是不共面的向量，能構成空間的一個基底，故B正確；因為，所以是共面向量，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；因為，所以是共面向量，不能構成空間的一個基底，故D錯誤．故選AB．10．【答案】AC【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法判斷A、B、C項；再由，可得到的距離即為到的距離，最后由面積公式判斷D項.【詳解】因為四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，所以，又平面平面，平面，所以平面，由題意知，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，又，分別是線段，的中點，所以，，所以，，又，不共線，所以，故A正確；，，設異面直線，所成角為，則，又，所以，即異面直線，所成角為，故B錯誤；由，，得，所以點P到直線DF的距離為，故C正確；因為，所以到的距離即為到的距離，所以的面積，故D錯誤.故選AC．

11．【答案】ABD【分析】根據平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進而求解判斷A；根據空間向量的數量積定義和線性運算可得，，進而結合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設在平面內的射影為點，進而可得當時，到平面的距離為，進而結合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據空間向量的數量積定義及運算律可得，進而結合二次函數的性質及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于選項A，若點在平面內，易知有，所以，又，則，故A正確；對于選項B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對于選項C，由題易知四面體為正四面體，設在平面內的射影為點，則為的中心，易得，．當時，到平面的距離為，所以，故C錯誤；

對于選項D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當且僅當時等號成立，所以長度的最小值為，故D正確．故選ABD．【關鍵點撥】本題關鍵在于利用空間向量的的數量積定義和線性運算進行轉化問題，使之轉化為較易的問題進行解決.12．【答案】4.【分析】根據空間向量垂直轉化為數量積為0計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故答案為：4.13．【答案】6.【分析】先由點的坐標求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.【詳解】由題意，得，又因為四點共面，則存在，使得，即，即，解得，所以.故答案為：6.14．【答案】.【分析】由空間向量基本定理得，因為D，E，F，M四點共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【詳解】由題意可知，因為D，E，F，M四點共面，所以存在實數，，使，所以，所以，所以所以.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）直接利用向量線性運算和數量積的坐標運算求解即可.（2）利用向量垂直和平行的判定直接判斷即可.【詳解】（1）由題知，所以.（2）因為，所以，所以；因為，所以，所以.【思路導引】本題的關鍵在于合理利用向量線性運算和數量積的坐標運算，熟悉向量加法和向量乘法的定義和性質.16．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先根據空間向量的線性運算得到，再求其模長即可；（2）根據展開求解即可.【詳解】（1）因為點M是線段的中點，點G是的重心，所以，因為，所以，所以.（2）.17．【答案】(1)證明見解析；(2)3.【分析】（1）連接，，，可得到四邊形為平行四邊形，進而得到，結合即可得到，進而求證；（2）建立空間直角坐標系，設，結合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，，，因為，，，分別為棱，，，的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點共面.（2）以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，由，，，，，分別為棱，，，的中點，可得，，，，則，，設，即，則，由平面，故，即，解得，所以.【方法總結】利用空間向量求解立體幾何問題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據公式求出相應的角或距離.18．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由面面垂直的性質可得平面，再由線面垂直的性質可得，由勾股定理的逆定理可得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）取的中點，連接，由已知可證得兩兩互相垂直，所以以為坐標原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為底面是矩形，所以，又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以，所以，又平面，所以平面；（2）取的中點，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，連接，又底面為矩形，所以，所以兩兩互相垂直，以為坐標原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，設，則，所以．由（1）知平面，所以是平面的一個法向量．設平面的一個法向量為，則，令，則．設二面角的平面角為，則由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．19．【答案】(1)證明見解析；(2)①，②.【分析】（1）根據中位線可得線線平行，再由線面平行的判定定理得解；（2）①證明四邊形為菱形，從而可得出棱臺的高，再由棱臺體積公式求解；②建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法，結合二次函數最值得解.【詳解】（1）證明：設交于點G，連接EG，如圖，在三棱臺中，，，又D為AC的中點，所以，，四邊形是平行四邊形，G為的中點.又E為BC的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）①連接BD，因為平面，且平面，所以平面平面，因為，D為CA的中點，所以，又平面